共面變相位星座多目標交匯序列優化方法

呂博洋，邵興悅，袁 斌，楊桂清

(1.北京機電工程總體設計部，北京 100854；2.中國航天科工運載技術研究院，北京 100037)

0 引言

隨著通信和導航等技術的快速發展，由多顆衛星組成的衛星星座憑借其覆蓋能力強和可靠性高的優勢開始在相關領域發揮越來越大的作用[1]。為了使星座在受到太陽風暴等不利因素大面積影響后仍能夠充分發揮效能，利用具有快速響應能力的運載器以較少的發射次數，一次搭載多個具有變軌能力的空間機動裝置實現與星座中不同目標的交匯，實現對在軌航天器的交匯、接近并進行近距離檢測和相關維護在當前情況下就顯得尤為重要。

張雅聲等[2]研究了單個航天器利用初始軌道面與目標航天器軌道的交點實現與異面航天器的交匯；張敬等[3]對單個航天器在不進行變軌情況下與星座中多目標交匯的軌道進行研究。本文以Lambert軌道為基礎，提出基于穿越點[2]的機動軌道共面變相位交匯方法，將復雜的空間交匯關系轉換為同一機動軌道面內不同轉移角、不同轉移時間的Lambert交匯問題；從空間幾何解析法的角度出發，推導了交匯點的快速確定方法；基于空間機動裝置分離點參數，分析并得到轉移角、轉移時間包絡區，給出能量約束下的多目標交匯序列確定方法。在此基礎上利用離散優化算法實現基于星座效能的機動裝置交匯目標序列的優化，在發射次數有限的情況下將星座效能恢復至正常水平。

1 同一機動軌道面內的多目標交匯

對于利用同一機動軌道面內的多個機動裝置與Walker星座進行多目標交匯的情況如下：

圖1為機動裝置在同一機動軌道面內與星座中多個目標交匯示意圖。其中，機動軌道面是由射向A0、分離點位置和分離時刻共同決定的一個平面，所有以射向A0、在同一分離點并在同一分離時刻進入軌道的機動裝置均位于該平面內。平面與目標軌道的交點如圖1所示。由于進行軌道交匯的過程中需要同時滿足多個位置約束和時間約束，確定機動裝置在同一軌道面內與不同目標軌道的交匯目標以及時序存在較大的難度。因而需要尋求一種確定交匯點位置以及機動裝置變軌相位和時間的解析方法對此問題進行解決。

圖1 同一機動軌道面內的多目標交匯Fig.1 Multi-targets meeting in the same plane of maneuver

為了便于描述機動軌道面與各目標軌道面之間的空間幾何關系，將機動裝置所處的軌道面轉換為一個與目標軌道高度相同并位于機動軌道面內的圓軌道。這條軌道與目標軌道的交點位置與機動軌道面和目標軌道的交點相同，如圖2所示。這樣就將機動裝置與多個異面目標的空間交匯轉化為機動裝置在多個軌道面內與共面目標的交匯。

圖2 同一機動軌道面內的目標軌道交點與機動軌道Fig.2 Orbit of targets and maneuvering trajectories in the same plane of maneuver

1.1 機動裝置變軌相位和時間的確定

設目標航天器S1位于軌道傾角為i1、升交點赤經為Ω1、軌道半徑為r1的圓軌道O1上；空間機動裝置W1位于軌道傾角為i2、升交點赤經為Ω2的橢圓軌道。由于機動裝置與目標軌道的交點同樣位于該軌道面內，因此利用升交點赤經為Ω2、軌道傾角為i2、軌道半徑同為r1的圓軌道O2可以對軌道交點位置以及兩者相位關系進行描述。

1.1.1 機動軌道面與目標軌道交點的確定

如圖3所示，點A和點B分別為O1和O2的升交點，軌道O1和O2相交于點C。其中，f1為點C在O1上的緯度幅角，f2為點C在O2上的緯度幅角，α為O1和O2在點C處的夾角，ΔΩ為O1和O2的升交點赤經之差。

圖3 軌道交點示意圖Fig.3 Sketch map of orbital node

由球面三角形公式[4-5]可得，

α= arccos[-cos∠CABcos∠CBA+

sin∠CABsin∠CBAcosΔΩ]

(1)

(2)

其中，當Ω1<Ω2<Ω1+π時，即點C在O2的升段上：

當Ω1<Ω2+π<Ω1+π時，即點C在O2的降段上：

即可確定O1和O2的交點f1、f2。

1.1.2 機動裝置相位和時間的確定

設機動裝置W在t0時刻到達運載段分離點，在軌道O1上，目標航天器S1該時刻的緯度幅角為fS1(t0)。此時，目標航天器S1與軌道O1、O2的交點C的相位差為：

Δf1(t0)=f1-fS1(t0)

由分離點位置以及軌道傾角，可知分離點在機動軌道面，即軌道O2內的緯度幅角f0為[4]：

(3)

其中，φk為分離點赤緯。

因此，由分離點緯度幅角f0和交匯點在O2上的緯度幅角f2可得機動裝置在分離點處與軌道交點C的相位之差為：

Δf2(t0)=f2-fW(t0)
fW(t0)=f0

在t時刻，機動裝置W和目標航天器S1與軌道交點的相位差分別為：

Δf1(t)=f1-fS1(t)

Δf2(t)=f2-fW(t)

假設機動裝置W與目標航天器S1在t時刻交匯，在t時刻必有

即

則目標航天器S1沿軌道O1從t0時刻所在位置運行至交點所需的時間為：

(4)

其中，T為目標航天器S1的軌道周期。

機動裝置W沿機動軌道從分離點運行至交點過程中經過的弧段對應的地心角為：

f2-f0=Δf2(t0)

(5)

因而，若令機動裝置W在軌道傾角為i2、升交點赤經為Ω2的軌道面內與沿軌道O1運行的航天器S1交匯，機動裝置W需同時滿足軌道轉移角度Δf2(t0)、轉移時間Δt1的相位約束和時間約束。將軌道轉移角度Δf2(t0)記為β，轉移時間記為ttrans，如圖3所示，可得：

(6)

同理，改變目標軌道的升交點赤經，可得到機動軌道面與星座中所有目標軌道的交點以及機動裝置Wi與目標航天器Si交匯對應的轉移角βi、轉移時間ttrans_i(i=1,2,…,n，n為星座中的目標軌道數量)。

1.2 變軌待增速度約束下的轉移角-時間包絡區

對于單圈內的Lambert轉移，當變軌轉移時間和轉移角給定后，轉移軌道類型以及轉移速度就能夠確定。設機動裝置W在分離點的速度為vk0、速度傾角為θk0，軌道轉移的需要速度為vk、速度傾角為θk，Δθ為θk與θk0之差，則

Δθ=θk-θk0

將分離點速度vk0沿vk做投影，在vk方向和垂直vk分別得到兩個速度分量[5]：

v1=vk0cosΔθ

v2=vk0sinΔθ

則

即

(7)

由式(7)可知，待增速度Δv受到速度vk、vk0和速度傾角θk、θk0的共同影響。其中，vk0和θk0為分離參數，vk和θk由軌道轉移角度β和轉移時間ttrans決定。

當運載段分離點速度vk0和分離點速度傾角θk0給定、目標軌道為軌道周期為12h的圓軌道時，待增速度Δv隨軌道轉移角度β和轉移時間ttrans的變化情況如圖4、圖5所示。

圖4為θk0=30°時，Δv隨軌道轉移角度和轉移時間的變化情況，Δv在β=70°～150°附近較小，在β=0°和β=360°附近急劇增大，在β=360°附近達到最大值。圖5為θk0=70°時，Δv隨軌道轉移角度和轉移時間的變化情況，Δv在β=50°附近較小，在β=0°附近小幅增大，在β=360°附近急劇增大，在β=360°附近達到最大值。

在不同分離點速度傾角下，分離點速度vk0變化不大且軌道轉移速度vk隨轉移角度和轉移時間的變化幅度明顯小于Δv的變化幅度。對比圖4和圖5不難發現:分離點速度傾角θk0對Δv的大小影響較大；Δv較小值所對應的區域分別與θk0=30°等值線和θk0=70°等值線所在區域一致(如圖7所示)。在θk與θk0相差較大的區域，Δv急劇增大；而需要速度(如圖6所示)的變化幅度明顯小于待增速度的變化幅度。由此發現，θk和θk0是影響待增速度大小的主要因素，通過調整分離點速度傾角θk0能夠有效降低機動裝置與目標交匯所需的Δv。

圖4 θ=30°時轉移角-轉移時間-待增速度曲面Fig.4 Transfer angles-transfer times-required increasing speeds as θ=30°

圖5 θ=70°時轉移角-轉移時間-待增速度曲面Fig.5 Transfer angles-transfer times-required increasing speeds as θ=70°

圖6 變軌需要速度隨轉移角-轉移時間變化情況Fig.6 Required speeds with transfer angles-transfer times

(a)傾角隨轉移角-轉移時間變化情況

(b)傾角等值線圖圖7 θk隨轉移角和轉移時間的變化情況Fig.7 θk with transfer angles and transfer times

在實際情況中，由于機動裝置攜帶的推進劑數量有限，通常利用最大增速Δvmax對機動裝置進行變軌機動時的待增速度Δv進行限制。根據前面得到的待增速度曲面，令Δv=Δvmax可在轉移角-轉移時間-待增速度曲面中得到滿足最大增速約束的包絡區域，該區域中所包含的點與滿足最大增速需求的變軌轉移角β和轉移時間ttrans組合相對應。

令Δvmax=2600m/s，分別得到θk0=30°和θk0=70°時滿足Δv≤Δvmax的包絡區，如圖8、圖9所示。

圖8和圖9分別為分離點速度傾角為30°和70°時，滿足變軌最大增速約束ttrans-β包絡區。在0°<β<360°范圍內，θk0=30°對應的可交匯轉移角范圍是72.58°～154°，θk0=70°對應的可交匯轉移角范圍是16.33°～52.74°。利用包絡區能夠得到可交匯范圍內的某個轉移角度對應的轉移時間區間，從而確定目標在交匯點附近的可交匯弧段，即只要機動裝置在目標經過該弧段時進入相應的機動軌道，機動裝置就有能力在交匯點與目標進行交匯。

對于同一機動軌道面內分離時刻相同的多個機動裝置與星座中多個目標交匯的情況進行如下分析：

假設機動裝置Wi在軌道面Ow上，其軌道傾角為iw，升交點赤經為Ωw，分離點緯度幅角為fw0，分離點速度為vk0,速度傾角為θk0；目標航天器Si沿軌道Oi運行。機動軌道面與目標軌道Oi(i=1,2，…,n，n為星座中的目標軌道面數量)相交于交匯點Pi；在軌道Ow內，機動裝置從分離點至交匯點的轉移角為βi；Pi在Oi和Ow上的緯度幅角分別為f1i和f2i。參照θ=θk0時轉移角-轉移時間包線，得到β=βi與Δv=Δvmax曲線的兩個交點，對應的轉移時間上限和下限為tup_i和tdown_i。通過計算目標Si經過交匯點的時刻就能夠得到機動裝置Wi的分離時間范圍Ai。

圖8 θk0=30°時轉移角-轉移時間包絡區Fig.8 Envelope area of transfer angles and transfer times as θk0=30°

圖9 θk0=70°時轉移角-轉移時間包絡區Fig.9 Envelope area of transfer angles and transfer times as θk0=70°

同理，可得到軌道面Ow與星座內其余軌道的交點以及相應的可交匯弧段和分離時間范圍。

若機動航天器的分離時間范圍滿足

Ak∩Ak+1∩…∩Ak+j≠φ

(k=1,2，…,n；j=1,2,…,n-1)

在軌道面Ow內的機動裝置可對j+1個軌道面上的目標進行交匯，并將分離時間范圍的交集記為Aw。只要機動裝置的分離時間tk0∈Aw，機動裝置就能夠實現與j+1個軌道面上目標的交匯。

對于Δvmax，可以從另外一個角度分析其含義。由式(7)可知，當Δv=Δvmax時，

若要讓分離點速度為vk0的航天器在速度增量Δv的作用下達到需要速度vk，且滿足Δv≤Δvmax，分離點速度傾角θk0應滿足如下要求:

θk-Δθmax≤θk0≤θk+Δθmax

因而，在機動裝置的分離點速度大小和需要速度大小為定值時，最大待增速度Δvmax越大，Δθmax越大，機動裝置對運載段分離點速度傾角θk0的適應范圍也越大。

2 目標序列的優化

在完成機動裝置交匯序列的確定后，在不同時間、射向及分離速度傾角下可以得到多組目標序列。但由于不同序列包含相同目標，且星座中不同衛星對指定區域的導航精度貢獻程度有所不同，如何在發射次數有限的情況下對目標序列進行優化,使指定區域內的有效覆蓋得到最大程度保證成為一個需要解決的問題。

2.1 序列優化的數學模型

根據目標序列優化的實際需求，建立模型如下[6-7]：

設目標的總數量為n，目標序列(分離時間、射向、分離速度傾角、接近目標的組合)的總數量為q，空間機動裝置的最大發射次數為m，pi為反映不同目標“價值”大小的目標函數系數；xi為反映目標序列是否被選取的優化變量，當第i個序列被選取時xi=1，反之xi=0；x為包含優化變量xi的行向量，x=[x1,…,xq]；機動裝置對于同一目標僅進行一次接近，同一時刻只有一組機動裝置進入機動軌道，則

其中，不等式約束矩陣A及向量b分別為(n+1)×q維的矩陣和n+1維列向量， Aj為約束矩陣A中位于第j行的q維行向量，bl為列向量b中的第l個元素，兩者可分為前n行和第n+1行兩部分。

前n行代表對機動裝置與同一目標交會次數的約束，Aj中的各元素代表對應的目標序列中是否包含第j個目標。當第i個序列中包含第j個目標時，Aji=1；若不包含，則Aji=0。

例如A1x≤b1代表在所選取的目標序列中包含第1個目標的總次數不超過b1，則根據前文假設(機動裝置對于同一目標僅進行一次接近)可知，

bl=1l∈{1,2，…,n}

第n+1行代表對目標序列選取數量的約束，即滿足An+1x≤b1。由于機動裝置的最大發射次數為m，則

An+1=[1,…,1]1×q,bn+1=m

2.2 評價參數的設定

幾何精度因子作為衡量衛星導航系統定位精度的重要指標，反映了導航衛星幾何構型對定位精度的影響[8-9]。由于導航衛星星座中不同衛星對指定區域的覆蓋特性有所不同,在利用整數規劃算法[6]對目標序列的選取進行優化時，需要一個參數表征不同衛星對指定區域幾何精度因子貢獻程度的大小。這一參數應當能夠準確衡量目標的重要程度并體現出不同序列在能量等方面的特性，是進行相關優化工作的基礎。

目標特性評價參數主要反映星座對某一區域提供相關服務時目標對服務質量貢獻程度，體現該目標在星座中的重要程度。經分析，按照將目標對指定區域的覆蓋總時長和訪問次數綜合考慮的方式設定目標特性評價參數。設第i個目標對指定區域的覆蓋總時長為ti、訪問次數為ni(i=1,2，…,m，m為星座中的衛星總數量)，所有目標中覆蓋總時長的最大值為tmax、最小值為tmin，最大訪問次數為nmax、最小訪問次數為nmin，則

pt(i)和pn(i)分別為反映目標覆蓋總時長和訪問次數大小的系數，覆蓋總時長或訪問次數的數值越大對應的評價參數的數值越接近1，反之越接近0。在將目標的覆蓋總時長和訪問次數綜合考慮時，取加權系數ηt和ηn，滿足ηt+ηn=1，則第i個目標的目標特性評價參數為

通過調整加權系數ηt和ηn進而調整覆蓋總時長和訪問次數在目標特性評價參數中所占的比重，實現對目標的覆蓋總時長和訪問次數的綜合考量。通過比較不同加權系數，選取ηt=0.65，ηn=0.35。

此外，在不同時刻、多個射向和入軌速度傾角下的同一組序列可能出現待增速度Δv有所不同的情況，因而有必要將不同入軌條件下目標序列的待增速度大小作為序列選取的評價指標之一。設目標序列中包含l個目標，機動裝置與序列中第j個目標進行空間接近所需的待增速度為Δv(j)，則待增速度評價參數為

反映該組序列在當前射向、入軌時刻以及入軌速度傾角下的待增速度大小，數值越大表明此時機動裝置與序列中目標接近所需的待增速度越小。若序列中第j個目標的待增速度最大，則將該目標的待增速度評價參數作為反映該序列能量需求大小的評價參數。

2.3 目標序列的優化

在對目標序列進行優化前進行如下設定：目標星座的構型為24/6/2，軌道傾角為55°，軌道周期為12h；將目標序列入軌時間范圍限定為UTC時間00:00:00.00～24:00:00.00，序列中的目標數量均為3個，每組目標序列的入軌點位置相同，射向A0為0～180°，入軌速度傾角θk0為30°～70°，軌道轉移時間限定為5000s～30000s，最大待增速度為2600m/s；同一入軌時刻只選取一組序列，機動裝置對于同一目標只進行一次接近；當最大發射次數為m時，機動裝置與目標接近使得目標對指定區域的覆蓋效能最優且機動裝置所需的最大待增速度最小。

目標序列優化的數學模型如2.1節所述。由于目標序列的優化可以歸納為0-1整數規劃問題，優化算法采用基于線性規劃的分支定界法求解序列優化問題。

當導航星座中有4個軌道面發生衛星大面積失效的情況時，按照覆蓋效能最優的策略選取交匯目標，以較少的發射次數滿足指定區域內平均幾何精度因子小于6的精度需求。發射次數分別為1次、2次、3次和4次時的優化結果，如表1所示。

表1 不同發射次數下的優化結果

根據優化結果，利用STK得到機動裝置與相應目標交匯后指定區域內的平均幾何精度因子。導航星座在只有兩個軌道面的衛星能夠正常工作的情況下，平均幾何精度因子為765.3288，不能滿足對指定區域的有效覆蓋。當發射次數為1時，機動裝置與目標實施交匯后平均幾何精度因子為308.6203；當發射次數為2時，機動裝置與目標實施交匯后平均幾何精度因子為33.6798；當發射次數為3時，機動裝置與目標實施交匯后平均幾何精度因子為4.4778；當發射次數為4時，機動裝置與目標實施交匯后平均幾何精度因子為2.3724。計算結果表明:這種將評價參數作為目標函數系數進行目標序列優化的方法是有效的。

圖10所示為發射次數分別為1次、2次、3次和4次時，機動裝置按照優化結果與目標交匯后指定區域的幾何精度因子分布情況。圖10中顏色越深的區域，代表該區域的幾何精度因子越大，導航精度也越差。當發射次數為3次時，導航衛星星座為指定區域提供的定位精度已能夠滿足使用需求，即令指定區域導航精度滿足精度需求的最小發射次數為3次；當發射次數為4次時，導航衛星星座提供的定位精度達到星座在初始狀態下的精度水平。

圖10 不同發射次數的幾何精度因子分布情況Fig.10 Distribution geometric dilution of precison of difference times of launch

3 結束語

本文在利用空間幾何解析法確定機動裝置變軌相位和時間基礎上，從機動裝置與目標相對時間、空間位置關系的角度對增速需求與其的關系進行分析，提出利用機動裝置的變軌速度需求與運載段分離條件、相位轉移角和轉移時間包絡區確定星座多目標交匯序列的方法。在此基礎上，考慮覆蓋效能利用離散優化算法實現對目標序列的優化，并對結果進行了仿真驗證，為后續的實際應用提供了參考。

參考文獻

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