二維分?jǐn)?shù)階非線性薛定諤方程的守恒數(shù)值方法

張榮培, 張 怡, 劉 佳

(1. 沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034;2. 沈陽師范大學(xué) 大學(xué)外語教學(xué)部, 沈陽 110034)

0 引 言

本文考慮Ω=[a,b]×[c,d]邊界在二維對稱空間分?jǐn)?shù)階[11-13]非線性薛定諤方程:

(1)

這里Γ(·)是標(biāo)準(zhǔn)的伽瑪函數(shù)。

此外,分?jǐn)?shù)階非線性薛定諤方程有以下質(zhì)量守恒形式:

和能量守恒形式:

應(yīng)用加權(quán)和偏移Grunwald-Letnikov方法對方程(1)進(jìn)行空間離散。將求解區(qū)域剖分為一個(gè)n×n網(wǎng)格點(diǎn)的二維系統(tǒng),定義一個(gè)n×n的解矩陣U來存儲網(wǎng)格點(diǎn)上的未知值。為了減少所需的存儲量和運(yùn)行時(shí)間,引入了分?jǐn)?shù)階微分矩陣。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子在x方向和y方向產(chǎn)生2個(gè)微分矩陣Dx和Dy,這樣分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在網(wǎng)格點(diǎn)的值就可以由微分矩陣與解矩陣的乘積得到。

其次，“多元互動”式合作學(xué)習(xí)是以小組分設(shè)為重要前提的，這個(gè)小組分設(shè)要以課堂為載體，以學(xué)生為課堂主體，以家長為配合，以教師的指導(dǎo)為主導(dǎo)并根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平、學(xué)習(xí)能力、性格特征等進(jìn)行科學(xué)性、合理性的層次分配。如此，才能有效完成組員互動、組間互動、家長和學(xué)生的互動、家長和教師的互動等多樣化的互動形式。

空間離散后得到一組非線性常微分方程組, 采用隱式緊致積分因子[17]的方法求解該常微分方程組[18]。 在二維情況下,緊致積分因子方法的運(yùn)算量是o(n3), 非緊致方法的運(yùn)算量會達(dá)到o(n4)。 緊致積分因子方法[19-22]的指數(shù)矩陣eDx和eDy可以在預(yù)處理階段計(jì)算和存儲, 在時(shí)間循環(huán)過程中可以直接應(yīng)用;對擴(kuò)散項(xiàng)的精確計(jì)算與非線性項(xiàng)的隱式處理解耦, 只需在每個(gè)時(shí)間周期內(nèi)求解每個(gè)空間網(wǎng)格點(diǎn)的局部非線性代數(shù)方程組, 因此, 緊致積分因子方法在存儲和分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散問題的計(jì)算上更有效。

1 數(shù)值方法

下面給出帶有齊次狄利克雷邊界條件的分?jǐn)?shù)階非線性薛定諤方程的求解方法。設(shè)定空間域?yàn)榫匦?Ω=[a,b]×[c,d],將其離散化為如下矩形網(wǎng)格:

Th={(xj,yk)=(a+jhx,c+khy),j=0,1,…,Nx,k=0,1,…,Ny},

(U⊙V)j,k=(ujkvjk)

同時(shí)定義離散空間上的內(nèi)積和范數(shù):

使用加權(quán)和偏移Grunwald-Letnikov近似方法[23]來逼近左、右黎曼劉維爾空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。左、右黎曼劉維爾分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在x方向作為加權(quán)和偏移Grunwald-Letnikov公式按如下定義:

采用矩陣U表示定義在節(jié)點(diǎn)(xj,yk)的數(shù)值解:

將式(2)～式(3)寫成矩陣形式,可以得到方程(1)的差分格式如下:

(4)

2 隱式積分因子方法

定義時(shí)間步長τ=Δt,則第n層時(shí)間步長tn=nτ,n=0,1,2…。在方程(4)左乘指數(shù)矩陣e-Axt,同時(shí)右乘指數(shù)矩陣e-Ayt,可以得到下面的等式:

然后從tn到tn+1進(jìn)行積分,整理得到

通過拉格朗日插值多項(xiàng)式,整理得到二階緊致差分格式:

圖1 離散的質(zhì)量和能量的時(shí)間演化Fig.1 Time evolution of a discrete mass and energy

3 數(shù)值算例

圖2 時(shí)間t=1時(shí),不同α的數(shù)值解|u|Fig.2 Numerical solutions with different α at t=1

4 結(jié) 論

結(jié)合加權(quán)偏移Grunwald-Letnikov空間離散方法和緊致積分因子時(shí)間離散方法來計(jì)算二維分?jǐn)?shù)階非線性薛定諤方程,不但減少存儲量和計(jì)算量,而且數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性。將來還可以將該方法推廣至求解更多的分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方程。

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