基于對稱壓縮MUSIC的相干源方位估計方法*

徐 姝，梁仕杰

（江蘇科技大學 電子信息學院，江蘇 鎮江 212003）

0 引 言

在實際環境中，相干源的存在是DOA估計技術不可避免的問題。當前，比較經典的MUSIC、ESPRIT等空間譜算法，都是基于信源相互獨立的前提下提出的。當存在相關或強相干信源時，對于相干源的DOA估計將會失效。為了能夠獲得相干源的方位信息實現解相干，學者們提出了許多解相干算法。其中，最常見的解相干方法包括最大似然法[1]、Toeplitz矩陣重構法和空間平滑法[2-6]等。最大似然方法是一種能夠有效解相干的方法，原理是利用概率密度模型對相干源數據進行處理。但是，為了獲得較好的解相干性能，此種算法需要通過多維非線性搜索來獲得DOA估計。由此可見，此種算法計算量相當大。Toeplitz矩陣重構法也是當前常用的一種解相干方法，優點是不存在孔徑損失，但估計性能較差，針對孔徑為代價來實現解相干。鑒于以上問題，空間平滑類解相干算法得以大力發展，成為解相干類算法的一個重點研究方向。

不過，空間平滑類算法屬于降維算法，本質是以犧牲陣列的有效孔徑為代價。為此，Pillai等對空間平滑類算法進行了改進，提出了一種雙向平滑類算法，即前后平滑法。前后平滑法是將整個陣列看作一個子陣進行平滑，本質上是不存在有效孔徑損失的，但將陣列看作一個子陣進行前后平滑，最多只能分辨2個相干源信號。Kundo D[7]將前后平滑運用到經典的MUSIC算法上，雖然可以得到精度高的分辨能力，但是在對多個相關信源的分辨上，性能大幅下降。Zhang[8]等對傳統的MUSIC算法加以改進，提出了一種特征子空間MUSIC算法（Eigen Space MUSIC，ES-MUSIC），即在原有的MUSIC算法基礎上充分利用信號子空間，大幅提高了抗噪性能，且相對于傳統MUSIC算法明顯提升了估計精度和分辨率，已被許多專家學者加以改進并應用[9-12]。上述算法由于數據協方差的處理和譜搜索的運算量使得算法復雜度大幅提高，難以運用到實際工程。為此，有必要提出一種既可以解相干又可以減少計算量的算法來實現DOA估計。

本文針對傳統平滑技術以損失陣列有效孔徑為代價獲得解相干能力和空間譜搜索計算量大的缺點，提出一種新的平滑技術。此平滑技術充分利用互協方差矩陣來構建一個新的協方差矩陣，然后獲得信號子空間、噪聲子空間，并引入對稱壓縮譜（MUSIC Symmetrical Compressed Spectrum，MSCS）思想[13]，利用導向矢量與噪聲子空間的雙重正交性等效添加鏡面輻射源，構造對稱壓縮譜函數。實驗證明，本文算法大大減少了空間譜搜索計算量，且在一定程度上提高了算法的抗噪性能和分辨率。

1 MUSIC算法

假設有M元均勻線陣，陣元間距為d，在遠場波導條件下有k個窄帶信號源以平面波入射，入射角度為 θ，θ={θ1,θ2,…θK}，則其陣列接收信號的模型可以表示為：

式中X(t)為M×1數據矢量，N(t)為M×1階加性高斯白噪聲，S(t)為信號矢量，即：

A(θ)為陣列流行矩陣，即：

式中，a(θi)稱為信號的導向矢量：

假設在每個陣元的噪聲是零均值的高斯白噪聲，且相互獨立時矢量陣接收數據的協方差矩陣為R，則R可由式（5）求得：

其中：

理想條件下，信號子空間與噪聲子空間相互正交。所以，信號的陣列流型與噪聲子空間也相互正交，即：

然而，在實際環境下，由于快拍數、信噪比等條件限制，使得導向矢量不可能與噪聲子空間絕對正交。Schmidt利用這個特性構造了經典MUSIC算法空間譜：

再對式（8）進行譜搜索，其譜峰位置點處即為其波達角。

2 本文算法

2.1 互協方差矩陣的平滑算法

平滑技術是解相干的一種常見技術，本文在傳統的前后平滑的基礎上加以改進提出一種最大限度利用數據互協方差矩陣來構建新的協方差矩陣的方法，從而使得算法的抗噪聲性能，以及分辨率得以提升。此方法不需要犧牲陣列有效孔徑便可以獲得較好的解相干能力。

假設對式（1）進行如下變形：

其中X*(t)表示為X(t)的復共軛；J為M×M維置換矩陣，其副對角線上元素均為1，其余各元素均為0，即：

很明顯，J*J=I，I為單位矩陣，進而可以求得Y(t)的協方差矩陣：

以此類推，可以求得Y(t)和X(t)的協方差矩陣為：

最后，令：

則可求得需要的協方差矩陣為：

理論上，若只考慮X(t)、Y(t)信號自協方差矩陣，會使那些無用的信號累加，增加了估計誤差，降低了算法的估計性能。用到的互協方差矩陣利用了兩個不同的信號之間的相乘，則這2個信號減去均值的信號存在共性部分和非共性部分。共性部分相乘時取相同的符號，使該部分得到了加強而保留下來；非共性部分則是隨機的，它們的乘積有時取正有時取負，利用數學期望進行平均運算后趨于相互抵消。也就是說，可以利用互協方差矩陣提取2個信號的共性部分，并且抑制掉非共性部分，然后再與X(t)、Y(t)信號的自協方差矩陣求平均，得到更具有平均意義的R～。所以，該算法的抗噪聲性能和分辨率得以提升。基于這個優點，可以將該方法與對稱壓縮譜相結合。

2.2 MSCS算法

假設空間存在一信源P，其到均勻線陣的信號為窄帶遠場信號，設其到達角度為θ1。根據歐拉公式，利用奇函數的性質，對導向矢量a(θ1)取共軛，可得：

根據Schmidt所提的正交性原則，可得：

對式（18）的左右兩邊進行共軛處理，可以得到：

對式（19）左右兩邊同時取共軛，可得：

由此可知，信源P的y軸對稱區間存在一鏡面信源P'，且兩者入射角度互為相反數。所以，兩者所對應的導向矢量呈復共軛關系。若前者的導向矢量與UN相互正交，則后者的導向矢量與U*N相互正交。根據此特性，可以將MUSIC算法空間譜進行對稱壓縮，從而構建新的空間譜函數：

對式（21）在[-90° 0°]或者[0° 90°]進行譜搜索，得到譜峰位置后，再將譜峰對應的方位角度代入||aH(θ)UN|| ≈ 0判別是否成立。如果成立，便得到真實信源；反之，即為鏡面信源。

2.3 本文算法流程

（1）利用互協方差矩陣構造新的協方差矩陣式（16）；

（2）對式（16）求得的協方差矩陣進行分解，得到 R～=USΛSUSH+UNΛNUNH，求得噪聲子空間；

（3）根據對稱壓縮譜原理構造空間譜函數：

（4）在[-90° 0°]或者[0° 90°]進行譜峰搜索得到方位信息；

（5）帶入 ||aH(θ)UN|| ≈ 0進行判別，成立得到真實信源，反之即為鏡面信源。對鏡面信源取反，即可得到全部的波達角。

3 仿真

3.1 算法性能對比

將本文算法與MSCS算法進行對比，設3個信源的入射角度分別為-10°、30°、60°，其中-10°與30°為相干信源，入射到陣元數為18陣元間距λ/2的均勻線陣，信噪比為-5 dB，快拍數為100，搜索步長為1°,搜索范圍為[-90°90°]，仿真圖如圖1所示。由圖1可以看出，原本的MSCS算法解相干源時已經失效，而本文算法在-10°對應的正半軸10°,在30°、60°所對應的負半軸-30°、-60°也會形成等幅度的譜峰，說明本算法具有有效性。

圖1 本文算法與MSCS算法空間譜

將本文算法與空間前向平滑算法進行對比，設3個信源的入射角度分別為-10°、30°、60°，其中-10°與30°為相干信源，入射到陣元數為18陣元間距λ/2的均勻線陣，子陣陣元數為17，子陣個數為2，信噪比為-5 dB，快拍數為100，搜索步長為1°,搜索范圍為[-90° 90°]，仿真實驗圖如圖2所示。圖2中相比于前向平滑算法，本文算法旁瓣壓制得更低，譜峰更加尖銳，說明本文算法的抗噪聲性能更好。同時可以看出，在實際的相干源方位估計應用時，本文算法只需要在[-90° 0°]或者[0° 90°]搜索即可得到完整的方位信息，大大降低了搜索量。

圖2 本文算法與前向平滑算法空間譜

設3個信源的入射角度分別為-10°、30°、60°，其中10°與30°為相干信源，入射到陣元數為18陣元間距λ/2的均勻線陣，子陣陣元數為17，子陣個數為2，信噪比為-5 dB，快拍數為100，搜索步長為1°，搜索范圍為[0° 90°]，仿真圖如圖3所示。將半譜范圍內得到的10°、30°、60°方位信息帶入||aH(θ)UN|| ≈ 0進行判別，30°、60°滿足判別公式為真實信源，10°不滿足判別公式為鏡面信源，取反操作得到10°。完成上述判別操作后，即可得到全部的波達角為10°、30°、60°。

圖3 本文算法在半譜內搜索

3.2 兩種算法成功率對比

陣元數為18的均勻線陣，子陣陣元數為17，子陣個數為2，將入射角度設置為10°、30°、60°，其中10°與30°為相干信源，取信噪比從-10 dB，按照-2 dB的間隔增加至10 dB，快拍數取20、50、100，進行100次獨立計算機仿真實驗。當偏差在0.5°內認定算法成功，即成功率定義為成果次數與總實驗次數的比值，仿真結果如圖4所示。

圖4 3種快拍下2種算法的成功率

由圖4可知，在信噪比一定時，2種算法的成功率隨著快拍數的增加而提高。整體來看，本文所提算法在相同信噪比和快拍數下，本文算法的成功率優于前向平滑算法。

3.3 兩種算法標準差分析

陣元數為18的均勻線陣，子陣陣元數為17，子陣個數為2，將入射角度設置為10°、30°、60°，其中10°與30°為相干信源，取信噪比從-10 dB，按照-2 dB的間隔增加至10 dB，快拍數取20、50、100，進行100次獨立計算機仿真實驗，仿真結構如圖5所示。由圖5可知，在信噪比一定時，2種算法的標準差隨著快拍數的增加而降低。從整體來看，本文所提算法在相同信噪比和快拍數下，本文算法的標準差優于前向平滑算法。

圖5 3種快拍下2種算法的標準差

4 結 語

本文針對傳統的多重子空間分類算法不適用于相干源條件且譜搜索計算量大的問題，在傳統的前后平滑算法基礎上，最大限度利用數據互協方差矩陣來構建新的協方差矩陣，提高了算法抗噪性能和分辨率。對協方差矩陣進行特征值分解，利用對稱壓縮譜思想，構造一種新的空間譜函數，即可在半譜范圍內進行譜搜索得到完整的方位信息，大大減少了空間譜搜索的計算量。因此，本文算法具有重要的現實意義。

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