空調系統送風湍流分形維數的研究★

王 倩 鮮沐希 程鵬月 張孟浩

(河北建筑工程學院，河北 張家口 075000)

1 概述

自然界和工程應用中出現的空氣流動現象許多都是湍流，我們常見的空調送風現象就是一種湍流運動。湍流的運動是相當復雜、極不規則的，長久以來，科研者們利用經典物理學的觀點和方法對湍流運動進行分析，一直未取得重大的突破，其根本原因在于湍流運動具有明顯的非線性特征。非線性的分形學為湍流找到了一個新的研究方向，而分形維數能夠直觀上反映出分形體的“不規則”程度。對分形體而言，分形維數越大，分形體就越復雜、越不規則，反之則亦然[1]。本文采用盒維數的定義和方法通過確定速度信號的分維數來研究室內空調系統送風的湍流分形維數。

2 實驗及數據測量

2.1 實驗測試模型

實驗房間物理模型如圖1所示，該實驗房間位于地上2樓，內外墻及頂層保溫良好。房間尺寸為：長×寬×高=8.0 m×8.0 m×3.9 m，房間面積為64 m2。空調位于房間中心位置處，距地面高度為3.3 m，空調額定制冷容量為11.2 kW，額定制熱容量為12.5 kW，機器尺寸為246 mm×840 mm×840 mm，裝飾面板尺寸為50 mm×950 mm×950 mm，空調送回風方式為四面送風，中間回風，出風口的風度為3.0 m/s。

2.2 實驗測點布置及方法

空調送風方式為上送上回，內外窗密閉性良好，故測點布置在其中一側，測點平面布置如圖2所示，每個測點間隔為60 mm，分別布置在距離空調出風口150 mm，300 mm，450 mm處，速度測點共計15個。實驗采用多點風速儀(SYSTEM 6242)測速，該儀器結構靈活、簡單，多點測試更加充實、方便。利用多點風速儀得到各點3 000組瞬時速度，每組速度的采樣時間間隔為0.1 s，同一高度處采集到的速度樣本為5個，共15個。

2.3 實驗結果與分析

利用多點風速儀可以得到15個樣本點3 000組的瞬時速度，對得到的數據進行分析。外部突發狀況的干擾或者實驗裝置本身的故障問題可能會導致實驗結果的準確性降低，所以我們認為當速度出現很大的脈動值時是不真實的，予以剔除。如圖3，圖4所示為其中兩個樣本點的速度信號圖。

由圖3，圖4可以看出速度的時間序列呈現出不規則的振動狀態，且速度的分布是十分混亂沒有規則的。這些雜亂無章的曲線包含了湍流運動的大量信息，如果僅從統計理論出發，將湍流描繪成連續、光滑的曲線，就會錯失大量的湍流運動規律。為此我們引入分形的概念，并用分形維數來描述速度信號的不規則、波動程度。

3 分形維數的計算及分析

3.1 盒維數

維數是幾何對象的一個重要特征量，它代表描述幾何對象中一個點的位置所需要的獨立坐標數目[2]。歐氏幾何中的對象用整數維來描述，點的維數是0，線的維數是1，面的維數是2，體的維數是3。分形幾何是以復雜的、非規則的幾何形態、行為或現象為研究對象。分形認為，只有用非整數維數的尺度去度量它，才能恰好地反映其不規則性和復雜程度，這種非整數值的維數統稱為分形維數[3]。本文采用盒維數的定義和方法通過確定速度時間信號的分形維數來研究空調系統送風湍流的分形特征。

盒計數維數的定義如下[4]：

設F是Rn空間的任意非空有界子集，r為用來覆蓋測量對象的盒子的邊長，對于任意的一個r>0，N(r)為用來覆蓋F所需要的盒子數。如果存在D，使得r→0時，有：

N(F)∝1/rD

(1)

那么稱D為F的盒計數維數(盒維數)。盒維數為D，當且僅當存在一個整數k，使得：

(2)

對式(2)兩邊取對數，得：

(3)

進一步求得：

(4)

3.2 速度時間信號的分形維數

計算盒維數的步驟：

第一步：根據多點風速儀測量結果，繪制出速度在時間上的分布曲線。第二步：分別用邊長為rm，m=1，2，…，M的方格網分割速度分布曲線，并數出含有曲線的方格數Nm(r)，見圖5。第三步：在以-logr為橫坐標，以logN(r)為縱坐標的雙對數坐標系中描出點(logrm，logNm(r))，這些分布點的斜率即為該速度信號線的盒維數。

根據計算盒維數的步驟，編寫MATLAB程序，計算15個樣本點的速度信號在時間上的分形維數。下面是距離風口150 mm處的一個樣本的湍流瞬時速度的時間序列及其對應的分形維數測量結果，見圖6，圖7。

利用上述方法可以得到15個樣本點的分形維數分別為1.699 3，1.690 2，1.722 3，1.678 0，1.645 1，1.678 0，1.671 4，1.707 0，1.669 2，1.645 1，1.628 6，1.616 7，1.659 6，1.630 7，1.614 9。由此可以看出本實驗中速度時間信號的分形維數在1.60～1.73之間。分形維數可以用來描述速度信號的不規則、波動程度，上述計算的分形維數反映了一段時間內湍流脈動的局部特征。

3.3 速度信號分形維數的分布

通過上述對速度時間信號分形維數的分析研究，我們發現同一高度樣本點的分形維數并不相等，下面對不同高度的速度時間信號的分形維數進行分析。

通過對距離風口不同高度處的速度時間信號分形維數分布(如圖8所示)的分析，可以知道，同一高度樣本點的分形維數從中間位置向兩側逐漸降低，這說明中間位置樣本點的不規則、波動程度大于兩側，樣本速度的波動程度從中間向兩側逐漸趨減小。另外近回風口一側的分形維數呈現增大的現象，說明本實驗中回風氣流可能導致局部空氣的波動，從而導致分形維數的增大。距離風口不同高度處的速度時間信號分形維數的分布趨于一致。

4 結語

本文利用MATLAB計算了各樣本點速度信號的分形維數，發現實驗中速度時間信號的分形維數在1.60～1.73之間。 通過對距離風口不同高度處的樣本點速度時間信號分形維數分布的分析，可以知道，同一高度樣本點的分形維數從中間位置向兩側逐漸降低，這說明速度的波動程度從中間向兩側逐漸趨減小，分形維數可以反映一段時間內湍流脈動的局部特征。

通過對湍流速度時間信號的分形維數的研究，我們可以看出分形維數能夠更加直觀、具體的反映湍流運動的脈動特征，這就為簡化室內空氣分布的計算提供了一定的參考。

參考文獻:

[1] 羅世華.高爐冶煉過程的分形特征辨識和其應用研究[D].杭州：浙江大學，2006.

[2] 寧 吉.分形理論在微觀圖像處理中的應用研究[D].廣州：暨南大學，2013.

[3] 賈 建.迭代函數系統與分形圖形融合技術研究[D].西安：西北大學，2001.

[4] 朱 華，姬翠翠.分形理論及其應用[M].北京：科學出版社,2011.