基于局域共振聲子帶隙的扭轉減振器設計方法

吳昱東， 李人憲， 丁渭平， 楊明亮， 馬逸飛

(西南交通大學 機械工程學院， 成都 610031)

動力傳動系扭轉振動是汽車車內振動與噪聲的重要激勵源之一，可引起變速器齒輪敲擊異響(Gear Rattle Noise)[1]、車內轟鳴聲(Booming Noise)[2]等噪聲問題，降低汽車乘坐舒適性，嚴重時，甚至會引發傳動軸系斷裂、變速器損壞，威脅車內乘員安全[3]。自汽車產生以來，人們就在不斷探索各種控制傳動系扭轉振動的方法，安裝橡膠扭轉減振器就是其中常用的一種。由于對單一扭轉振動峰值衰減效果較好，結構簡單、成本較低，橡膠扭轉減振器被廣泛用于汽車發動機曲軸及傳動系扭轉減振[4]。

目前，在扭轉減振器減振特性設計研究中，對固有頻率特性研究較多[5-6]，而對減振頻帶范圍的研究較少，因此工程應用中，涉及扭轉減振器減振頻率范圍設計時，往往根據經驗來確定。近年來，聲學超材料以其可通過亞波長尺寸結構實現對低頻機械波有效控制的特性，吸引了大量物理學、材料學等學科的研究學者[7-10]，局域共振型聲子晶體作為聲學超材料中的一員，其帶隙及波導理論也逐漸清晰[11-15]。由于局域共振聲子晶體與扭轉減振器均是通過共振單元諧振將振動能量局域化，阻隔其傳播，兩者具有相似的減振機理，因此局域共振聲子晶體帶隙理論研究的不斷深入也為扭轉減振器的設計方法提供的新的思路。

本文嘗試基于局域共振聲子晶體帶隙理論，研究扭轉減振器的減振頻帶特性，據此提出扭轉減振器減振帶隙的設計計算方法，并將該方法應用于汽車動力傳動系扭振實際工程問題。

1 扭轉減振器減振帶隙機理

1.1 扭轉減振器帶隙機理分析

如圖1所示為扭轉減振器結構示意圖，扭轉減振器從內到外一般由扭轉減振器所安裝軸系、橡膠圈和外圈三部分組成。根據其結構可建立圖2所示扭轉減振器當量簡化模型，當頻率為ω的扭轉振動波傳遞至扭轉減振器所安裝軸系(即基體)時，根據牛頓第二定律，分別對基體及扭轉減振器外圈(即振子)建立平衡方程如式(1)及式(2)所示。

T-T′=(iω)2I0θ

(1)

T′=(iω)2I1α

(2)

式中：T為入射扭轉波對基體的作用轉矩;T′為振子對基體的反作用力矩;I0為基體轉動慣量;I1為振子轉動慣量;θ及α分別為基體和振子的角位移。

對于扭轉減振器振子，根據胡克定律有

-T′=K1(α-θ)

(3)

式中:K1為扭轉減振器橡膠圈的扭轉剛度。

將式(2)及式(3)代入式(1)中，可得

(4)

若將基體、振子及橡膠圈看成一個具有等效轉動慣量的整體結構，式(4)可以表示為

T=(iω)2Ieffθ

(5)

(6)

對于該整體結構，其角位移頻率響應函數為

(7)

則該系統的等效轉動慣量及角位移頻響函數隨入射扭轉波頻率的變化曲線如圖3所示。

圖3 等效轉動慣量及角位移頻響函數隨頻率變化關系

Fig.3 Equivalent rotational inertia and frequency response function of angular displacement change with frequency

若將該扭轉減振器視為一局域共振聲子晶體晶胞，則動態等效轉動慣量較大的頻率區域對應局域共振帶隙產生的頻率范圍，而系統在零等效慣量點發生共振，意味著帶隙的結束；實際中，振動衰減到一定程度即可認為是帶隙，所以帶隙的截止頻率低于零等效慣量點對應的頻率。從圖3可看出，在該帶隙范圍內，角位移頻響函數較小，振動衰減明顯，因此扭轉減振器減振頻帶特性與基于聲子晶體理論的扭轉減振器(晶胞)帶隙是一致的，增大零等效慣量點與局域共振點之間的距離，將會使帶隙的寬度增加。

1.2 扭轉減振器帶隙計算方法

由于局域共振聲子晶體帶隙可以表達扭轉減振器減振頻帶特性，因此可基于聲子晶體理論，計算扭轉減振器的減振帶隙。對于圖1所示橡膠扭轉減振器結構(局域共振聲子晶體晶胞)，在扭轉波激勵下，該晶胞繞軸線x扭轉振動，波動方程為[16]

(8)

由于局域共振聲子晶體帶隙由晶胞結構決定，與其排列周期數無關，因而可在無限周期結構中計算該晶胞帶隙[17]，則第n個晶胞的解可以寫成

θ(xn,t)=T(t)Θ(xn)=

eiωt[Ansin(qxn)+Bncos(qxn)]

(9)

假設n第個局域共振結構中金屬環的扭轉位移為

φn(t)=Vneiωt

(10)

式中:Vn為第n個振子的振幅。對于第n個振子的慣量矩，根據力矩平衡得到

(11)

將式(9)和式(10)代入式(11)中得到

(12)

由第n-1個晶胞和第n個晶胞之間的位移連續和扭轉連續得到

Bn=An-1sin(qa)+Bn-1cos(qa)

(13)

An+FBn=An-1cos(qa)-Bn-1sin(qa)

(14)

式中:F=ω2IK/μ0JtqK-Iω2。

將式(13)及式(14)寫成矩陣形式為

ψn=Mψn-1

(15)

式中:ψn=[An,Bn]T

M=

(16)

即為傳遞矩陣，可以求解到解析的色散關系

(17)

式中:k為Bloch波矢。對于任意給定的頻率ω，利用式(17)可以求得對應的k值，即可獲得聲子晶體即扭轉減振器的帶隙特性。

為具體說明該計算方法的使用，取基體材料為鋼，半徑r0為25 mm，軸向長度a為60 mm；橡膠圈材料為硫化橡膠，外圈半徑r1為40 mm，軸向長度l1為30 mm；振子材料為鋼，外圈半徑r2為50 mm，軸向長度l2為30 mm，則根據式(17)計算獲得扭轉減振器能帶結構如圖4所示。可以看出，該扭轉減振器可在50～120 Hz內形成減振帶隙，抑制扭轉振動的傳播。

圖4 能帶結構圖

2 設計參數對扭轉減振器帶隙影響

2.1 幾何參數對扭轉減振器帶隙影響

對于上述簡易橡膠扭轉減振器而言，其幾何設計參數主要包括基體半徑r0，軸向長度a；橡膠圈外圈半徑r1，軸向長度l1；振子外圈半徑r2，軸向長度l2。基于圖4所示扭轉減振器，進行幾何參數對扭轉減振器帶隙影響的靈敏度分析，結果如圖5所示。

從圖5可以看出，隨著基體半徑的增大，扭轉減振器減振帶隙下界升高，而上界則變化很小，帶隙變窄；當橡膠圈外徑增大時，帶隙下界升高，上界降低，帶隙寬度減小；當振子外圈半徑增大時，帶隙上下界都降低，但下界降低幅度較大，帶隙變寬；當基體軸向長度變大，帶隙下界不變，而上界降低，帶隙寬度減小；當橡膠圈軸向長度增大，帶隙上下界都升高，帶隙寬度變大；當振子軸向長度增大時，帶隙上下界都降低，其中下界降低幅度更大，因此帶隙變寬。

2.2 材料參數對扭轉減振器帶隙影響

橡膠扭轉減振器材料設計參數主要包括在基體材料的彈性模量、密度，橡膠圈的材料彈性模量以及振子材料的密度。如圖6所示為各材料參數對扭轉減振器帶隙影響的靈敏度分析結果。

由圖6可看出，當基體材料密度增大時，扭轉減振器帶隙下界基本不變，上界降低，因此帶隙變窄；隨著振子材料密度增大，帶隙上下界都降低，其中下界降低幅度更大，帶隙變寬；基體材料的彈性模量對扭轉減振器帶隙基本沒有影響；當橡膠圈材料彈性模量增大時，帶隙上下界都升高，上界上升幅度較大，帶隙寬度增大。

(a) 基體半徑對帶隙影響

(b) 橡膠圈外圈半徑對帶隙影響

(c) 振子外圈半徑對帶隙影響

(d) 基體軸向長度對帶隙影響

(e) 橡膠圈軸向長度對帶隙影響

(f) 振子軸向長度對帶隙影響

(a) 基體密度對帶隙影響

(b) 振子密度對帶隙影響

(c) 基體彈性模量對帶隙影響

(d) 橡膠圈彈性模量對帶隙影響

3 扭轉減振器設計方法應用

某國產前置后驅MPV車在加速行駛過程中，由于傳動系扭轉振動劇烈，引致車內出現明顯轟鳴聲問題，嚴重影響車輛乘坐舒適性，其傳動系扭轉振動及車內噪聲測試結果如圖7與圖8所示(黑實線所示)。從圖中可以看出，在該車加速過程中，當發動機轉速達到1 500 r/min附近時，傳動系扭轉振動十分劇烈，相應地，此時車內噪聲聲壓級也出現明顯峰值。

為解決該車傳動系扭振引致的車內轟鳴聲問題，選擇使用橡膠扭轉減振器抑制其傳動系扭振。該車加速過程中，發動機(4缸)轉速在1 300～1 700 r/min范圍內時動力傳動系扭振較為劇烈，對應其扭振2階激勵頻率范圍為43～57 Hz。則根據式(17)計算分析可得，當扭轉減振器基體材料為鋼，半徑為55 mm，軸向長度60 mm；橡膠圈材料為硫化橡膠，半徑為70 mm，軸向長度18 mm；振子材料為鋼，半徑為82 mm，軸向長度為35 mm時，其減振帶隙下界為41.3 Hz，上界為63.1 Hz，帶隙寬度為21.8 Hz，可有效覆蓋傳動系扭振的峰值范圍。試制扭轉減振器樣件，將其安裝于主減速器輸入軸處(如圖9所示)，并進行整車傳動系扭轉振動及車內噪聲測試，測試結果如圖7及圖8所示。從圖中可以看出，安裝扭轉減振器后，當發動機轉速位于1 500 r/min附近時，傳動系扭轉振動得到了有效抑制，車內噪聲聲壓級降低，同時主觀感受也無明顯轟鳴聲出現。

圖7 動力傳動系扭振測試

圖8 車內噪聲測試

圖9 傳動系安裝扭轉減振器

4 結 論

(1) 通過對扭轉減振器動態等效轉動慣量分析發現，扭轉減振器減振頻帶特性與局域共振聲子晶體帶隙特性是一致的。

(2) 基于局域共振聲子晶體帶隙理論，提出了扭轉減振器減振帶隙的計算方法，并研究了幾何設計參數與材料設計參數對扭轉減振器帶隙的影響規律。

(3) 運用基于局域共振聲子帶隙的計算方法設計扭轉減振器，有效解決了某國產MPV傳動系扭轉振動引致的車內轟鳴聲問題，該方法可用于工程實際中扭轉減振器的研發與設計。

參 考 文 獻

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