基于S變換的簡支梁結(jié)構(gòu)損傷檢測方法研究

劉 寧， 劉四新， 奚佳欣， 張雪冰， 姜立鑫

(1.吉林大學(xué) 地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長春 130026；2.吉林建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院，長春 130118；3.吉林建筑大學(xué) 測繪與勘查工程學(xué)院，長春 130118)

土木工程結(jié)構(gòu)的功能實(shí)現(xiàn)在很大程度上取決于其在服役期間的表現(xiàn)，然而土木工程結(jié)構(gòu)在長達(dá)數(shù)十年的服役期間不可避免的會受到人為或自然因素的影響，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)損傷累積以及抗力衰減。結(jié)構(gòu)損傷會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)物理性能的變化，主要體現(xiàn)在損傷位置剛度和阻尼的改變[1-2]。同時(shí)結(jié)構(gòu)特性的改變影響其初始條件下的結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)。因此，結(jié)構(gòu)狀態(tài)評估中常見的做法是檢測結(jié)構(gòu)的物理動態(tài)特征，以便在最初階段識別損傷。通過這種結(jié)構(gòu)狀態(tài)評估方法不僅可以及時(shí)做出維修、恢復(fù)以及更換的決策，而且還可以提高重要基礎(chǔ)設(shè)施的運(yùn)行效率并延長使用壽命，避免因未發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷而導(dǎo)致的人身財(cái)產(chǎn)損失[3-4]。

在結(jié)構(gòu)損傷檢測研究領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)可以被模擬為具有輸入激勵信號和可測量輸出信號的系統(tǒng)。在這種情況下，損傷的出現(xiàn)被認(rèn)為是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)部能量流動和轉(zhuǎn)移的附加激勵，并改變了輸出信號[5-6]。近幾十年來，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出了許多不同的結(jié)構(gòu)損傷檢測方法，其中基于振動的損傷檢測方法是重要的分類之一[7-8]。利用結(jié)構(gòu)振動信號進(jìn)行損傷檢測可以獲取結(jié)構(gòu)的整體損傷信息，并具有檢測費(fèi)用低，無需中斷結(jié)構(gòu)使用等特點(diǎn)，相對于傳統(tǒng)以靜力測試為主的結(jié)構(gòu)損傷檢測方法具有較大優(yōu)勢[9-11]。

近年來，許多時(shí)頻分析方法被應(yīng)用在基于振動信號的結(jié)構(gòu)損傷檢測方法研究中，包括短時(shí)傅里葉變換(Short Time Fourier Transform，STFT)、小波變換(Wavelet Transform，WT)、希爾伯特黃變換(Hilbert-Huang Transform，HHT)等，這些時(shí)頻分析方法在處理非穩(wěn)態(tài)信號時(shí)可以提供更多傅里葉變換無法提供的細(xì)節(jié)信息[12-14]。S變換是在地球物理學(xué)領(lǐng)域發(fā)展起來的一種時(shí)頻分析方法，S變換結(jié)合了短時(shí)傅里葉變換和小波變換的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又具有更高的時(shí)頻分辨率[15-16]。在已有的基于S變換的結(jié)構(gòu)損傷檢測方法研究中，Pakrashi等[17]利用S變換檢測一個(gè)線性單自由度系統(tǒng)在諧波激勵下剛度的突然退化以及用于檢測一個(gè)簡支損傷鋼筋梁中的局部開裂現(xiàn)象，結(jié)果表明了S變換的有效性并具有較好的抗噪性能。周奎等[18]利用S變換分析了一個(gè)單跨兩層鋼結(jié)構(gòu)試驗(yàn)?zāi)Ｐ凸?jié)點(diǎn)損傷信號的時(shí)頻特性，并對不同節(jié)點(diǎn)損傷程度的信號進(jìn)行了對比分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)節(jié)點(diǎn)損傷程度加劇時(shí)，損傷信號能量最大值的極值先減小后增大。盡管S變換在結(jié)構(gòu)損傷檢測領(lǐng)域的研究已有一定基礎(chǔ)，但目前仍未應(yīng)用到鋼筋混凝土梁的結(jié)構(gòu)損傷檢測中，因此，如何將S變換應(yīng)用到實(shí)際的鋼筋混凝土梁結(jié)構(gòu)損傷檢測工程當(dāng)中，并獲得較好的損傷識別結(jié)果是一項(xiàng)既有挑戰(zhàn)又具有實(shí)際意義的工作。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 S變換理論基礎(chǔ)

盡管整個(gè)時(shí)間序列的傅里葉變換包含了關(guān)于時(shí)間序列中的頻譜分量的信息，但通過傅里葉變換無法檢測到不同頻率的時(shí)間分布，所以對于非平穩(wěn)信號處理的實(shí)際應(yīng)用，選擇傅里葉變換并不合適。為了同時(shí)研究信號在時(shí)間域和頻率域里的局部性質(zhì)，Gabor在傅里葉變換的基礎(chǔ)上提出了加窗傅里葉變換，也稱為短時(shí)傅里葉變換(STFT)。短時(shí)傅里葉變換應(yīng)用最為廣泛，但由于固定窗口寬度的限制，短時(shí)傅里葉變換的時(shí)間分辨率和頻率分辨率相互制約，不具有自適應(yīng)性。小波變換繼承和發(fā)展了短時(shí)傅里葉變換局部化思想，同時(shí)克服了窗口大小無法隨頻率變化等缺點(diǎn)，可以提供一個(gè)隨頻率改變的時(shí)頻窗口。但小波變換對噪聲敏感，并且傳統(tǒng)的小波變換不具有小波級數(shù)與頻率的對應(yīng)關(guān)系。

1996年地球物理學(xué)家Stockwell在前人研究的基礎(chǔ)上提出S變換。S變換結(jié)合了短時(shí)傅里葉變換和小波變換的優(yōu)點(diǎn)，S變換中頻率的倒數(shù)決定著高斯窗尺度的大小，具備小波變換多分辨的優(yōu)點(diǎn)，并且S變換中存在相位因子，保留了每個(gè)頻率的絕對相位特征，這是小波變換所不具備的特性，同時(shí)S變換和傅里葉變換一樣具備無損可逆的特性。

一維連續(xù)S變換表達(dá)式為

(1)

式中：S為f(t)的S變換；t為時(shí)間；f為頻率；τ為控制時(shí)間軸上的高斯窗位置，相當(dāng)于小波變換中的平移因子。S變換的原理結(jié)合了小波變換和短時(shí)傅里葉變換這兩種數(shù)學(xué)變換的元素同時(shí)又具有自己的特點(diǎn)。與小波變換相似的是，S變換的時(shí)窗寬度與頻率相關(guān)，而不同于小波變換與短時(shí)傅里葉變換相同的是，S變換通過使用一個(gè)時(shí)窗來局部化復(fù)雜的傅里葉正弦曲線。

一維連續(xù)S變換逆變換表達(dá)式為

(2)

S變換可以通過短時(shí)傅里葉變換或由連續(xù)小波變換推導(dǎo)得到。

1.2 定義時(shí)頻譜的能量

在不同荷載狀態(tài)下對獲取的振動數(shù)據(jù)進(jìn)行S變換可以得到不同荷載狀態(tài)下相應(yīng)數(shù)據(jù)的時(shí)頻譜。為了能夠量化時(shí)頻譜中能量的變化，我們引入弗羅貝尼烏斯范數(shù)(Frobenius Norm，F(xiàn)-范數(shù))的概念，此范數(shù)可用不同的方式定義

(3)

式中：A*為A的共軛轉(zhuǎn)置；σi為A的奇異值，并使用了跡函數(shù)。F-范數(shù)與歐幾里得范數(shù)非常類似，可以表示為來自所有矩陣的空間上一個(gè)內(nèi)積。

對于基于S變換得到的時(shí)頻譜S(t,f)，可以通過E來定義時(shí)頻譜的能量，表示為

(4)

式中：m、n分別為時(shí)頻譜中時(shí)間方向和頻率方向的時(shí)頻譜像素點(diǎn)數(shù)，可以由m=T·Pt，n=F·Pf來定義，T、F為時(shí)頻譜中時(shí)間方向和頻率方向的范圍，Pt、Pf為時(shí)間分辨率和頻率分辨率。

2 數(shù)值算例

為了綜合分析S變換應(yīng)用在不同類型信號處理中的優(yōu)勢，以雙chirp合成信號和交叉chirp合成信號為例，分別用S變換和短時(shí)傅里葉變換對這兩種合成信號進(jìn)行處理和分析。

圖1(a)是由兩個(gè)調(diào)頻信號組成的雙chirp合成信號，圖1(b)和圖1(c)分別是經(jīng)過短時(shí)傅里葉變換和S變換后的時(shí)頻譜。從圖中可以看出，相比于短時(shí)傅里葉變換，經(jīng)S變換后的時(shí)頻譜在低頻處展現(xiàn)出更高的頻率分辨率，而在高頻處分辨率較低。從時(shí)間分辨率的角度來觀察，經(jīng)S變換后可以看到能量隨時(shí)間存在較好的連續(xù)變化關(guān)系。相反，短時(shí)傅里葉變換則無法同時(shí)兼顧時(shí)間和頻率分辨率，當(dāng)短時(shí)傅里葉變換為了提高時(shí)間分辨率，降低窗口寬度時(shí)，其頻率分辨率隨之降低，反之亦然。

(a)

(b)

(c)

相比于雙chirp合成信號，交叉chirp合成信號是一種更為復(fù)雜的合成調(diào)頻信號，如圖2(a)所示。從該信號短時(shí)傅里葉變換后得到的時(shí)頻譜中(圖2(b))可以看出，短時(shí)傅里葉變換僅能識別出交叉chirp信號，但時(shí)間和頻率分辨率都較低，尤其在時(shí)間80 s、110 s和190 s等處能量隨時(shí)間變化存在明顯的不連續(xù)現(xiàn)象，不利于在時(shí)頻域內(nèi)對信號做進(jìn)一步分析。同樣，經(jīng)S變換后的時(shí)頻譜(圖2(c))在高頻部分頻率分辨率較低，這是由于在特定頻率下，S變換時(shí)頻窗相對細(xì)長，導(dǎo)致了時(shí)間分辨率提高的同時(shí)降低了頻率分辨率。然而相比于短時(shí)傅里葉變換，S變換后低頻處的頻率分辨率較高，并且時(shí)頻譜中能量隨時(shí)間連續(xù)變化，展現(xiàn)出更好的時(shí)頻分辨效果。

(a)

(b)

(c)

圖2 交叉chirp合成信號及其時(shí)頻譜

Fig.2 Cross-chirp synthetic signal and its time-frequency spectrum

3 試驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理

3.1 試驗(yàn)材料參數(shù)及儀器裝置

實(shí)驗(yàn)采用的鋼筋混凝土試驗(yàn)梁長1 000 mm，凈跨900 mm，截面尺寸100 mm×150 mm。采用C20混凝土，受拉區(qū)縱筋2φ10，受壓區(qū)縱筋2φ6，箍筋率φ6@100，如圖3所示。

圖3 試驗(yàn)梁配筋示意圖

圖4為試驗(yàn)梁加載示意圖，簡支梁兩側(cè)支座距離梁端為50 mm。激勵源為人工力錘激勵，敲擊點(diǎn)分別位于簡支梁左側(cè)支座上方、左側(cè)1/4跨受壓縱筋上方以及左側(cè)上方距跨中50 mm處，為了盡可能保證激勵源的一致性，所選用的有效激勵大小都在140 N±10 N范圍內(nèi)，典型力錘激勵信號如圖5所示。簡支梁上方右側(cè)布設(shè)2枚加速度傳感器，分別位于右側(cè)上方距跨中50 mm處和右側(cè)支座上方。

對簡支梁施加集中荷載的儀器為500 kN微機(jī)控制電液伺服結(jié)構(gòu)試驗(yàn)系統(tǒng)(圖6(a))，最大試驗(yàn)力500 kN，試驗(yàn)力精度≤±0.5%；振動信號采集系統(tǒng)采用的是動態(tài)信號測試分析系統(tǒng)(圖6(b))；激勵力錘為結(jié)構(gòu)振動采集分析系統(tǒng)力錘(圖6(c))；2枚加速度傳感器采用壓電加速度傳感器，靈敏度約為100 mV/ms2，頻響范圍0.1 Hz～1 kHz。

圖4 試驗(yàn)梁加載示意圖

圖5 典型力錘激勵信號

(a)(b)(c)

圖6 試驗(yàn)現(xiàn)場儀器設(shè)備裝置

Fig.6 The equipment and devices of the test field

3.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

試驗(yàn)過程中在跨中位置施加集中荷載，每級荷載增加5 kN，加至每級荷載后持荷2 min，卸荷后分別敲擊簡支梁左側(cè)的三個(gè)點(diǎn)并通過右側(cè)的兩個(gè)加速度傳感器接收振動信號，以此加載方式至簡支梁完全破壞后試驗(yàn)結(jié)束。隨后利用S變換對獲取到的加速度振動信號進(jìn)行處理及后續(xù)分析。由于試驗(yàn)整體數(shù)據(jù)量較大，本文以敲擊點(diǎn)3和加速度傳感器1接收到的數(shù)據(jù)為例進(jìn)行處理及分析。

圖7展示了簡支梁承受0 kN～40 kN集中荷載力，卸荷后加速度傳感器接收到的振動響應(yīng)信號，集中荷載力逐級增加5 kN，圖中每段信號時(shí)長為1 s，采樣率為500 Hz。從圖7(a)～圖7(h)可以發(fā)現(xiàn)振動響應(yīng)信號的最大幅值逐漸減小，并且信號的振動時(shí)間長度整體上呈現(xiàn)逐漸縮短趨勢。接下來對這9組數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，觀察振動響應(yīng)信號在頻率域的特征，如圖8所示。從圖8(a)～圖8(e)可以看出隨著荷載力的逐漸增加，主頻約100 Hz處的振幅值逐級遞減。但當(dāng)荷載力超過20 kN后，主頻對應(yīng)的振幅值逐漸增強(qiáng)。特別值得注意的是當(dāng)荷載力加到40 kN時(shí)，簡支梁完全破壞，對應(yīng)頻譜中(見圖8(i))高頻處振幅值顯著升高。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

為了進(jìn)一步的觀察和研究在不同荷載力狀態(tài)下，振動響應(yīng)信號在時(shí)間-頻率域中的變化特征。對9組時(shí)間域的振動響應(yīng)信號進(jìn)行S變換，得到從0 kN～40 kN荷載力狀態(tài)下，振動響應(yīng)信號S變換后的時(shí)頻譜，如圖9所示。

從圖9(a)～圖9(h)能夠發(fā)現(xiàn)時(shí)頻譜中能量集中區(qū)域的頻帶范圍在60 Hz～250 Hz，隨著荷載力的逐漸增加，時(shí)頻譜中能量集中區(qū)域呈現(xiàn)逐漸縮小的趨勢。在圖9(g)和圖9(h)中可以看出200 Hz～250 Hz高頻處能量值明顯降低，這是由于隨著荷載力的增加簡支梁中出現(xiàn)裂縫，彈性波穿過時(shí)高頻成分快速衰減所導(dǎo)致。另外，圖9(i)與圖8(i)有較好的對應(yīng)關(guān)系，圖9(i)中0.1 s～0.2 s內(nèi)200 Hz～250 Hz高頻處的能量有所增強(qiáng)，這主要是由于集中荷載加到40 kN時(shí)簡支梁受拉區(qū)完全開裂，彈性波傳播的載體由以混凝土為主變?yōu)橐凿摻顬橹鳌２⑶译S著簡支梁中裂縫的發(fā)育，彈性波傳播時(shí)會產(chǎn)生多次反射和折射現(xiàn)象，因此加速度傳感器會接收到更為復(fù)雜的信號成分，具體體現(xiàn)在圖9(i)中0.2 s～0.4 s內(nèi)的能量集中區(qū)域。

接下來，將經(jīng)過S變換后得到的9組時(shí)頻譜疊加，以三維數(shù)據(jù)體的形式進(jìn)行顯示，如圖10所示。圖10(a)和圖10(b)中，上剖面分別是三維數(shù)據(jù)體在100 Hz和240 Hz處切片的二維顯示；右側(cè)剖面分別是三維數(shù)據(jù)體在0.142 s和0.15 s時(shí)切片的二維顯示。從兩張圖的上剖面可以看出，隨著荷載力的加大，數(shù)據(jù)體中低頻和高頻在0.2 s～0.4 s內(nèi)的能量都有所加強(qiáng)。在兩張右側(cè)剖面中，除40 kN荷載力時(shí)獲取的數(shù)據(jù)之外，整體上呈現(xiàn)時(shí)頻譜能量隨著荷載力的增大而逐漸減弱的趨勢。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(a)

(b)

為了量化時(shí)頻譜中的能量變化，通過F-范數(shù)計(jì)算出每一組時(shí)頻譜的能量E，如圖11所示。可以發(fā)現(xiàn)簡支梁承受的荷載力為0 kN～35 kN時(shí)，計(jì)算得到的時(shí)頻譜能量E呈逐漸減小趨勢，當(dāng)簡支梁完全破壞時(shí)，時(shí)頻譜能量E顯著增大，與前文在時(shí)頻譜中觀察到的變化規(guī)律相符。

4 結(jié) 論

本文以簡支梁在跨中位置施加集中荷載以及通過力錘激勵獲取振動數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，將簡支梁結(jié)構(gòu)損傷檢測問題與信號處理方法相結(jié)合進(jìn)行研究。對簡支梁承受0 kN～40 kN集中荷載力，卸荷后接收到的9組振動信號分別在時(shí)間域、頻率域和經(jīng)S變換后的時(shí)頻域進(jìn)行分析，并通過F-范數(shù)量化了時(shí)頻譜中的能量變化，可以得出以下結(jié)論：

圖11 時(shí)頻譜能量E的變化

(1) 相比于傳統(tǒng)的時(shí)頻分析方法，S變換具有較高的時(shí)頻分辨能力，可以快速、有效的將時(shí)域振動信號變換到時(shí)頻域中進(jìn)行分析。

(2) 隨著簡支梁承受的荷載力的逐漸加大，簡支梁跨中位置裂縫發(fā)育，0 kN～35 kN荷載力狀態(tài)下時(shí)頻譜中的能量集中區(qū)域逐漸減小，尤其高頻位置對應(yīng)的能量衰減尤為明顯。同時(shí)，由于彈性波在含有裂縫的簡支梁中傳播時(shí)會產(chǎn)生多次反射和折射，導(dǎo)致時(shí)頻譜中0.2 s～0.4 s的能量增強(qiáng)。

(3) 當(dāng)荷載力增加到40 kN時(shí)簡支梁完全破壞，彈性波傳播的主要載體發(fā)生變化，其對應(yīng)的時(shí)頻譜在整個(gè)頻帶范圍內(nèi)能量顯著增強(qiáng)。

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