非線(xiàn)性阻尼非線(xiàn)性剛度隔振系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別

胡廣深， 陸澤琦， 陳立群,2,3

(1.上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072；2.上海大學(xué) 力學(xué)系，上海 200444；3.上海大學(xué) 力學(xué)在能源工程中的利用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200072)

參數(shù)識(shí)別作為振動(dòng)分析中一種“逆問(wèn)題”分析方法，是建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，采用理論分析與實(shí)測(cè)相結(jié)合手段以處理工程中振動(dòng)問(wèn)題。用已知系統(tǒng)的輸入(激勵(lì))和輸出(響應(yīng))來(lái)求系統(tǒng)參數(shù)，研究系統(tǒng)特性，為實(shí)際工程問(wèn)題提供理論指導(dǎo)、改進(jìn)理論模型[1]。李晶等[2]提出了一種將解析模態(tài)分解與希爾伯特變換相結(jié)合的模態(tài)辨識(shí)方法，并對(duì)該方法進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證了該方法對(duì)低頻、密頻結(jié)構(gòu)模態(tài)辨識(shí)的正確性和優(yōu)越性。楊凱等[3]利用信號(hào)時(shí)頻分析理論，研究了溫度對(duì)參數(shù)辨識(shí)時(shí)變模態(tài)的影響，為熱環(huán)境下結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析提供了分析方法和實(shí)驗(yàn)依據(jù)。尹幫輝等[4]研究了結(jié)構(gòu)阻尼衰減法，對(duì)比了衰減法阻尼測(cè)試結(jié)果與統(tǒng)計(jì)能量分析意義下的頻段阻尼之間關(guān)系，探討了頻段外模態(tài)阻尼對(duì)頻段阻尼測(cè)試結(jié)果的影響。孫偉[5]提出了一種可重復(fù)性良好的實(shí)驗(yàn)測(cè)試硬涂層阻尼參數(shù)的方法，利用自由振動(dòng)衰減曲線(xiàn)研究了硬涂層復(fù)合結(jié)構(gòu)的阻尼特性。對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，可以通過(guò)直接求逆的方法對(duì)系統(tǒng)中的線(xiàn)性參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，而對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng)，識(shí)別其中的非線(xiàn)性參數(shù)則比較困難。

非線(xiàn)性隔振系統(tǒng)中的非線(xiàn)性剛度，人們做了許多探索和研究。Carrella等[6]研究了含有準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的隔振效果，運(yùn)用斜、水平線(xiàn)性彈簧構(gòu)造非線(xiàn)性剛度的想法為非線(xiàn)性剛度、非線(xiàn)性阻尼隔振系統(tǒng)提供了重要參考。Carrella等[7]還研究了高靜態(tài)低動(dòng)態(tài)剛度的非線(xiàn)性隔振系統(tǒng)力和位移傳遞率，預(yù)壓縮水平彈簧和豎直彈簧提供高靜態(tài)低動(dòng)態(tài)剛度，實(shí)現(xiàn)了較好的隔振效果。Brennan等[8]研究了達(dá)芬隔振系統(tǒng)上、下跳頻率現(xiàn)象等一些具體特性。此外，非線(xiàn)性隔振系統(tǒng)中的非線(xiàn)性阻尼得到了深入研究。Brosch等[9]研究了單自由度隔振系統(tǒng)在三種不同阻尼下的自由振動(dòng)特性以及不同阻尼間的對(duì)比，證明了單自由度隔振系統(tǒng)的水平線(xiàn)性阻尼可近似為立方非線(xiàn)性阻尼。此外，Tang等[10]還進(jìn)一步探究了單自由度隔振系統(tǒng)在不同阻尼下的強(qiáng)迫振動(dòng)并給出了良好的結(jié)果。

針對(duì)非線(xiàn)性振動(dòng)系統(tǒng)，Tang等[11]研究了脈沖響應(yīng)下達(dá)芬方程的解析解，為瞬態(tài)激勵(lì)參數(shù)識(shí)別方法提供了理論基礎(chǔ)，對(duì)于如何在瞬態(tài)激勵(lì)下識(shí)別隔振系統(tǒng)的非線(xiàn)性參數(shù)具有指導(dǎo)意義。Feldman[12-13]從自由振動(dòng)角度運(yùn)用希爾伯特變換分析非線(xiàn)性系統(tǒng)的振動(dòng)，研究了希爾伯特變換在時(shí)域信號(hào)關(guān)鍵參數(shù)提取中的應(yīng)用，給出了一種簡(jiǎn)明的自由振動(dòng)信號(hào)處理思路。李暉等[14]測(cè)試了非線(xiàn)性剛度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)，在修正經(jīng)典半功率帶寬法的基礎(chǔ)上，提出了一種適用于強(qiáng)、弱剛度非線(xiàn)性系統(tǒng)的阻尼辨識(shí)方法。但只能識(shí)別系統(tǒng)的非線(xiàn)性剛度參數(shù)，而忽略了非線(xiàn)性阻尼參數(shù)。鄧楊等[15]利用調(diào)頻小波變換，結(jié)合FREEVIB和FROCEVIB方法中的瞬時(shí)參數(shù)估計(jì)算法，通過(guò)多項(xiàng)式擬合識(shí)別出平均化的非線(xiàn)性剛度和阻尼。但是，這些研究大部分是基于系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，特別是對(duì)非線(xiàn)性阻尼識(shí)別的文獻(xiàn)較少。

本文運(yùn)用非線(xiàn)性振動(dòng)系統(tǒng)中特有的跳躍現(xiàn)象進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，對(duì)非線(xiàn)性特征現(xiàn)象進(jìn)行測(cè)量，并由此逆推結(jié)構(gòu)參數(shù)，成為非線(xiàn)性參數(shù)識(shí)別的新途徑。Tang等[16]運(yùn)用非線(xiàn)性跳躍現(xiàn)象識(shí)別立方非線(xiàn)性剛度。Roszaidi等[17]研究了位移激勵(lì)下利用正反掃頻獲得跳躍現(xiàn)象，識(shí)別了含有非線(xiàn)性剛度的達(dá)芬方程參數(shù)，并得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。而運(yùn)用跳躍現(xiàn)象對(duì)同時(shí)含有非線(xiàn)性阻尼和非線(xiàn)性剛度參數(shù)的識(shí)別沒(méi)有涉及，本文補(bǔ)充正反掃力幅獲得額外跳躍現(xiàn)象，識(shí)別出系統(tǒng)的非線(xiàn)性阻尼參數(shù)。另外本文意在通過(guò)兩種激勵(lì)方式研究同時(shí)含非線(xiàn)性剛度、非線(xiàn)性阻尼隔振系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別方法；在此基礎(chǔ)上，比較兩種識(shí)別方法和結(jié)果，以驗(yàn)證識(shí)別精度。

1 參數(shù)識(shí)別

針對(duì)同時(shí)含有非線(xiàn)性剛度和非線(xiàn)性阻尼非線(xiàn)性系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別，用如下系統(tǒng)受擾運(yùn)動(dòng)方程為例

(1)

式中:α為線(xiàn)性剛度系數(shù);γ為非線(xiàn)性剛度系數(shù);ζ1為線(xiàn)性阻尼系數(shù);ζ2為非線(xiàn)性阻尼系數(shù);f(t)為系統(tǒng)的輸入激勵(lì)，該激勵(lì)是和時(shí)間相關(guān)的變量。參數(shù)識(shí)別就是利用激勵(lì)和響應(yīng)的已知量得到系統(tǒng)的線(xiàn)性剛度系數(shù)、非線(xiàn)性剛度系數(shù)、線(xiàn)性阻尼系數(shù)和非線(xiàn)性阻尼系數(shù)四個(gè)未知量。

1.1 穩(wěn)態(tài)激勵(lì)參數(shù)識(shí)別

穩(wěn)態(tài)激勵(lì)選取余弦函數(shù)，即f(t)=Fcos(Ωt)，其中F是余弦激勵(lì)的激勵(lì)幅值，方程可寫(xiě)為

(2)

利用諧波平衡法，取解的形式為x=Xcos(Ωt+φ)，略去三階諧波cos(3Ωt)和sin(3Ωt)，可以得到穩(wěn)態(tài)激勵(lì)下該系統(tǒng)的幅頻方程

(3)

振幅跳躍現(xiàn)象是非線(xiàn)性隔振系統(tǒng)特有的現(xiàn)象，指的是在特定激勵(lì)條件下出現(xiàn)振幅突然變化現(xiàn)象。固定激勵(lì)幅值下改變激勵(lì)頻率和固定激勵(lì)頻率下改變激勵(lì)幅值兩種方式都會(huì)發(fā)生振幅跳躍現(xiàn)象，兩種方式下振幅跳躍處相應(yīng)的激勵(lì)頻率和激勵(lì)幅值，分別為上跳頻率、下跳頻率、上跳力幅和下跳力幅。通過(guò)這四個(gè)已知參數(shù)，可以得到系統(tǒng)的線(xiàn)性剛度系數(shù)、非線(xiàn)性剛度系數(shù)、線(xiàn)性阻尼系數(shù)和非線(xiàn)性阻尼系數(shù)四個(gè)未知參數(shù)。

(1)固定激勵(lì)幅值F改變激勵(lì)頻率Ω，可以得到上跳頻率和下跳頻率。

由幅頻方程給出穩(wěn)態(tài)激勵(lì)頻率解

(4)

考慮ζ1,2<<1，由Ω1=Ω2可以得到下跳頻率為

(5)

考慮ζ1,2<<1，解dΩ/dX=0得上跳頻率為

(6)

(2)固定激勵(lì)頻率Ω下改變激勵(lì)幅值F，可以得到上跳力幅和下跳力幅。

由幅頻方程給出穩(wěn)態(tài)激勵(lì)幅值解

(7)

考慮ζ1,2<<1，解dF/dX=0得下跳力幅和上跳力幅分別為

(8)

(9)

聯(lián)立式(5)、式(6)、式(8)、式(9)得到

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

1.2 瞬態(tài)激勵(lì)參數(shù)識(shí)別

瞬態(tài)激勵(lì)選取單位脈沖函數(shù)激勵(lì)，即F(t)=δ(t)，方程可寫(xiě)為

(11)

由于激勵(lì)選取的是單位脈沖函數(shù)，方程可寫(xiě)為

(12)

其中,初始條件為

考慮ζ1,2<<1，利用多尺度法，取一階近似解

x(t)=a(t)sin(ω0t+β(t))

(13)

結(jié)合初始條件得

(14)

(15)

式中：a(t)為系統(tǒng)在單位脈沖激勵(lì)下自由振動(dòng)衰減曲線(xiàn)的包絡(luò)線(xiàn)表達(dá)式。

瞬時(shí)相角為

(16)

瞬時(shí)頻率為

(17)

由自由振動(dòng)的時(shí)域衰減曲線(xiàn)，經(jīng)過(guò)信號(hào)處理，得到包絡(luò)線(xiàn)曲線(xiàn)、瞬時(shí)相角曲線(xiàn)和瞬時(shí)頻率曲線(xiàn)，結(jié)合由多尺度法解出的曲線(xiàn)相應(yīng)近似表達(dá)式，可以識(shí)別系統(tǒng)的線(xiàn)性剛度系數(shù)、非線(xiàn)性剛度系數(shù)、線(xiàn)性阻尼系數(shù)和非線(xiàn)性阻尼系數(shù)四個(gè)未知參數(shù)。

(1)包絡(luò)線(xiàn)

包絡(luò)線(xiàn)曲線(xiàn)可以用以e為底的指數(shù)函數(shù)擬合，故包絡(luò)線(xiàn)曲線(xiàn)方程可近似為

a(t)≈ea1t

(18)

其中,a1為已知。代入式(14)中，得

(19)

考慮ζ2<<1，可得

ζ1≈-a1

(20)

(2)瞬時(shí)相角

瞬時(shí)相角曲線(xiàn)可以用線(xiàn)性函數(shù)擬合，故瞬時(shí)相角曲線(xiàn)方程可近似為

Φ(t)≈Φ1t+Φ0

(21)

其中,Φ1、Φ0為已知。代入式(16)中，得

(22)

考慮ζ2<<1，可得

(23)

故有

ω0≈Φ1

(24)

(25)

(3)瞬時(shí)頻率

在瞬時(shí)頻率曲線(xiàn)上選取初始時(shí)刻的瞬時(shí)頻率Ω0作為已知參數(shù)，代入式(17)中，得

(26)

聯(lián)立式(20)、式(24)～式(26)得

ζ1≈-a1

(27)

式中：對(duì)于ζ2并沒(méi)有顯式表達(dá)式，但可以通過(guò)等式左右兩端作曲線(xiàn)取交點(diǎn)即可得到ζ2的值。

2 應(yīng)用舉例

如圖1所示為一種非線(xiàn)性剛度、非線(xiàn)性阻尼隔振系統(tǒng)，這一系統(tǒng)與經(jīng)典質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)相似，但是所不同的是除了豎直彈簧kv和阻尼cv，還有兩個(gè)水平放置剛度為kh的彈簧和阻尼為ch的阻尼，系統(tǒng)的剛度和阻尼非線(xiàn)性分別是由水平彈簧和水平阻尼在垂直運(yùn)動(dòng)方向上的作用產(chǎn)生的，即幾何非線(xiàn)性。

圖1 含有非線(xiàn)性剛度、非線(xiàn)性阻尼隔振系統(tǒng)模型

如圖1所示的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為

(28)

式中：l0為水平彈簧的初始長(zhǎng)度；l為彈簧預(yù)壓縮后的長(zhǎng)度。當(dāng)x<0.2l時(shí)，式(28)可近似寫(xiě)為無(wú)量綱方程

(29)

選取一組線(xiàn)性剛度系數(shù)、非線(xiàn)性剛度系數(shù)、線(xiàn)性阻尼系數(shù)和非線(xiàn)性阻尼系數(shù)，如表1、表2所示，利用Matlab數(shù)值模擬，可以得到這組選取參數(shù)值下的動(dòng)力學(xué)特性曲線(xiàn)，包括穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)特性曲線(xiàn)和瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)特性曲線(xiàn)，然后通過(guò)穩(wěn)態(tài)激勵(lì)參數(shù)識(shí)別和瞬態(tài)激勵(lì)參數(shù)識(shí)別這兩種方法，分別對(duì)上述由幾何非線(xiàn)性構(gòu)造的雙非線(xiàn)性隔振系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別。

表1 選取無(wú)量剛參數(shù)值

表2 選取實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)值

(1)穩(wěn)態(tài)激勵(lì)參數(shù)識(shí)別

通過(guò)固定激勵(lì)幅值下改變激勵(lì)頻率和固定激勵(lì)頻率下改變激勵(lì)幅值兩種方式，得到兩種方式下的響應(yīng)幅值-激勵(lì)頻率和響應(yīng)幅值-激勵(lì)幅值關(guān)系曲線(xiàn)。分別如圖2、圖3所示。

圖2 幅值-頻率響應(yīng)曲線(xiàn)

圖3 幅值-力幅響應(yīng)關(guān)系曲線(xiàn)

Fig.3 Relationship between amplitude and excitation amplitude

選取曲線(xiàn)上的四個(gè)關(guān)鍵參數(shù)上跳頻率、下跳頻率、上跳力幅和下跳力幅作為已知量，由式(10)可得到隔振系統(tǒng)的線(xiàn)性剛度、非線(xiàn)性剛度、線(xiàn)性阻尼和非線(xiàn)性阻尼系數(shù)，如表3、表4所示。

表3 識(shí)別無(wú)量系統(tǒng)參數(shù)值

表4 識(shí)別實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)值

(2)瞬態(tài)激勵(lì)參數(shù)識(shí)別

選取單位脈沖函數(shù)作為激勵(lì)，可得到系統(tǒng)在瞬態(tài)激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)特性曲線(xiàn)，包括自由振動(dòng)衰減曲線(xiàn)(見(jiàn)圖4)，以及通過(guò)希爾伯特變換得到的包絡(luò)線(xiàn)曲線(xiàn)(見(jiàn)圖5)、瞬時(shí)相角曲線(xiàn)(見(jiàn)圖6)和瞬時(shí)頻率曲線(xiàn)(見(jiàn)圖7)。

包絡(luò)線(xiàn)擬合曲線(xiàn)為

a(t)≈e-0.044 7t

(30)

瞬時(shí)相角擬合曲線(xiàn)為

Φ(t)≈0.419 7t-17.388 8

(31)

初始時(shí)刻的瞬時(shí)頻率為

Ω0≈2.044

(32)

圖4 自由振動(dòng)衰減曲線(xiàn)

圖5 包絡(luò)線(xiàn)曲線(xiàn)

圖6 瞬時(shí)相角曲線(xiàn)

圖7 瞬時(shí)頻率曲線(xiàn)

由式(27)可得到隔振系統(tǒng)的線(xiàn)性剛度、非線(xiàn)性剛度、線(xiàn)性阻尼和非線(xiàn)性阻尼系數(shù)，如表5、表6所示。

表5 識(shí)別無(wú)量系統(tǒng)參數(shù)值

表6 識(shí)別實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)值

3 兩種識(shí)別方法結(jié)果對(duì)比

兩種參數(shù)識(shí)別方法的結(jié)果，即隔振系統(tǒng)的線(xiàn)性剛度、非線(xiàn)性剛度、線(xiàn)性阻尼和非線(xiàn)性阻尼系數(shù)，如表7、表8所示。

表7 識(shí)別無(wú)量系統(tǒng)參數(shù)值

表7和表8給出，在選取參數(shù)下，兩種參數(shù)識(shí)別方法得到結(jié)果對(duì)比，特別是非線(xiàn)性剛度參數(shù)和非線(xiàn)性阻尼參數(shù)。對(duì)比穩(wěn)態(tài)激勵(lì)識(shí)別方法和瞬態(tài)激勵(lì)識(shí)別方法，發(fā)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)激勵(lì)參數(shù)識(shí)別結(jié)果要比瞬態(tài)激勵(lì)參數(shù)識(shí)別結(jié)果更為精確，尤其是非線(xiàn)性剛度和非線(xiàn)性阻尼參數(shù)，這也說(shuō)明了利用跳躍現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)尤其是非線(xiàn)性參數(shù)的識(shí)別具有更好的準(zhǔn)確性。同時(shí)，由于跳躍現(xiàn)象在實(shí)驗(yàn)觀測(cè)中現(xiàn)象明顯，所以，穩(wěn)態(tài)激勵(lì)參數(shù)識(shí)別更適用于對(duì)參數(shù)的精確識(shí)別。

表8 識(shí)別實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)值

但是，穩(wěn)態(tài)激勵(lì)參數(shù)識(shí)別方法基于系統(tǒng)的分岔點(diǎn)測(cè)量，對(duì)誤差較為敏感，對(duì)實(shí)驗(yàn)操作要求更為嚴(yán)格，需要多次測(cè)量取平均。瞬態(tài)激勵(lì)參數(shù)識(shí)別方法則只需要得到系統(tǒng)衰減振動(dòng)的時(shí)域信號(hào)，通過(guò)希爾伯特變換等信號(hào)處理的方式即可得到識(shí)別結(jié)果，對(duì)實(shí)驗(yàn)操作的敏感性較低，但是瞬態(tài)激勵(lì)法相比于穩(wěn)態(tài)激勵(lì)法存在較大誤差，原因是多尺度法求解強(qiáng)非線(xiàn)性瞬態(tài)振動(dòng)存在局限性。

4 結(jié) 論

針對(duì)非線(xiàn)性剛度非線(xiàn)性阻尼系統(tǒng)，提出穩(wěn)態(tài)激勵(lì)和瞬態(tài)激勵(lì)兩種參數(shù)識(shí)別方法。第一種方法是基于非線(xiàn)性隔振中的振幅跳躍現(xiàn)象，對(duì)隔振系統(tǒng)中的非線(xiàn)性剛度、非線(xiàn)性阻尼參數(shù)進(jìn)行識(shí)別。通過(guò)固定激勵(lì)幅值改變激勵(lì)頻率和固定激勵(lì)頻率改變激勵(lì)幅值，觀測(cè)振幅跳躍現(xiàn)象，得出振幅跳躍處相應(yīng)的激勵(lì)頻率和激勵(lì)幅值，具體為上跳頻率、下跳頻率、上跳力幅和下跳力幅。通過(guò)諧波平衡法得到的幅頻方程，反演系統(tǒng)線(xiàn)性剛度、線(xiàn)性阻尼、非線(xiàn)性剛度、非線(xiàn)性阻尼四個(gè)參數(shù)關(guān)于上跳頻率、下跳頻率、上跳力幅和下跳力幅的解析表達(dá)式，識(shí)別出非線(xiàn)性隔振系統(tǒng)的參數(shù)。第二種方法是涉及時(shí)域響應(yīng)，通過(guò)希爾伯特變換獲得非線(xiàn)性系統(tǒng)自由振動(dòng)的響應(yīng)幅值和相角，然后結(jié)合雙非線(xiàn)性隔振系統(tǒng)在瞬態(tài)激勵(lì)下的解析解，獲得系統(tǒng)的非線(xiàn)性剛度和阻尼。并對(duì)兩種參數(shù)識(shí)別方法進(jìn)行比較，結(jié)果相吻合。穩(wěn)態(tài)參數(shù)識(shí)別方法相比于瞬態(tài)參數(shù)識(shí)別方法較為精確、方便快捷。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 傅志方. 振動(dòng)模態(tài)分析與參數(shù)辨識(shí)[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社,1990.

[2] 李晶, 曹登慶. 基于解析模態(tài)分解和希爾伯特變換的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)新方法[J]. 振動(dòng)與沖擊,2016, 35(1): 34-39.

LI Jing, CAO Dengqing. A new method for modal parameter identification based on analytical modal decompositon and Hillbert transformation[J].Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(1): 34-39.

[3] 楊凱,于開(kāi)平. 基于信號(hào)時(shí)頻分析理論識(shí)別時(shí)變模態(tài)參數(shù)實(shí)驗(yàn)[J]. 振動(dòng)、測(cè)試與診斷, 2015, 35(5): 880-884.

YANG Kai,YU Kaiping. Experiment on time-varying modal parameter identification based on signal time-frequency analysis theory[J]. Journal of Vibration, Measurement and Diagnosis, 2015, 35(5): 880-884.

[4] 尹幫輝, 王敏慶，吳曉東. 結(jié)構(gòu)振動(dòng)阻尼測(cè)試的衰減法研究[J]. 振動(dòng)與沖擊,2014,33(4):100-106.

YIN Banghui, WANG Minqing,WU Xiaodong. Study on decay method for structure vibration damping test[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014,33(4):100-106.

[5] 孫偉, 齊飛. 基于自由振動(dòng)衰減信號(hào)包絡(luò)線(xiàn)法辨識(shí)硬涂層復(fù)合結(jié)構(gòu)阻尼特性[J]. 振動(dòng)與沖擊,2013, 32(12): 50-54.

SUN Wei, QI Fei. Estimating system damping for a hard coating composite structure based on envelope of a free damped vibration signal[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(12): 50-54.

[6] CARRELLA A, BRENNAN M J. On the force transmissibility of a vibration isolator with quasi-zero-stiffness[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 322(4/5):707-717.

[7] CARRELLA A, BRENNAN M J. Force and displacement transmissibility of a nonlinear isolator with high-static-low-dynamic-stiffness[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2012, 55(1): 22-29.

[8] BRENNAN M J, CARRELLA A. On the jump-up and jump-down frequencies of the Duffing oscillator[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 318(4): 1250-1261.

[9] BROSCH T, NEUMANN H. A comparison of the effects of nonlinear damping on the free vibration of a single-degree-of-freedom system[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2012, 134(1): 81-84.

[10] TANG B, BRENNAN M J. A comparison of two nonlinear damping mechanism in a vibration isolator[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(3): 510-520.

[11] TANG B, BRENNAN M J. Experimental characterization of a nonlinear vibration absorber using free vibration[J]. Journal of Sound and Vibration, 2016, 367(1): 159-169.

[12] FELDMAN M. Hilbert transform in vibration analysis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2011, 25(1): 735-802.

[13] FELDMAN M. Non-linear system vibration analysis using Hilbert Transform I: free vibration analysis method FREEVIB[J].Mechanical Systems and Signal Processing,1994, 8(2): 119-127.

[14] 李暉, 孫偉. 具有剛度非線(xiàn)性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)阻尼參數(shù)測(cè)試[J]. 振動(dòng)與沖擊,2015, 34(9): 131-135.

LI Hui, SUN Wei. Damping identification for stiffness-nonlinearity structure[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(9): 131-135.

[15] 鄧楊, 彭志科. 基于參數(shù)化時(shí)頻分析的非線(xiàn)性振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào),2013, 45(6): 992-996.

DENG Yang, PENG Zhike. Identification of nonlinear vibration systems based on parametric TFA[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2013, 45(6): 992-996.

[16] TANG B, BRENNAN M J. Using nonlinear jumps to estimate cubic stiffness nonlinearity: an experimental study[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part C Journal of Mechanical Engineering Science, 2016,230(19):3575-3581.

[17] ROSZAIDI R, BRENNAN M J. Exploiting knowledge of jump-up and jump-down frequencies to determine the parameters of a duffing oscillator[J]. Communication in Nonlinear Science Numerical Simulation, 2016, 37(1): 282-291.