統計與概率解答題典例分析

萬廣磊

統計與概率是初中必學的重要知識，在中考數學試卷上占總分值的12%～15%，一般包括1～2道的選擇題或填空題和1～2道解答題.對于解答題，得分率并不是想象中那么好.究其原因，同學們解答時不規范的表達失分比較嚴重.

下面以幾道中考解答題為例，分析如何規范解答，確保不意外失分.

一、求平均數、眾數和中位數

例1（2017·天津）某跳水隊為了解運動員的年齡情況，作了一次年齡調查，根據跳水運動員的年齡（單位：歲），繪制出如下的統計圖.請根據相關信息，解答下列問題：

（1）本次接受調查的跳水運動員人數為_____，m的值為_______；

（2）求統計的這組跳水運動員年齡數據的平均數、眾數和中位數.

【分值安排】本題滿分8分.第（1）問每空1分，共2分；第（2）問求平均數、眾數和中位數三個量，每個量（有解答過程）2分，共6分.

【思路分析】本題主要考查扇形統計圖、條形統計圖和加權平均數、眾數和中位數，解題的關鍵是能把兩種圖結合并尋找數量關系.（1）根據條形統計圖中的每個小組中的人數確定數據的總數；根據扇形統計圖中各個扇形的百分比之和等于1，求出m的值.（2）直接根據加權平均數公式求出平均數；根據出現次數最多的數據確定眾數；由于條形統計圖中各個數據已按照從小到大的順序排列，所以可直接根據數據總數的個數確定中位數的值.

【規范解答】解：（1）4+10+11+12+3=40（人），1-27.5%-25%-10%-7.5%=30%，所以本次接受調查的跳水運動員人數為40人，m的值為30；

（2）

∴數據的平均數為15.

∵在這組數據中，16出現了12次，出現的次數最多，∴這組數據的眾數為16.

∵本組數據為40個數據，

∴中位數為第20個和第21個數據的平均數，從條形圖可以看出，第20個數據為15，第21個數據為15，

∴中位數為

【易錯點津】本題的易錯點有兩個：①在求中位數時，忘記對數據進行排序計數；②在求平均數時，利用算術平均數求解，而未用加權平均數求解.

【規律歸納】找中位數時要把數據按從小到大（或從大到小）的順序排列，位于最中間的一個數（或兩個數的平均數）為中位數.當數據個數為奇數時，中位數即為中間的一個；當數據個數為偶數時，中位數就是中間兩個數的平均數.

眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不止一個.例如：在數據1，1，2，2，3，4，5中，眾數有兩個，它們是1和2.一組數據也可能沒有眾數.例如：在數據1，2，3，4，5，6中就不存在眾數.

求平均數的問題大致分為兩類：①算術平均數：x1，x2，…，xn的平均數+xn）；②加權平均數：n個數中，x1出現f1次，x2出現f2次，…，xk出現fk次，f1+f2+…+fk=n，平均數

二、完整圖表信息，估算總體

例2（2017·杭州）為了了解某校九年級學生的跳高水平，隨機抽取該年級50名學生進行跳高測試，并把測試成績繪制成如圖所示的頻數表和未完成的頻數直方圖（每組含前一個邊界值，不含后一個邊界值）.

某校九年級50名學生跳高測試成績的頻數表

某校九年級50名學生跳高測試成績的頻數直方圖

（1）求a的值，并把頻數直方圖補充完整；

（2）該年級共有500名學生，估計該年級學生跳高成績在1.29（含1.29）以上的人數.

【分值安排】本題滿分6分.第（1）問4分，求對a的值，補圖正確各得2分；第（2）問用樣本估計總體，正確得2分.

【思路分析】本題考查了條形統計圖、頻數統計表和用樣本估計總體，解題的關鍵是從統計圖中獲取信息解決問題.（1）用50分別減去頻數統計表中給出的另外三個組別的數據即可求出a的值，并且根據求得的a的值把條形統計圖補充好.（2）先求出統計的50名學生中跳高成績在1.29m（含1.29m）以上所占的比例，然后再乘總人數500即可求解.

【規范解答】解：（1）a=50-（8+12+10）=20.補全頻數直方圖，如圖：

某校九年級50名學生跳高測試成績的頻數直方圖

（2）因為所以該年級學生跳高成績在1.29m（含1.29m）以上的人數是300人.

【易錯點津】本題的易錯點是不能區分兩個圖表的意義或是看錯表格和條形圖的對應關系.

三、根據方差判斷結果，計算概率

例3（2017·濱州）為了考察甲、乙兩種成熟期小麥的株高長勢狀況，現從中各隨機抽取6株，并測得它們的株高（單位：cm）如下表所示：

61 63甲 乙63 63 66 65 63 60 61 63 64 64

（1）請分別計算表內各組數據的方差，并借此比較哪種小麥的株高長勢比較整齊.

（2）現將進行兩種小麥優良品種雜交試驗，需從表內的甲、乙兩種小麥中，各隨機抽取一株進行配對，以預估整體配對狀況.請你用列表法或畫樹狀圖的方法，求所抽取的兩株配對小麥株高恰好都等于各自平均株高的概率.

【分值安排】本題滿分9分.第（1）問5分，求對甲、乙的方差各得2分，正確判斷得1分；第（2）問4分，列表或者畫樹狀圖得3分，計算概率正確得1分.

【思路分析】本題考查了數據的方差的實際應用，以及用列表法或畫樹形圖法求概率.（1）先求平均數，再求方差；（2）因為每種情況有多個，所以選取列表法求概率（這樣簡單些）.

【規范解答】解：

∴乙種小麥的株高長勢比較整齊.

（2）列表如下：

63 65 60 63 64 63（63，63）（63，63）（63，65）（63，60）（63，63）（66，65）（66，63）63 66 63 61 64 61（66，60）（66，63）（66，63）（63，63）（63，65）（63，64）（63，60）（63，63）（63，63）（63，64）（61，60）（61，63）（61，65）（61，63）（66，64）（61，63）（61，64）（64，63）（64，65）（64，60）（64，63）（64，64）（64，63）（61，63）（61，65）（61，60）（61，63）（61，64）（61，63）

因為共有36種等可能的結果，其中小麥株高恰好都等于各自平均株高的結果有6種，所以所抽取的兩株配對小麥株高恰好都等于各自平均株高的概率

【易錯點津】本題的易錯點是列表時將甲、乙兩種小麥里高度相同的作為一種情況對待.

四、計算事件發生概率

例4（2017·徐州）一個不透明的口袋中裝有4張卡片，卡片上分別標有數字1，-3，-5，7，這些卡片除數字外都相同.小芳從口袋中隨機抽取一張卡片，小明再從剩余的三張卡片中隨機抽取一張.請你用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人抽到的數字符號相同的概率.

【分值安排】本題滿分7分，列表或者畫樹狀圖得4分，計算概率得2分，正確作答得1分.

【思路分析】本題考查了概率的意義及計算方法，解題的關鍵是能分析或列舉出所有等可能的結果.先利用畫樹狀圖或列表的方法分析出所有等可能的結果數，再利用等可能條件下概率的計算公式即可求出甲勝出的概率.

【規范解答】解：列樹狀圖如下：

因為所有等可能的結果數為12，數字符號相同的結果數為4，所以兩人抽到的數字符號相同的概率為

【易錯點津】本題的易錯點是沒有按照條件畫樹狀圖或列表，造成所有可能結果及符合條件的結果數有遺漏或重復.

【規律歸納】求一件事發生的概率通常用列表法或樹狀圖法.列表法與樹狀圖法都可以不重復不遺漏地列出所有可能的結果.列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.

五、完善圖表信息，計算概率

例5（2017·蘇州）初一（1）班針對“你最喜愛的課外活動項目”對全班學生進行調查（每名學生分別選一個活動項目），并根據調查結果列出統計表，繪制成扇形統計圖.

男、女生所選項目人數統計表

學生所選項目人數扇形統計圖

根據以上信息，解決下列問題：

（1）m=_______，n=_______；

（2）扇形統計圖中機器人項目所對應扇形的圓心角度數為_______°；

（3）從選航模項目的4名學生中隨機選取2名學生參加學校航模興趣小組訓練，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求所選取的2名學生中恰好有1名男生、1名女生的概率.

【分值安排】本題滿分8分.第（1）問2分，求對m、n的值各得1分；第（2）問2分；第（3）問列表或者畫樹狀圖得2分，計算概率正確得2分.

【思路分析】本題將概率和統計結合起來考查同學們的識圖能力，以及對圖中數據的處理能力，解題的關鍵是讀懂統計圖的信息.（1）根據航模項目的人數和所占的百分數就可以求總人數，再確定3D打印項目的人數，然后依次可以得出要求的人數和所占的百分比.（2）用機器人項目的人數所占的百分數乘360°即可得到圓心角.（3）把所有可能性用樹狀圖或表格列出來，可以求得概率.

【規范解答】解：（1）m=8，n=3.（2）144.

（3）將選航模項目的2名男生編上號碼1、2，將2名女生編上號碼3、4.用表格列出所有可能出現的結果：______________________

第二個第一個1 2______1______2______3______4（1，2）3 4（2，1）_______（3，1）（4，1）（1，3）（2，3）（3，2）_______（4，2）（4，3）_______（1，4）（2，4）（3，4）

由表格可知，共有12種可能出現的結果，并且它們都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8種可能.所以P（恰好有1名男生、1名女生）如用樹狀圖，酌情相應給分）

【方法歸納】在列表法與樹狀圖法不重復不遺漏地列出所有可能的結果后，觀察圖表，在m個等可能的情況中，某件事發生的可能性有n個，則該事件發生的概率是