函數圖像上由動點產生的直角三角形解題策略

吳小兵

因為點的運動，討論三角形能否成為直角三角形問題，是中考試卷的考查熱點.解決這類問題時，我們常常需要分三種情況討論，即究竟哪個角是直角.

一、構造一線三等角，借用相似解決問題

例1如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C，連接BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.

（1）求點A、B、C的坐標.

（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N.試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由.

（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1

【思路點撥】

1.第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據MQ=DC列方程.

2.第（2）題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據求得的m的值畫一個準確的示意圖，先得到結論.

3.第（3）題△BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點作坐標軸的垂線可以構造相似三角形.

【解答過程】（1）由

（2）直線DB的解析式為

如圖2，由點P的坐標為（m，0），可得M

所以

當MQ=DC=8時，四邊形CQMD是平行四邊形.

圖2

解方程得m=4或m=0（舍去）.

如圖3，此時點P是OB的中點，N是BC的中點，N（4，-2），Q（4，-6）.

所以MN=NQ=4，所以BC與MQ互相平分，

所以四邊形CQBM是平行四邊形.

圖3

（3）設點Q的坐標為

①如圖4，當∠DBQ=90°時，

所以

解得x=6.此時Q（6，-4）.

圖4

②如圖5，當∠BDQ=90°時，所以

解得x=-2.此時Q（-2，0）.

圖5

【技巧說明】討論直角的時候，通常題目討論的直角三角形的兩條直角邊并不與坐標軸平行，這時我們可構造如圖6的基本圖形，將討論∠ACB是不是直角，轉化為討論△ACF與△CBE是否相似.將對斜著的線段AC、CB的討論，轉化為對平行于坐標軸的線段AF、CF、CE、BE的討論.

圖6

二、借用直徑所對的圓周角是直角，討論三角形有沒有可能是直角三角形

例2在平面直角坐標系中，反比例函數與二次函數y=k（x2+x-1）的圖像交于點A（1，k）和點B（-1，-k）.

（1）當k=-2時，求反比例函數的解析式；

（2）要使反比例函數在每個象限內與二次函數都是y隨x增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；

（3）設二次函數的圖像的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值.

【思路點撥】

1.由點A（1，k）或點B（-1，-k）的坐標可以知道，反比例函數的解析式就是.題目中的k都是一致的.

2.由點A（1，k）或點B（-1，-k）的坐標還可以知道，A、B關于原點O對稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O.

3.根據直徑所對的圓周角是直角，當Q落在⊙O上時，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形.

【解答過程】（1）因為反比例函數的圖像過點A（1，k）與B（-1，-k），所以反比例函數的解析式是

當k=-2時，反比例函數的解析式是

（2）在反比例函數中，在每個象限內，如果y隨x增大而增大，那么k＜0.

當k＜0時，拋物線的開口向下，在對稱軸左側，y隨x增大而增大.

圖7

拋物線的對稱軸是直線

所以當時，反比例函數在每個象限內與二次函數都是y隨x增大而增大，如圖7.

（3）拋物線的頂點Q的坐標是A、B關于原點O中心對稱，當OQ=OA=OB時，△ABQ是以AB為直徑的⊙O的內接直角三角形.

由OQ2=OA2，得

解得（如圖8），（如圖9）.

圖8

圖9

【技巧說明】如圖8，要判定∠AQB=90°，只需保證OQ=OA=OB即可，因為當OB=OQ，OA=OQ時，∠A=∠OQA，∠OBQ=∠OQB，即可證明∠AQB=90°.這也是直角三角形常用的判定方法之一.

當然，討論直角三角形的時候，如果能設出三角形三個頂點坐標，也可以利用兩點間距離公式分別求出三角形三邊長，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形也是直角三角形.