了解這幾點，函數問題不出錯

王愛玲

初中階段學過的函數有一次函數、反比例函數和二次函數，涉及的知識點較多，易錯點也較多.其中距離時間圖像常與路程時間圖像混淆；對于反比例函數和二次函數或者一個實際情境的函數應用問題，在求函數值的取值范圍的時候，常常需要考慮函數自變量的取值范圍，此處出錯的頻率也相當高.

一、距離-時間與路程-時間

例1如圖1所示，在A，B兩地之間有汽車站C站，客車由A地駛往C站，貨車由B地駛往A地.兩車同時出發，勻速行駛.圖2是客車、貨車離C站的路程y1，y2（千米）與行駛時間x（小時）之間的函數關系圖像.

（1）填空：A，B兩地相距_______千米.

（2）求兩小時后，貨車離C站的路程y2與行駛時間x之間的函數關系式.

（3）客、貨兩車何時相遇？相遇處離C站的路程是多少千米？

圖1

圖2

【思路分析】（1）沒有出發的時候，AB兩地之間的距離等于AC之間的距離加上BC之間的距離；（2）根據D、P兩點坐標，利用待定系數法求函數解析式即可；（3）客、貨兩車何時相遇？相遇處離C站的路程是多少千米？實際上就是求E點的橫坐標和縱坐標，分別求出直線DP和EF的解析式，解方程組即可求出點E的坐標.

解：（1）由題意和圖像可得，

A，B兩地相距：360+60=420千米.

（2）設兩小時后，貨車離C站的路程y2與行駛時間x之間的函數關系式為y2=kx+b，

由圖像可得，貨車的速度為：60÷2=30千米/時，

則點P的橫坐標為：2+360÷30=14，

∴點P的坐標為（14，360），

即兩小時后，貨車離C站的路程y2與行駛時間x之間的函數關系式為y2=30x-60.

（3）設客車離C站的路程y1與行駛時間x之間的函數關系式為：y1=mx+n，

即客車離C站的路程y1與行駛時間x之間的函數關系式為：y1=-60x+360，

【易錯提醒】函數圖像問題是初中數學的難點之一，路程時間圖像更是一種常見題型，而距離時間圖像的考查要求更高，而且極易與路程時間圖像混淆，所以距離時間圖像對同學們來說更是難點.

二、實際問題要考慮問題的實際情境

例2如圖3，有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃.設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米.

（1）求S與x的函數關系式及自變量的取值范圍；

（2）如果要圍成面積為45平方米的花圃，AB的長是多少米？

圖3

【思路分析】（1）可先用花圃的寬表示出BC的長，然后根據矩形的面積=長×寬，得出S與x的函數關系式.根據墻的最大可用長度a為10米求出自變量的取值范圍.（2）根據（1）的函數關系式，將S=45代入其中，求出x的值即可.

解：（1）由題可知，花圃的寬AB為x米，則BC為（24-3x）米.

這時面積S=x（24-3x）=-3x2+24x.

即自變量的取值范圍是

（2）由條件得-3x2+24x=45，

即x2-8x+15=0，

解得x1=5，x2=3，

不合題意，舍去，

即花圃的寬為5米.

【易錯提醒】在解決第（2）問的時候，在求出x1=5，x2=3之后，要根據實際進行適當取舍.

三、求函數的極值要考慮自變量的取值范圍

例3求下列函數的最大值：

（2）y=-3x2+130x（10＜x≤30且x為整數）.

【解析】求這些函數的最大值，可以考慮先畫出函數圖像：

圖4

圖5

（1）觀察圖4可以發現，這是一個分段函數，最高點是函數d=-x2+4x+4圖像的頂點，所以（1）題的最大值只需求出函數d=-x2+4x+4圖像的頂點縱坐標.

（2）觀察圖5可以發現，圖像的最高點也是這個函數圖像的頂點，但盡管如此，由于本題自變量必須是整數，因此本題的最大值并不是時，而是x=22時.所以這個函數的最大值為-3×222+130×22=1408.

【易錯提醒】在本題中，第（1）小題易錯的是，如果不借助函數圖像或者不能正確畫出函數圖像，會不容易找到最高點在什么位置；對于第（2）小題，如果不注意x是整數，也很容易出錯.