常用疲勞可靠性分析方法概述

張 磊，萬一品，宋緒丁

（長安大學(xué)工程機械學(xué)院，陜西 西安710064）

大多數(shù)機械結(jié)構(gòu)在服役期內(nèi)往往受到隨機載荷的作用，疲勞破壞成為其主要的失效形式[1]。疲勞破壞的危險性表現(xiàn)在機構(gòu)在達到疲勞壽命時無明顯先兆就會突然破壞，因此對于復(fù)雜機構(gòu)的疲勞可靠性分析變得尤為重要。本文主要闡述目前幾種常用的疲勞可靠性分析法，為疲勞可靠性分析提供參考。

1 應(yīng)力—強度干涉法

由于在機械結(jié)構(gòu)受力分析中應(yīng)力和強度具有相同的量綱，故應(yīng)力強度干涉方法可將機械零件的強度和應(yīng)力曲線表示在同一個坐標(biāo)系中進行分析，從而確定機械零件的可靠性。

概率密度函數(shù)聯(lián)合積分法如公式（1）所示：

式中：S為工作應(yīng)力；δ為零件強度。

應(yīng)用應(yīng)力-強度干涉法在實際工程分析中，首先要統(tǒng)計載荷和材料屬性的概率分布，然后結(jié)合零件尺寸等隨機變量進行應(yīng)力與強度計算，得到應(yīng)力與強度的概率分布，從而得到應(yīng)力與強度的干涉曲線圖，根據(jù)干涉曲線圖進行機械疲勞可靠性的分析計算。應(yīng)力-強度干涉法簡單實用，但需要計算出應(yīng)力與強度的概率密度函數(shù)，在一些難以計算出概率函數(shù)的情形下，該法失效。

2 蒙特卡羅模擬法

蒙特卡羅模擬法，又稱為統(tǒng)計實驗法和隨機抽樣法，是一種以概率統(tǒng)計為基礎(chǔ)，以隨機抽樣為主要手段的數(shù)值方法[2]。蒙特卡羅模擬法的實際做法就是從應(yīng)力分布中抽取一個隨機變量，再從強度分布中抽取一個隨機變量，然后將這兩個變量值進行比較，如果應(yīng)力大于強度，則零件安全可靠；反之，零件失效。每一次隨機模擬就相當(dāng)于對零件進行一次實驗，通過大量重復(fù)的模擬及比較，就可以得到零件的總失效次數(shù)，從而可以得到零件的失效概率或可靠性的近似值。該法不受問題條件的限制，抽樣次數(shù)越多，則計算得到的可靠性越精確。

3 一次二階矩法

一次二階矩法是以基本隨機變量相互獨立為前提的，只考慮隨機變量的一階矩均值和二階矩標(biāo)準(zhǔn)差以及功能函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式的常數(shù)項和一次項來計算疲勞可靠性[3]。其主要包括中心點法、改進一次二階矩法和驗算點法。

1）中心點法與改進一次二矩法

中心點法是將結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)在隨機變量的中心點（均值）處用泰勒級數(shù)展開，僅保留線性項，然后計算功能函數(shù)的均值和方差，可靠性指標(biāo)可表示為：

由于中心法沒有考慮隨機變量的概率分布，只是選取隨機變量的均值點作為功能函數(shù)的線性化點來計算可靠性，將會產(chǎn)生較大誤差。

針對中心點法存在的弊端，改進一次二矩法將功能函數(shù)線性化點取在設(shè)計試驗點處，從而提高了可靠性的計算精度。通過不斷循環(huán)迭代計算出疲勞可靠性數(shù)值。

2）驗算點法（JC法）

驗算點法即當(dāng)量正態(tài)化法，將非正態(tài)分布的隨機變量轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的正態(tài)隨機變量的間接求解方法。由于驗算點法被國際安全聯(lián)合委員會（JCSS）推薦采用，故又稱為JC法。

機械發(fā)生疲勞失效的概率主要與各隨機變量的分布密度函數(shù)在設(shè)計驗算點處的尾部面積相關(guān)。若要保證非正態(tài)隨機變量轉(zhuǎn)換為正態(tài)隨機變量后計算的失效概率不變，就必須保證轉(zhuǎn)換前后各隨機變量的分布密度函數(shù)在設(shè)計驗算點處的尾部面積相等。因此當(dāng)量正態(tài)變化的轉(zhuǎn)換條件是：設(shè)計驗算點非正態(tài)變量與其等效正態(tài)變量的分布函數(shù)和分布密度函相等，即如公式（3）和（4）所示。

式中：

φ（·），Φ（·）分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)及分布函數(shù)；fXi（·），F(xiàn)Xi（·）分別表示非正態(tài)變量的分布密度及分布函數(shù)；μ′Xi，σ′Xi等效正態(tài)變量的均值和方差；

利用上式（5）、（6），計算得到等效正態(tài)變量的均值與方差為

式中，Φ-1（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)。

在實際工程分析中，首先確定初值，然后將非正態(tài)隨機變量的密度函數(shù)和分布函數(shù)轉(zhuǎn)換為正態(tài)隨機變量的密度函數(shù)和分布函數(shù)，計算出樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，使用樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差代替母體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，從而計算疲勞可靠性。該法可以計算隨機變量為任意分布的可靠性計算，并且計算精度滿足工程實際需求。只是需要迭代的次數(shù)較多，并且當(dāng)計算高次非線性方程時計算誤差較大。

4 結(jié)束語

通過上文對三種分析方法的描述，應(yīng)力-強度干涉法簡單實用只是在一些難以計算出概率函數(shù)的情形，則該法失效；蒙特卡羅模擬法不受問題條件的限制且抽樣次數(shù)越多模擬結(jié)果越精確，只是計算量很大耗費時間較長；一次二矩法簡單易行可以分析極限狀態(tài)方程為線性或非線性不高的簡單結(jié)構(gòu)。其中可以將蒙特卡羅模擬法與應(yīng)力-強度干涉法進行聯(lián)合使用，用蒙特卡羅模擬得到應(yīng)力與強度的正態(tài)分布函數(shù)，然后結(jié)合應(yīng)力-強度干涉法進行計算，這樣可以彌補各自的弊端且可以節(jié)省大量的計算時間。

參考文獻：

[1]萬一品，賈 潔，梁 佳，等.裝載機工作裝置結(jié)構(gòu)強度分析與試驗研究[J].機械強度，2016，38（4）：772-776.

[2]錢文學(xué)，尹曉偉，謝里陽，等.輪盤疲勞可靠性的Monte-Carlo 數(shù)字仿真[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報，2007（02）：254-256.

[3]閆小順，黃小平.基于改進裂紋擴展模型的船舶焊接結(jié)構(gòu)疲勞壽命可靠性預(yù)報[J].上海交通大學(xué)學(xué)報，2015，12（2）：214-219.