發(fā)動機變慣量曲軸系統(tǒng)1∶1∶1共振分岔分析

羅宏錦，李 銳，李 智

（上汽通用五菱汽車股份有限公司，廣西 柳州545007）

0 前言

近年來，隨著汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展和技術水平的提高，發(fā)動機技術已經(jīng)成為汽車行業(yè)研究的熱門領域。發(fā)動機是汽車運行過程中自振能量的重要來源，而曲軸是發(fā)動機的關鍵構(gòu)件，其扭振特性是影響發(fā)動機性能表現(xiàn)的重要因素。傳統(tǒng)理論分析模型中，扭轉(zhuǎn)慣量通常被視為常量。然而深入的研究表明[1]，忽略曲軸扭轉(zhuǎn)過程中扭轉(zhuǎn)慣量的周期性變化特征，會導致分析結(jié)論出現(xiàn)較大誤差。

王秋芝等[2]詳細介紹了三種計算變慣量的公式，韓建鑫等[3]在其中較為經(jīng)典的公式基礎上，引入非線性回歸分析方法，考慮連桿擺動因素對系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)慣量的影響，提出一種適合于非線性動力學分析的計算方法，并建立了描述曲桿系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的非線性動力學模型。文獻[4]僅針對曲軸轉(zhuǎn)動頻率、不平衡激勵頻率及固有頻率之間比例關系為1∶2∶1的特例進行了分析。發(fā)動機曲軸工作過程中，當激勵頻率與系統(tǒng)某階固有頻率成整數(shù)倍關系時，曲軸結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生共振，較小激勵則可能引發(fā)結(jié)構(gòu)的大幅扭轉(zhuǎn)振動，嚴重時會導致結(jié)構(gòu)失效破壞。根據(jù)內(nèi)燃機動力學理論可知，當不平衡激勵接近曲軸轉(zhuǎn)動頻率和固有頻率即1∶1∶1的工況時，曲軸的破壞幾率最大，因此研究這一振動對于揭示其振動機理并指導內(nèi)燃機的動力學設計具有較為重要的理論及實際價值。然而，現(xiàn)有研究對該工況下曲軸的非線性動力學分析和研究較為匱乏。

本文利用非線性動力學經(jīng)典方法多尺度法，得到并分析了描述系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動頻率、不平衡激勵頻率及固有頻率之間關系為1∶1∶1時的工況下，穩(wěn)態(tài)振動的平均方程。最后以某型號發(fā)動機為例，得到了不同參數(shù)狀態(tài)下，該發(fā)動機曲軸的扭振情況，為其系統(tǒng)性優(yōu)化設計提供理論依據(jù)。

1 理論模型與平均方程

考慮曲軸系統(tǒng)變慣量特性，并進行無量綱后描述其扭轉(zhuǎn)振動的方程[4]為：

式中，φ（τ）為曲軸扭角函數(shù)，φ″（τ）和 φ′（τ）分別為其對量綱時間τ的二階和一階導數(shù)，ε為小量標記，μn、μ、ζ、α、f、β 分別為無量綱化的參數(shù)。

在轉(zhuǎn)動頻率、不平衡激勵頻率及固有頻率之間關系為 1∶1∶1 時的工況下，μn和 μ 的取值為

式中σ為調(diào)諧參數(shù)，同樣為一階小量。

依據(jù)多尺度法，時間可表示為T0＝ε0t、T1＝ε1t，…設方程的一階攝動解為

將式和代入至式，整理后忽略二階及以上高階小量，令等號兩邊同次冪項相等，得到表達式如下：

式中（T0，T1）表示 φ（0T0，T1）分別對T0的兩階導數(shù)，其它同理。設式的解為

式中：A為振幅，i為單位虛數(shù)，cc表示前面項的共軛。將式代入至式，得到：

消除永年項的條件是

將A（T1）表示為極坐標形式

將式代入至式，分離虛實部并求解a′（T1）和ψ′（T1），則有平均方程：

按照一般方法，對方程組，消去兩式中sinψ和cosψ即可得到分岔方程，但此處由于同時含有2ψ和ψ，遂直接解出sinψ和cosψ會得到四組解，且利用三角函數(shù)關系消去sinψ和cosψ后，得到的關于幅值a的方程形式非常復雜。本文采用計算機程序?qū)⑸鲜龇匠桃暈殡[函數(shù)方程的方式，可得到幅值a受σ、β等參數(shù)的影響情況。

2 算例分析

Villiers發(fā)動機是一種典型的曲軸式內(nèi)燃機，其各項參數(shù)指標表1所示。

表1 Villiers發(fā)動機相關技術參數(shù)

進行相應的歸一化運算后[4]，將相應數(shù)據(jù)代入至方程組，求解隱函數(shù)后可得曲線關系見下組圖1和圖2.

由圖1可知，該類型的發(fā)動機幅值隨調(diào)諧參數(shù)變化關系較為固定，均表現(xiàn)為：在大于0的區(qū)間內(nèi)保持穩(wěn)定，只有在小于0的區(qū)間才會發(fā)生扭振，從浮想接近0值時幅值的變化最為劇烈，應避免處于該區(qū)間。當變慣量參數(shù)發(fā)生變化時，圖1兩圖表明二者僅在分岔點處發(fā)生細微變化，總體趨勢保持不便。與之相反的是，幅值隨變慣量的變化曲線則受調(diào)諧參數(shù)的影響較大，包括分岔點處的變化趨勢細節(jié)和隨變慣量變化的總體趨勢。

圖1 幅值隨調(diào)諧參數(shù)的變化曲線

圖2 幅值隨變慣量的變化曲線

該現(xiàn)象表明，在對Villiers發(fā)動機進行優(yōu)化設計的過程中，當工作頻率和不平衡激勵頻率一致時，保持前者小于曲軸系統(tǒng)本身固有頻率即可。而該條件一旦不滿足時，要根據(jù)變慣量變化參數(shù)則要根據(jù)調(diào)諧參數(shù)的具體大小來進行適當調(diào)節(jié)。

3 結(jié)論

本文利用非線性動力學經(jīng)典方法多尺度法，分析了描述系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動頻率、不平衡激勵頻率及固有頻率之間關系為1∶1∶1時的工況下，Villiers發(fā)動機曲軸的扭振情況，為其系統(tǒng)性優(yōu)化設計提供理論依據(jù)。

結(jié)果表明：在對Villiers發(fā)動機進行優(yōu)化設計的過程中，應保持曲軸系統(tǒng)本身的固有頻率大于工作頻率，若無法保證該關系，應在考慮二者具體差值的基礎上，合理設計曲軸系統(tǒng)的變慣量系統(tǒng)。

參考文獻：

[1]陳予恕，吳建國，金志勝.曲軸非線性參數(shù)扭振問題的分義理論解[J].振動工程學報，1987，1（1）：26-34.

[2]王秋芝，朱 均.考慮變慣量影響的曲軸扭轉(zhuǎn)振動[J].應用科技，1983（2）：1-11.

[3]韓建鑫，王 煒，張琪昌.內(nèi)燃機曲軸系統(tǒng)變慣量公式的修正[J].內(nèi)燃機學報，2014，32（3）：271-275.

[4]韓建鑫，王 煒，張琪昌.變慣量曲軸系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動參數(shù)分岔分析[J].振動與沖擊，2013，32（7）：118-123.