導(dǎo)數(shù)題中的一類證明題

程立清　侯長慧

摘要：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分對學生能力考察的載體：恒成立問題（或證明不等式或函數(shù)的零點）；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題是歷年高考的壓軸題，是增加考生之間數(shù)學成績區(qū)分度的重要載體，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題中往往是條件在給定一個函數(shù)的基礎(chǔ)上在問題的第二問通過等式或不等式來研究新的函數(shù)性質(zhì)，在研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上把握函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征能夠取到簡化解題過程得到結(jié)果的目的。把握函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征體現(xiàn)了對函數(shù)解析式的研究，體現(xiàn)了化簡變形過程中從整體到局部的研究，體現(xiàn)了化簡變形的方向性，體現(xiàn)了從解析式到函數(shù)性質(zhì)的研究與把握.構(gòu)造好函數(shù)、特殊自變量對應(yīng)的函數(shù)值等都是對函數(shù)結(jié)構(gòu)特征的本質(zhì)研究.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；一類；證明題

在高考壓軸題21題的整理過程中，有一類證明題結(jié)論中與x1，x2有關(guān)，現(xiàn)將它們總結(jié)如下：

一、 能放入同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的變量

2016新課標Ⅰ.21

已知f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點。

（1） 求a的范圍；

（2） 設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2<2。

分析（2），由（1）知x1<1，x2>1，∴2-x2<1。

要證x1+x2<2，即證x1<2-x2，也就是f（x1）>f（2-x2）。

而f（x1）=0，即證f（2-x2）<0。

f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2。而f（x2）=0用x2表示出a。

在此方法中，通過變形將x1及2-x2放入同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)。

練1：已知f（x）=ax2+bx-c-lnx（x>0）在x=1處取得極值，若a>0且f（x）有兩個不等零點x1，x2，

證明：x1+x2>2。

二、 構(gòu)造函數(shù)法

1. 已知g（x）=ex-ax2-ax恰有兩個不同極值點x1，x2（x1>x2）。

求證：x1+x22

分析：g′（x）=ex-2ax-a，

g′（x1）=0g′（x2）=0，∴2a=ex1-ex2x1-x2，

要證x1+x22

同除以ex2，即ex1-x22

令x1-x2=t>0，即證et2

2. 已知g（x）=x-1-lnx-k（x-1）有兩個零點x1，x2（x1>x2），求證：g′x1+x22>0。

分析：g（x1）=0g（x2）=0，k=x1-x2-lnx1x2x1-x2，

g′x1+x22=1-2x1+x2-k=1x1-x2-2x1x2-1x1x2+1+lnx1x2，

令x1x2=t>1，令f（t）=-2（t-1）t+1+lnt，即證f（t）>0。

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題核心是對函數(shù)性質(zhì)的研究，但前提是提供一個什么樣的函數(shù)，在解題過程中如何構(gòu)造一個好函數(shù)進行研究，構(gòu)造好函數(shù)的基本要求：（1）分式函數(shù)向整式函數(shù)轉(zhuǎn)化；（2）常用對數(shù)函數(shù)系數(shù)為x或1的轉(zhuǎn)化；（3）解決恒成立問題分離參數(shù)法中構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)。一般地，當函數(shù)類型與指數(shù)函數(shù)有關(guān)時，構(gòu)造以x1-x2為元的函數(shù)，當函數(shù)類型與對數(shù)函數(shù)有關(guān)時，構(gòu)造以x1x2為元的函數(shù)。

練2：已知f（x）=ex，x∈R。

（1） 證明：y=f（x）與y=12x2+x+1有唯一公共點；

（2） 設(shè)a

練3：已知f（x）=lnxx圖像為曲線C，g（x）=12ax+b圖像為直線l。

（1） 當a=2，b=-3時，求F（x）=f（x）-g（x）的最大值；

（2） 設(shè)l與C交點橫坐標為x1，x2，且x1≠x2，求證：（x1+x2）·g（x1+x2）>2。

三、 數(shù)形結(jié)合法

已知f（x）=（x2-x）ex。

（1） 求曲線y=f（x）在原點處的切線方程；

（2） 若f（x）-ax+e≥0恒成立，求a的范圍；

（3） 若f（x）=m（m∈R）有兩個正實根x1，x2，求證：x1-x2

分析：（1）y=-x；

（2） 0≤a≤e；

（3） 這道題用法一、法二都很難完成，所以要想到數(shù)形結(jié)合。結(jié)合（1）（2），當x>0時，f（x）>-x，且f（x）≥ex-e，所以x1，x2位于f（x）與直線y=-x，y=ex-e與y=m交點的兩側(cè)，所以x1-x2

練4：f（x）=lnx-x2+ax（a∈R，x∈（0，e]）。

當a≥1時，x1，x2∈（0，1），（x1

α=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，且α>0，β>0，

若f（α）-f（β）

對于導(dǎo)數(shù)大題的處理，是對學生能力的考查，平時備考的過程中盡量一題多解，從函數(shù)法、分離法、數(shù)形結(jié)合法等不同角度剖析題目，讓學生加深對內(nèi)容和解題方法的理解。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中學科思想?yún)R總：1. 定義域思想；2. 分類討論思想；3. 特殊自變量對應(yīng)的函數(shù)值或?qū)Ш瘮?shù)值思想；4. 構(gòu)造一個好函數(shù)的思想；5. 把握函數(shù)結(jié)構(gòu)特征的思想；6. 洛必達法則思想。

作者簡介：程立清，中學特級教師，山西省臨汾市，山西省臨汾市翼城中學；

侯長慧，中學一級教師，山西省臨汾市，山西省臨汾市翼城中學。