發現學習：促進初中生數學學科核心素養提升的有效途徑

趙春風

[摘 要] 核心素養是教學目標，教學目標的實現需要具體途徑. 初中數學學科核心素養的培育，可以經由發現學習來實現. 理論上，發現學習所需要的心智付出是面向核心素養的關鍵能力的；實踐中，兩者是吻合的，因此發現學習是核心素養培育的有效途徑.

[關鍵詞] 初中數學；發現學習；核心素養

初中數學教學中，對核心素養有兩個層面的理解：一個層面是宏觀層面，即根據核心素養的定義去強調其中的必備品格與關鍵能力；另一個層面是微觀層面，也就是學科層面，即將數學學科核心素養的培育具體到數學抽象、邏輯推理與數學建模（通常對數學學科核心素養的界定是六個因素，但著名數學教育家史寧中先生認為這三個因素足以概括數學學科核心素養，筆者這里認同史教授的觀點）等三個因素上來. 無論是宏觀層面還是微觀層面的理解，有一點是共同的，那就是核心素養是作為教學目標存在的，而如何實現這個目標則需要一線教師去摸索行之有效的途徑. 結合已有的教學經驗，梳理數學學科核心素養的三個關鍵要素作為關鍵能力（必備品格在關鍵能力形成的過程中自然體現）存在的意義，筆者以為發現教學可以成為實現核心素養培育的有效途徑. 從這一思考出發，筆者進行了一定的實踐與總結，發現有如下三點觀念可以與同行分享.

發現學習與核心素養之間的良好契合

發現學習并不是一個新鮮事物，在中國教育引入布魯納教育理論的時候，發現學習就成為人們關注的熱點. 需要注意的是，在歷來的課程改革或教學改革中，發現學習都曾經以不同的形式成為教師或教育研究者關注的熱點，這與發現學習自身的特性是分不開的.

所謂發現學習，布魯納定義為“通過運用自己的心智為自己獲得知識的所有形式”. 通過這樣的定義可以發現，發現學習并不是一個所謂的學習模式，其強調兩個重點：一是運用自己的心智；二是為自己獲得知識. 運用自己的心智意味著學生是學習的主體，而這與當前最先進的教育理念是一致的，這也是發現學習具有持久生命力的關鍵原因，而其目的是發現知識，在核心素養背景下，獲得知識可以理解得更寬泛一些，即獲得知識既包括建構學科知識，也包括形成學科思想方法與能力. 例如對于初中數學而言，學生在學習中固然要獲得課程標準所規定的、教材所約定的所有的知識，同時也要在知識的學習過程中生成基本的數學能力，包括數學思想方法等.

舉個例子，在“正方形”這一內容的學習中，掌握正方形的概念、性質和判定，并會利用它們進行基本的論證與計算，在理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯系與區別中生成比較能力與邏輯推理能力等，這是我們對課堂教學所界定的知識與能力目標. 為了達成這個目標，學生需要在自身自主學習的基礎上，充分利用自己的心智（筆者以為這里所說的心智主要是指對自身經驗與前概念的調用以及基本的邏輯推理能力等）來構建新知識. 通常情況下，正方形的定義是基于平行四邊形而下的——有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形是正方形. 那學生在利用自己的心智獲得這個定義的過程中，就需要對平行四邊形及其性質有一個清晰的認識，同時要具有必要的推理能力與表象建構能力，即能夠具有在自己的大腦中將一個平行四邊形因為鄰邊相等且一個角為直角而變形為正方形的表象加工能力.

如果從核心素養的角度來看，這個正方形定義得出的過程中，因為學生思維加工的對象原本就是抽象的圖形以及想象表象，因而具有高度的抽象性，具有數學抽象的基本特征；因為學生要根據定義去基于平行四邊形而構建正方形（實際上也有部分學生是根據正方形的表象去理解如何由平行四邊形得出正方形），所以這個過程中邏輯推理是客觀存在的；而構建出來的正方形原本就具有數學模型的作用，因此這也可以視作是一個數學建模的過程. 于是就可以發現，在這樣的一個發現學習的過程中，數學學科核心素養的三個基本要素都得到了體現，也因此我們可以認為，發現學習與數學學科核心素養的培育確實是比較契合的. 進一步就可以初步判斷：利用發現學習來實現核心素養以及數學學科核心素養的培育是可行的.

利用發現學習培養核心素養教學嘗試

一個猜想需要得到更多的實踐才能被證實，在對發現學習的研究中，在核心素養培育的思考中，筆者建立的研究思路是：在日常教學中，并不刻意挑選某一個內容進行研究，而是隨機地結合日常教學中的內容，然后思考是否有可能通過發現學習來培育數學學科核心素養（不一定是全部三個要素，也可以是其中一兩個要素的培養）. 現以“平行四邊形”這一內容的教學來說明.

平行四邊形是人教版八年級下冊的內容，由于學生此前已經具有了平行四邊形的基礎知識，在生活中也有一些平行四邊形的體驗，從而讓他們大腦中具有一般的平行四邊形的表象. 初中階段平行四邊形的學習，主要目標是能夠靈活利用平行四邊形的相關知識去解決數學習題與一些實際問題，其中平行四邊形的性質與判定條件，以及兩者之間存在的關系與區別，是教學的一個難點. 而重點的體現與難點的突破，也是利用發現學習來設計的一個重要原因.

在設計的時候，筆者特地進行了三步設計：

第一步是創設有效的情境，讓學生在對平行四邊形的思考過程中初步感知平行四邊形的性質.

例如可以提供的情境是：小華在家里制作了一個四邊等長的大風箏（這實際上是個菱形，因此這個素材在后面菱形知識的學習中還可以應用），如圖所示，為了美觀，他在風箏上面貼了一個彩色的三角形. 制作完成之后，小華將風箏拿給數學老師看，老師在表揚他的同時問他：“風箏中間的三角形的兩邊CE和CF相等嗎？”小華一時無法判斷，教師說只要有一把尺，不需要測出它們的長度也是可以判斷的，你說小華應該怎么做呢？

這是一個來自于生活的情境，其可以讓學生在對生活問題的思考中初步感知平行四邊形的性質. 這里一個很重要的內在心理機制，就是利用學生的直覺去感知性質，這與數學學科核心素養中的直觀想象是有聯系的.

第二步，引導學生基于平行四邊形的定義去推理平行四邊形的性質.

初中階段對“形”的研究，很多時候形的性質都來源于定義以及邏輯推理兩個基礎. 平行四邊形被定義為兩組對邊分別平行的四邊形，那學生自然可以得出“平行四邊形對邊互相平行”的性質，其后再借助于三角形全等的知識，亦不難發現“平行四邊形的對邊相等、對角相等”這一性質，在這個教學過程中，教師的一個重要思路，就是不要干預學生的思維，要讓學生自己去主動探究，這樣所得到的性質會讓學生印象更加深刻. 而“平行四邊形的對角線互相平分”這一性質較難發現，因此教師可以幫助引導一下——平行四邊形的性質肯定是從邊和角兩個角度去描述的，除了平行四邊形自身的四條邊、四個角之外，我們還可以怎樣描述它的性質呢？這種情況下學生容易想到利用對角線來得到更多的線與角，從而發現更多的性質. 而一旦對角線作出來，學生一樣可以利用三角形全等去進行邏輯推理. 因此這個過程中，邏輯推理這一核心素養要素是體現得最為充分的.

第三步，基于原來的推理讓學生反過來思考，從而引入平行四邊形的判定.

平行四邊形的性質得出，實際上是邏輯推理的結果，那如果將性質當作已知條件，那所得到的四邊形是不是平行四邊形呢？學生的思維自然也就指向了新的邏輯推理，為了讓學生的思路變得更加清晰，教師可以明確引導學生從“邊”和“角”兩個角度去發現、組合條件，以尋找能夠證明四邊形為平行四邊形的最簡條件.

這是一個逆向推理的過程，也是一個平行四邊形模型進一步明確的過程，待判定方法出來之后，還可以引導學生進一步思考剛開始創設的情境，看在剛開始的情境中，如果已知CE與CF相等，那還需要什么條件可以證實原四邊形為平行四邊形？

總之，通過這樣的三步設計，學生在學習中既充分地調用了自己的心智，同時又獲得了知識，更體現了數學抽象、邏輯推理與數學建模，因此較好地實現了基于發現學習培育數學學科核心素養的目的.

在核心素養培育過程中培養發現能力

發現學習是一種方式，核心素養是一種能力，其實發現本身就是一種能力，因而也可以認為發現本身就是核心素養的重要組成部分. 在這里，發現是與創造聯系在一起的，因為創造本身也是一個心智高效參與并發現新知識的過程. 所以，核心素養培育的過程中，要高度重視學生發現能力的培養.

根據筆者的經驗，初中數學教學中，利用數學探究，利用問題解決，是可以較好地讓學生基于原有數學認知體系實現新的發現的，尤其是當學生沉浸在一個具體的問題情境中時，因為推理需要，他們有可能更充分地調用自己的數學知識去組合、試錯，從而發現新的問題解決方法. 而當學生在證明過程中，在問題解決過程中發出“原來用的是這種方法”“原來還可以這樣解”時，我們就認為他們是有發現的，發現能力是得到培養的.

總之，發現學習與核心素養在理論上的契合，能夠得到實踐的證明，也就是說發現學習是核心素養培育的重要途徑.