基于廣義集值混合變分不等式的算法研究

肖成英，安士勇，李慶

(1.四川工商學院 云計算與智能信息處理重點實驗室，四川 成都 611745;2.西南民族大學 計算機科學與技術學院，四川 成都 610041)

變分不等式自1966年被Hartman和Stampacchia首次提出并研究以來，已經得到國內外廣大數學研究者的重視.從最初的古典變分不等式發展到現在的一般變分不等式、混合變分不等式、似變分不等式、變分包含等一系列相關問題.研究方法也在不斷完善和提高，對每類變分不等式都建立了具體求解方法，主要包括投影法、超梯度法、輔助原理、預解方程.在Noor[1-3]中引入了解決混合變分不等式的預解方程技術.在[3]中證明了變分不等式和預解方程的等價性，利用等價性構造出混合變分不等式的迭代算法.文章利用預解方程技術證明廣義集值混合變分不等式與不動點理論的等價性，以此構造出迭代序列，通過證明迭代序列的收斂性，從而證明廣義集值混合變分不等式解的存在性問題.

隨著變分不等式理論的成熟和發展，已經作為一個有效的工具，以統一的模式被大量地應用于力學、微分方程、現代化控制、經濟管理科學、交通問題、對策理論等各個區域.變分不等式理論已成研究現代科學的重要工具.

1 提出問題

設H是實Hilbert空間，范數和內積分別為‖·‖，〈·，·〉，設g：H→H是單值映射，T：H→C(H)設集值映射，其中C(H)表示H的所有非空有界閉子集族，設泛函φ：H→R∪{+∞}是真凸下半連續，次可微的，其中?φ表示φ的次微分.

本文要討論的廣義集值混合變分不等式：求u∈H，w∈T(u)，對?v∈H，使得：

〈w，g(v)-g(u)〉+φ(g(v))-φ(g(u))≥0， ?v∈H

(1)

特例：

(1)當g=I時，問題(1)變成下面的問題：找u∈H，T：H→C(H)，w∈T(u)，使得：

〈w，v-u〉+φ(v)-φ(u)≥0， ?v∈H

(2)

問題(2)稱為廣義混合變分不等式，文獻[4]中Noor證明了問題(2)等價于不動點問題，根據不動點理論構造出迭代序列，并證明序列的收斂性，從而得到(2)解的存在性.

(2)當g，T：H→H時，問題(1)變成下面的問題：找u∈H，使得：

〈Tu，g(v)-g(u)〉+φ(g(v))-φ(g(u))≥0， ?v∈H

(3)

問題(3)稱為第二類廣義變分不等式，該變分不等式在純理論和應用科學中許多線性和非線性問題中都得到了廣泛的研究和應用.在文獻[5]中Noor用校正法證明了迭代序列的收斂性和解的存在性.

(3)當T：H→H，g≡I時，問題(1)變成下面的問題：找u∈H，使得：

〈Tu，v-u〉+φ(v)-φ(u)≥0， ?v∈H

(4)

問題(4)稱為混合變分不等式，在文獻[6]中，Noor用迭代法證明和分析了單調混合變分不等式解的存在性問題.對于問題的推廣應用和方法可參見文獻[7，8].

引理1[10]對z，u∈H，滿足不等式

〈u-z，v-u〉+ρφ(v)-ρφ(u)≥0，?v∈H

定義2[11]集值映射T：H→C(H)是Lipschitz連續，若存在常數ξ>0，使得：

‖w1-w2‖≤ξ‖u1-u2‖， 其中w1∈T(u1)，w2∈T(u2)

定義3[12]對u1，u2∈H，集值映射T：H→C(H)稱為強單調，若存在常數α>0，使得

〈w1-w2，u1-u2〉≥α‖u1-u2‖2， 其中w1∈T(u1)，w2∈T(u2)

2 算 法

本節采用預解算子技術，將問題(1)轉化為不動點問題，構造出迭代序列.在[13-16]中通過預解方程和不動點研究了關于混合變分不等式解的問題.

問題(1)等價于下面的不動點問題：

定理1若u是問題(1)的解當且僅當u滿足下面的等式：

(5)

證明：設u是問題(1)的解，則有：

〈w，g(v)-g(u)〉+φ(g(v))-φ(g(u))≥0，

即φ(g(v))-φ(g(u))≥〈-w，g(v)-g(u)〉

由?φ(u)的定義，上式成立當且僅當：-w∈?φ(g(u))

注：定理1還可表示為：

通過此不動點方程構造出下面的迭代算法：

算法1設T：H→C(H)是集值映射，g：H→H是單值映射，設泛函φ：H→R∪{+∞}是真凸下半連續，次可微的，其中?φ表示φ的次微分，u0∈H，w0∈T(u0)，對?v∈H，設

由Nadler[17]，存在w1∈T(u1)，滿足：

由此得到序列{un}，{wn}

其中

(6)

3 解的存在性及迭代序列的收斂性

本節根據算法1構造的迭代序列，通過證明序列的收斂性，從而證明問題(1)解的存在性.

定理2設T：H→C(H)是集值映射，且T是α-強單調和ξ-Lipschitz連續的；g：H→H是單值映射，且g是δ-強單調和σ-Lipschitz連續的；泛函φ：H→R∪{+∞}是真凸下半連續，次可微的，其中?φ表示φ的次微分，若假設1成立且滿足：

(7)

則由算法1產生的迭代序列：{un}，{wn}分別收斂于u，w，且u，w就是變分不等式(1)的解.

證明：

(8)

由于g是δ-強單調和σ-Lipschitz連續的，所以有：

‖g(un)-g(un-1)‖≤σ‖un-un-1‖； 〈g(un)-g(un-1)，un-un-1〉≥δ‖un-un-1‖2

則

‖un-un-1-(g(un)-g(un-1))‖2=‖un-un-1‖2-2〈g(un)-g(un-1)，un-un-1〉+‖g(un)-g(un-1)‖2≤

‖un-un-1‖2-2δ‖un-un-1‖2+σ2‖un-un-1‖2=(1-2δ+σ2)‖un-un-1‖2

(9)

s‖un-un-1‖+‖g(un)-g(un-1)-ρ(wn-wn-1)‖≤

s‖un-un-1‖+‖un-un-1-(g(un)-g(un-1))‖+‖un-un-1-ρ(wn-wn-1)‖≤

(10)

由定義2和定義3，T是α-強單調和ξ-Lipschitz連續的，則

‖un-un-1-ρ(wn-wn-1)‖2=‖un-un-1‖2-2ρ〈wn-wn-1，un-un-1〉+ρ2‖wn-wn-1‖2≤

‖un-un-1‖2-2ρα‖un-un-1‖2+ρ2ξ2‖un-un-1‖2=(1-2ρα+ρ2ξ2)‖un-un-1‖2

所以

(11)

將(11)帶入(10)，得

(12)

將(9)和(12)帶入到(8)，得

(13)

令γ=(k+t(ρ))，由(7)知0<γ<1

因此，由(13)知{un}是柯西收斂序列，?u∈H，使得un→u

由(6)及T的Lipschitz連續性，有

wn∈T(un)，，‖wn+1-wn‖≤ξ(1+(n+1)-1)‖un+1-un‖

所以{wn}也是柯西收斂序列，?w∈T(u)，使得wn→w

由(5)知(u.w)是問題(1)的解.

參考文獻：

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