一種改進的FastICA算法及其在fMRI數據中的仿真應用

彭堯 熊馨

摘 要：為了更有效地去除功能磁共振成像（functional magnetic resonance imaging，fMRI）數據中所包含的大量噪聲信號，研究了快速獨立分量分析（Fast Independent Component Analysis，FastICA）算法，針對該算法在處理低信噪比的fMRI數據時估計精度降低問題，采用修正白化矩陣方法改進FastICA算法，與傳統的FastICA算法分別對fMRI數據進行去噪仿真分析。對比兩種方法去噪結果，發現改進的FastICA算法能更有效地去除fMRI數據中的噪聲信號，為剔除fMRI偽跡，提高fMRI數據預處理效果奠定了堅實的科學基礎。

關鍵詞：功能磁共振成像；FastICA；白化矩陣；仿真

DOI：10.11907/rjdk.172553

中圖分類號：TP312

文獻標識碼：A 文章編號：1672-7800（2018）004-0067-04

Abstract：In order to more effectively remove the large amount of noise signals contained in the functional magnetic resonance imaging（fMRI） data，Based on Fast Independent Component Analysis （FastICA） algorithm research in this paper， according to the algorithm when dealing with fMRI data of low signal-to-noise ratio estimation precision degradation，correction of albino matrix method is used to improve the FastICA algorithm，at the same time the paper with the traditional FastICA algorithm of denoising simulation Analysis of fMRI data respectively. By comparing the results of the two methods，it is found that the improved FastICA algorithm can effectively remove the noise signal in fMRI data， which proves the effectiveness of the proposed method.This lays a solid scientific foundation for eliminating fMRI artifacts and improving the preprocessing effect of fMRI data.

In order to have more effective removal of large amount of noise signals in functional magnetic imaging （FMI）， we research on Fast Independent Component Analysis （Fast ICA） algorithm. Aiming at estmation precision degradation of the algorithm when dealing with FMRI data， we employ the improved whitening matrix to improve FastICA algorithm. Denosing simulation analysis is made by the improved and the traditional FastICA algorithm respectively. By comparing the results of the mentioned analysis we find the improved algorithm can improve the improved FastICA algorithm can effectively remove the noise signal in FMRI data to eliminate FMMRI artifacts， which forms a sound basis of improving the FMRI data preprocessing effect.

Key Words：functional magnetic resonance imaging； fast independent component analysis； albino matrix； simulation

0 引言

功能磁共振成像（fMRI，functional magnetic resonance imaging）的快速發展和應用，使得人們通過大腦成像更加了解到人體大腦功能。fMRI成像技術經過幾十年的發展，已經成為研究人體大腦工作的主要手段之一，其所具有的無創性探究大腦優勢使fMRI發展迅速，使用廣泛。已經有學者將信號領域的各種研究方法應用于fMRI數據處理上，取得了非常好的效果，其中獨立分量分析（ICA，Independent Component Analysis）處理fMRI信號取得了長足進步。

獨立分量分析（ICA）是信號領域為解決盲源分離問題而提出的一種信號處理方法[1]。ICA算法的限制條件是源信號相對獨立和非高斯性，通過調整（一般是增大）不同信號的非高斯性實現信號分離，ICA可以在未知的源信號和傳輸通道相關參數的情況下實現信號分離。對于fMRI數據的研究，McKeown于1998年首次將ICA算法應用于fMRI數據，取得了非常好的效果。近些年來，越來越多的學者將ICA算法應用于fMRI數據處理。目前，fMRI數據處理所使用的ICA方法有：Orth-Infomax算法、空間獨立分量分析算法、時間獨立分量分析算法、FastICA算法、Orth-ExtBS算法、牛頓型算法等[2]，這些算法有各自的優缺點。本文通過對FastICA算法進行研究，針對其在處理fMRI數據中存在的不足，提出一種改進的FastICA算法，并將其應用在fMRI數據仿真分析中。

1 ICA原理

獨立向量分析（ICA）是由主分量分析（PCA，Principal Component Analysis）演變而成的一種新的分析信號方法。ICA算法起源于著名的“雞尾酒會問題”，其一般模型為：假設X=x1，x2，x3…xn為n個觀測信號，Y=y1，y2，y3…yn為n個源信號，其中觀測信號X是由源信號Y觀測而來[3]。假設通過源信號Y的i個獨立分量混合而得到第i個觀測信號xi，則可得到以下公式：

式（2）就是ICA的一般混合模型。其中A=[a1 a2 a3…an]為混合矩陣。ICA算法就是在不知道源信號Y和混合矩陣A的情況下，通過觀測信號X求出源信號Y或混合矩陣A[4]。各源信號Y假設為相互獨立，可通過尋找一個線性變換矩陣W∈Cn×n對觀測信號X實行線性變換，得到一個盡可能與源信號Y相似的信號，這里W被稱為解混矩陣，其求解相似源信號的公式為：

2 Fast ICA算法

FastICA算法是Oja等[5]提出的一種快速ICA算法，其原理依據定點遞推算法，所以FastICA算法又稱為固定點算法（Fixed-Point）。由于fMRI數據具有高維數特點，因此利用FastICA算法的快速收斂特點能很好地用于fMRI數據處理。

FastICA算法步驟如下：①觀測信號X中心化。中心化就是使觀測信號X的均值向量為0，即X-，其中為X的均值；②對中心化的觀測信號X白化。構造白化矩陣Mw，然后進行白化處理：Z=MW（X-）；③初始化分離矩陣W，并要保證‖W‖=1；④更新分離矩陣W。根據擬牛頓迭代法對分離矩陣W進行迭代，得到W1；⑤對更新后的分離矩陣W1進行對稱正交化處理，使其滿足W=（W1WT1）-1/2W1；⑥判斷W的收斂性，如果W不收斂，則返回步驟③繼續對W進行迭代；如果W收斂，則此源信號Y的最佳估計值=WX。

3 改進的FastICA算法

FsatICA算法將大量的樣本數據加入每一步迭代中，同時采用定點迭代的優化算法，其快速收斂的特點使其能夠快速處理fMRI這種高維數據。雖然FastICA處理fMRI數據效果很好，但由于fMRI數據的信噪比較低，因此在處理fMRI數據時，其估計精度會受數據信噪比的影響[6]。針對這一問題，采用文獻[6]提出的一種改進的FastICA算法處理fMRI數據，改善處理fMRI數據的估計精度[7]。

ICA算法需要觀測信號之間有著良好的獨立性，因此FastICA算法采用了對觀測矩陣進行白化處理，消除信號之間的相關性[8]。但是一般的FastICA算法在構造觀測信號的白化矩陣時，并沒有考慮到噪聲對信號的影響，同時對信號進行白化處理不能有效將低信噪比信號所需要的分量分離出來。為了改善這種狀況，對FastICA算法中白化處理過程進行以下修正：通過噪聲子空間所對應的特征值，對信號子空間的特征值進行修正，利用修正后的信號子空間的特征值和特征向量構造白化矩陣。

4 仿真應用

目前，由于fMRI數據的空間維數與時間維數差別很大，其空間維數非常高，因此一般在處理fMRI數據時采用了以犧牲空間為代價換取時間獨立性的空間ICA算法[9]。fMRI數據由三維腦功能圖像和與之相對應的一維時間序列構成。通常情況下，在通過核磁共振掃描儀獲取fMRI數據之后，需要對數據進行預處理，剔除數據中的偽跡（如頭動、噪聲等），或者修復數據采集過程中可能造成的數據損失。要保證有效提取出數據中的偽跡，就必須有效分離fMRI數據[10]。

采用運行于MATLAB環境下的SimTB工具箱所產生的fMRI模擬數據，實現常規的FastICA和本文所改進的FastICA兩種算法對fMRI模擬數據進行處理，對比其分離出的源信號精度。SimTB工具箱可根據需要產生不同類型的fMRI模擬數據，是一種專門用于模擬fMRI數據的工具。本文首先利用SimTB產生一組無噪聲信號的fMRI模擬數據，記為X。所產生的無噪聲fMRI數據X是一組64×64維的矩陣，取X中1～4行數據，組成一個1×256維的矩陣，記為signal 1；取X中的5～8行數據，組成一個1×256維的矩陣，記為signal 2；取X中的9～12行數據，組成一個1×256維的矩陣，記為signal 3；取X中的13～16行數據，組成一個1×256維的矩陣，記為signal 4；取X中的17～20行數據，組成一個1×256維的矩陣，記為signal 5。圖1為所取得的5路仿真信號。

再次利用SimTB工具箱，對X加入一個高斯噪聲，得到一組混合信號，記為X_mixed。SimTB工具箱提供對fMRI模擬數據加入噪聲以及各項噪聲相關參數（如噪聲強度、信噪比等），這里設置信噪比為0.05，使所產生的混合信號滿足低信噪比特點。同樣取X_mixed中的1～4行數據，組成一個1×256維的矩陣，記為mixed signal 1；取X_mixed中的5～8行數據，組成一個1×256維的矩陣，記為mixed signal 2；取出X_mixed中的9～12行數據，組成一個1×256維的矩陣，記為mixed signal 3；取X_mixed中的13～16行數據，組成一個1×256維的矩陣，記為mixed signal 4；取X_mixed中的17～20行數據，組成一個1×256維的矩陣，記為mixed signal 5。圖2為所取得的5路仿真信號圖。從圖2可以看出，混合后的信號與源信號差異很大，無法辨別出源信號。

利用MATLAB軟件分別采用常規的FastICA和文中所改進的FastICA兩種算法對所得到的5路混合信號進行信號分離，得到的結果如圖3、圖4所示。其中圖3為常規的FastICA算法得到的結果，圖4為改進FastICA算法得到的結果。

從圖3和圖4可以看出，所得到的分離信號與圖1的源信號差別不大，證明所采用的兩種FastICA算法有效，但是無法直接根據所得到的結果對兩種算法精度進行判定。精度，即精確度，這里指所分離出的信號與源信號相比，兩者信號相似度的大小。因此，采用比較兩種分離出的信號與源信號差值的絕對值大小判定其精度，用式（5）、式（6）表示。很明顯，絕對值越小的信號精度越高，絕對值越大的信號精度越低。

式（5）、式（6）中，XIF（n）表示常規FastICA算法得到的差值，signaln表示源信號，Fastsignal（n）表示常規FastICA算法得到的與源信號相對應的分離信號，XIF（n）表示改進的FastICA算法得到的差值，Fastsignal（n）表示改進的FastICA算法得到的與源信號相對應的分離信號。

為了更加清楚地表示精度值的大小，將所得的兩個差值相減，用βn表示所得結果，見式（7）：

式（7）中，βn所表示的意義是：βn小于0，XF（n）比XIF（n）小，常規FastICA算法得到的結果精度高；βn等于0，XF（n）與XIF（n）相等，兩種算法得到的結果精度一樣；βn大于0，XF（n）比XIF（n）大，改進的FastICA算法得到的結果精度高。圖5為兩種算法得到的β值分布情況，可以很清楚地看出兩種算法的精度大小，大部分的β值大于0，說明采用改進的FastICA算法所分離出的源信號精度值有所提高。

Matlab仿真實驗結果匯總分析：

圖1為5種無信號噪聲的fMRI源信號的波形圖，從上至下分別為源信號signal 1、源信號signal 2、源信號signal 3、源信號signal 4、源信號signal 5。

圖2為5種信噪比為0.05的混合信號的波形圖，從上至下分別為混合信號mixed_signal 1、混合信號mixed_signal 2、混合信號mixed_signal 3、混合信號mixed_signal 4、混合信號mixed_signal 5。

圖3為用常規FastICA算法分離出的5種fMRI源信號，從上至下分別對應圖1中的源信號signal 5、源信號signal 4（發生反相）、源信號signal 1、源信號signal 2、源信號signal 3。

圖4為用改進的FastICA算法分離出的5種fMRI源信號，從上至下分別對應圖1中的源信號signal 5、源信號signal 4（發生反相）、源信號signal 1、源信號signal 2、源信號signal 3。

圖5為兩種算法的精度值β分布圖，從上至下與圖1中的源信號一一對應。

從圖3、圖4可以看出，采用兩種FastICA算法處理fMRI混合信號后，能夠有效分離出圖1中的5種fMRI源信號，并且誤差較小（發生反相），由此證明所采用的兩種FastICA算法處理fMRI數據的有效性。但是無法直接根據所得到的結果對兩種算法精度進行判定，因此采用β計算算法的精度值，如圖5所示。由圖5可以看出，絕大部分β值大于0，由此可以看出采用改進的FastICA算法所分離出的源信號精度值確有所提高，這為更有效地剔除fMRI數據中的偽跡奠定了基礎。

5 結語

本文通過研究用于fMRI數據預處理的FastICA算法，提出了一種基于修正白化矩陣的改進的FastICA算法。通過Matlab軟件對SimTB工具箱產生的模擬fMRI數據進行了仿真實驗，證實了兩種算法對于分離fMRI原信號的有效性。同時，通過對比常規的FastICA算法和改進的FastICA的估計精度，證實改進的FastICA算法所分離出的源信號提高了精度值，為剔除fMRI偽跡，提高fMRI數據預處理效果奠定了堅實的科學基礎。

參考文獻：

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（責任編輯：杜能鋼）