關于柯西—黎曼方程教學方法的探討

王文波

本文通過適當的例子說明判斷函數解析性的困難，引入柯西—黎曼方程后判斷很簡單，說明柯西—黎曼方程的適用性。

解析函數是復變函數的主要研究對象，對復變函數解析性的分析和判斷就至關重要。柯西—黎曼方程式判斷函數解析性的有力工具，使用方便簡單。在教學中如何引入柯西—黎曼方程，讓學生體會到柯西黎曼方程的妙處就至關重要。處理這部分內容可以采取適當的例子，在判斷函數的解析性時用其他方法來求解很困難，但是用柯西—黎曼方程來求解很容易。看下面的例子：

例 判斷 的解析性。

分析：在沒有講柯西—黎曼方程前，通常用導數的定義做。 是處處不不可導，也處處不解析。而導數是函數值的增量除以自變量的增量的極限，只要證明極限不存在即可。一元實變函數里證明極限不存在的常用方法是左右極限不相等，此處類似，只要兩個方向的極限不相等即可證明。

解： ， ，

當 沿平行于 軸的直線趨近于 ，設 ，則 ， ，

當 沿平行于 軸的直線趨近于 ，設 ，則 ，

，

沿橫軸和縱軸方向的極限不相等，則極限不存在， 處處不可導，也處處不解析。

的解析性用導數的定義判斷比較麻煩，但是由于這個函數比較簡單，判斷過程還算是比較順利的。如果函數復雜點就會復雜多了，比如 ，這個函數也比較簡單，只是上題的函數取了下倒數，但是判斷起來麻煩多了。過程和上題類似，不過計算的時候還是有點困難的。

用極限的定義判斷函數的解析性，使用很不方便，此時可以告訴學生有一種非常簡單的判別方法，就是用柯西—黎曼方程來判斷。

定理1 設函數 在定義域D內，則 在D內一點 可導的充要條件是： 可微，且在該點處滿足方程

（柯西—黎曼方程）

定理2 設函數 在定義域D內，則 在D內一點 解析的充要條件是： 可微（可微在此處可以換為偏導連續），且在該點處滿足方程

（柯西—黎曼方程）

用柯西—黎曼方程來判斷 的解析性： ，不滿足柯西—黎曼方程，故處處不解析，顯然，用柯西—黎曼方程來判斷解析性簡單多了。

基金項目：武漢科技大學研究生教育教學改革研究項目。

（作者單位：武漢科技大學）