“通性通法”在高中數學解題中的應用

盧曉蘭

數學是高中教育教學不可缺少的一部分，同時也在其中占據核心位置。高中生面臨高考的壓力，因此在實際對數學進行學習時必須針對題目進行靈活的解題。經過長期的實踐與探究，我國數學教學工作取得顯著的成就，但在實際中還是存在一定的不足與阻礙。本文主要針對“通性通法”在高中數學解題中的應用進行探究，這對我國教育教學事業的發展有極大的促進作用。

一、高考觀點下的中學數學

從本質上來說是數學是一種科學，具有一定的形式性。數學也可作為形式化的方法或者形式化的語言為科學研究提供依據。通過對《數學課程標準》進行解讀后發現，需要利用數學的思想與方法對活動材料進行組織與整理。在《數學課程標準中》我們可將數學學習內容的核心概念分為以下6種，分別為數感、符號感、空間觀念、統計觀念、應用意識以及推理能力。其中符號可作為重要的標志對人類的文明發展進行衡量，促使學生感受符號并實現對符號的靈活使用是數學課程的實質與目標。

方程、不等式、算式與以及函數式是高中數學的四種主要形式。我們也可以概括的將數學解題分為兩個主要步驟，首先是促使問題進一步實現向形式化的轉變，在此基礎上對方程、不等式、算式或者函數式進行列舉，最后在進行形式操作時必須符合數學的規范形式。下面我們記性舉例說明。

假設1和根號2都在等差數列{a2}的涵蓋范圍之內，需要對{a2}中任意3項均不構成先等比數列進行證明。從解題本質角度來說，首先需要對形式符號進行利用，主要是對該數列中任意滿足條件的三個選項進行充分表達，然后通過形式推理的方式證明結論是否成立，也可結合實際使用反證法。

這道題可以說是一種證明題，主要是在設定形勢符號的基礎上對任意3項數列進行表示，上述過程中大多數內容都是在算式的基礎上對其進行推導，其中主要包含以下幾個要點。首先是對成為主變量的幾個量進行選擇，然后在適當利用變量帶換的基礎上實現其過程的有效簡化。在實際引出矛盾的過程中需要對有理數以及無理數的特殊性質進行利用，最終實現對其中蘊含代理的充分說明。

二、中學數學中的通性通法

通性通法最早是由美籍華人數學家項武義教授提出，最開始出現于同一套初中數數學實驗教材中，后來這種提法得到廣泛應用。多數人認為常用以及多用性質與方法就是指通性通法，因此我們首先需要做的就是對通性通法進行界定。

中學數學主要是由十多個系統領域共同組成，高中數學特別明顯。我們可將上述領域中的內容主要分為兩個部分，其中一部分是新學的是定義、性質以及方法，這對該領域有一定的針對性，上述內容在實際進行形式與體系變化過程中需要對一種常見的方法與技巧進行使用。另一部分是對通常使用的方法進行利用，這部分內容屬于已經學習過的內容。在實際對公式進行變換與換算時就需要對通性通法進行使用，這也可在一定程度上證明通性通法存在的真實性。

多數數學問題需要通過方程求解；通常通過不等式求某變量的取值范圍；通過算式求值；通過函數研究變量的變化規律。因此，中學數學的四大基本形式是：方程、不等式、算式與函數式。

三、從笛卡兒模式到高考數學解題的萬能模式

1.約三百七十多年前，近代著名的法國哲學家、數學家笛卡兒曾試圖要創造萬能的方法，來解決數理上的一切問題。他的這個“萬能方法設想”，畫成模式圖可以表示如下：

這樣一個常用的統一處理數學問題的方式，著名數學家波利亞后來把它叫做笛卡兒模式。

2.通過分析大量的高考數學試題與高考模擬卷中的試題，發現高考數學解題中最常用的通法是：把問題的條件通過種種途徑，化為4種基本形式（方程、不等式、算式和函數式）；然后，再對它們進行計算、變換、求解。

3.又注意到：從高考數學命題的指導思想與原則的一系列提法：“發揮數學作為基礎學科的作用，既重視考查中學數學的掌握程度，又注意考查進入高校繼續學習的潛能”，命題“堅持多角度、多層次的考查；注重對基礎知識的考查；同時兼顧試題的基礎性、綜合性和現實性，重視試題設計的層次性，合理調控綜合程度”。

四、對高考數學教學的指導意義

據此萬能思路，教師在教學中重點是分析，并要讓學生掌握常用的把條件轉化為方程、不等式的辦法；掌握常用的解方程、不等式組，變換推演算式、函數式的方法技巧；掌握常用的分解討論、映射轉換方法及其注意點。

因為學生的困難往往在于：某幾個條件沒法把握，從而列不出與它相關的方程或不等式；或是解方程、不等式組，變換某個算式的某些特殊方法技巧掌握得不太好，臨場沒想到。可以注意與預測到，創新試題主要就是情景創新與條件創新。方向可以預見，具體的內容很難猜測到。筆者深信，一些重點高中的名師，必有應對創新試題方面的不可輕易外傳的指導經驗。

（作者單位：甘肅省白銀市會寧縣第一中學）