防守狀態下投籃運動的數學建模

摘 要：對于投籃問題的研究，往往在無人防守的理想狀態下，對投籃的技術動作、籃球的運動軌跡、投籃角度等方面進行討論。而實際比賽中，后衛往往是對方的重點防守對象，很難有空位出手的機會，防守球員一般會用手臂擋住對方視線，使投籃者起跳后無法看到籃筐，這就需要我們對無人防守的理想狀態下的模型進行改進，為后衛重新設計一個最佳出手點和出手角度。本文首先研究投籃運動的普遍規律，建立數學模型。然后考慮有人防守的情況下，對模型進行改進，從而提高命中率。

關鍵詞：防守狀態；投籃角度；投籃命中率；入籃角

Abstract：The research on the shooting problem is often discussed in the ideal condition of undefended，the technical movement of the shot，the track of basketball，the Angle of shooting and so on.The actual competition，the defender is often the other side of the key defense objects，it is difficult to have the chance to shots，defensive players tend to use arm to protect each other's line of sight，make people can't see the basket after takeoff shooting，this needs us to the unmanned defense under the ideal state of model was improved，for the defender to design an optimal point and Angle.This paper first studies the general rule of the shooting movement and establishes the mathematical model.Then，the model is improved to improve the shooting rate when someone is defending.

Key words：Shooting Angle；shooting average；Come in for the Angle

一、問題分析

問題：有人防守時，如何重新選擇空心投籃的最佳投籃點及投籃角度。

在有人防守情況下，采取干拔跳投的技術手段，可以增加垂直高度，假設速度不變，使投籃的最佳角度減小，可找到最佳出手點，或者增加垂直高度，假設投籃角度不變，投籃速度變?。徊扇『笱鎏兜姆绞?，延長水平距離，增大投籃角度，從而提高命中率。

二、模型假設

假設空氣的阻力、主觀因素對運動員投籃影響、籃球出手后球自身的旋轉可忽略；假設籃球的運動軌跡和籃筐中心在同一平面內。

三、符號說明

四、模型建立與求解

（一）用運動學知識建立最基礎的投籃模型

t=0 時刻，籃球被投出，出手時籃球的速度為 v，速度方向與水平面夾角為θ可得：

（二）問題：有人防守時，如何重新選擇空心投籃的最佳投籃點及投籃角度

考慮到有人防守的情況下，對模型進行改進，例如后衛可以采取干拔跳投的方式，增加垂直高度，在速度不變的情況下使投籃的最佳角度減小，提高命中率；采取后仰跳投的方式，延長水平距離，增大投籃角度，從而提高命中率。

投籃時有人防守的條件下，投者跳投時，能否免遭封蓋，決定FA與FA′的高度大小的關系，即FA必須大于FA′。因A點是球心經過守者正上方時的軌跡點，而球的半徑為12.4cm，當球經過A點時，球的最下沿則比A點低12.4cm，因此要免遭封蓋，使防守者觸及不到球，可得：

式（6）是在有人防守的條件下，進行個人攻擊跳投時，免遭封蓋的二維空間參數模型（不考慮空氣助力和球自身旋轉對球的飛行軌跡的影響）。

在測得或給定各種八通的有關參數（EO、y2、θ、x2、x1）值時，則可根據式（6）計算出相應的各種y1值和FA值，并可列成數表（如表3）。

對數據的分析可知，防守人員的身高及最大垂直高度是一個相對穩定的常量，EO是干拔跳投的出手點O的高度，EO越高，免遭防守的水平（即FA越高）。同時y1的主要影響因素為θ，與y1成正比，當θ增加5°時：近投（3-4米）y1可增加6-21cm；中投（5-6米），y1可增加7-24cm；遠投（7米），y1可增加8-25cm；即θ的大小對y1的影響較大，是避免防守的主要原因之一。在選定θ時，還應考慮與命中率有關的入籃角，允許誤差范圍等因素，即要選定最佳θ。

其它因素不變的情況下x1越遠，則y1越高，免遭防守水平也就越高，當x1增加40cm時：近投（3-4米）y1可增加12-38cm；中投（1米），y1可增加19-44cm；遠投（7米），y1可增加24-46cm，即x1大小對y1影響最大。

五、結論

經過對數據的分析和計算，我們可以得出以下結論：組織后衛在有對方球員防守時，投籃角度在45度左右時為最好，若采取后仰跳投，后仰角度一般在30度左右。在有人防守情況下，采取干拔跳投的技術手段，可以增加垂直高度，假設速度不變，使投籃的最佳角度減小，可找到最佳出手點，或者增加垂直高度，假設投籃角度不變，投籃速度變??；采取后仰跳投的方式，延長水平距離，增大投籃角度，從而提高命中率。

六、模型評價與推廣

本文所用的模型是建立在防守投籃得分的基礎上，通過對影響投籃各個因素進行詳細分析，給出了隊員不同投籃速度和不同的投籃角度情況下提高投籃命中率對投籃角度和投籃速度的要求。建立的模型能與實際緊密聯系，推廣性較強。

參考文獻：

[1]張宏杰，陳釣.籃球運動[M].北京：北京體育大學出版社，2004：11-15.

[2]川川.投籃問題的數學建模.百度文庫，2012.

[3]蘇之品.籃球投射的數學模型.

[4]趙凱華，羅蔚茵.力學[M].北京：高等教育出版社，2004：26-27.

[5]沉繼紅，等.數學建模.哈爾濱工程大學出版社，1998.

[6]肖宇谷.數學.北京：中國財經經濟出版社，2010.

[7]郭鼎文.投籃的技巧[M].北京：北京體育大學出版社，2017.

作者簡介：董曉紅（1983-），女，漢族，內蒙古包頭人，理學碩士，講師。