8字曲線路徑規劃凸輪設計

趙磊

摘 要：為使小車按8字形狀軌跡走，順利繞過兩個相距一定間距的障礙物，使用凸輪機構是行之有效的一種方法。由于凸輪存在周期性的特性，小車可以周期性的按8字形軌跡行走，從而實現小車在重錘的重力下持續繞過障礙物的過程。其中尋找或構造8字形曲線的常見方法有兩種：一種是尋覓現有的連續曲線，并能直接得到該曲線方程，而另一種是構造8字形軌跡。本次課題是使用圓弧和三角函數線來構造類8字形軌跡。本課題主要從分析前輪轉角，并結合轉向機構設計凸輪相應的半徑和角度方面進行設計。

關鍵詞：構造；轉角；凸輪機構；8字軌跡

一、8字軌跡的確定及說明

（一）關于建立8字軌跡的規律特征說明

小車走8字的軌跡，本課題是運用已知基本函數構造出類8字，即利用圓和三角函數構造出類8字軌跡。首先根據比賽樁距選用兩段自定義角度圓弧來參與構造過程，再使用三角函數連接圓弧使其封閉。（軌跡為后輪中心的軌跡）

（二）8字軌跡函數關系說明

關于坐標的說明。小車軌跡來說O為坐標原點，其中X代表水平方向，坐標單位為mm而Y則代表了豎直方向，坐標單位mm。左邊圓弧AB和右邊圓弧CD為一半圓弧，兩圓圓心為兩樁且樁距為兩圓的直徑長即400mm，中間弧BC和弧AD均為三角函數，而三角函數BC和AD是由sinx變化得到兩線段的解析式。

二、小車軌跡轉角的計算

（一）關于小車轉角的設計說明

根據分析后輪與前輪的結構關系。前輪控制轉向，后輪提供動力，通過四個參數L、r、R、θ計算前輪轉角以實現8字軌跡的生成。

由于小車在轉彎時前輪和后輪為同心不等徑圓環（近似處理）。因此，對于小車前輪的轉角為一定值，這個值的大小取決于車身和圓弧軌跡的半徑。其中L為車身即前輪到后輪中心的距離，θ為前輪轉角，R是轉彎時前輪的半徑，r為轉彎時后輪兩輪中心的半徑。而圓心在前輪的法向和后輪的法向交點出，因此當前輪轉角發生變化則圓心位置發生改變導致半徑變化所以由軌跡來確定轉角。（該課題以后輪中心8字為主）

（二）小車轉角的計算

將BC段轉角公式輸入MATLAB中如圖1所示。

（三）確定新軌跡圖

使用數學中的二分法最后得到在X=131.4處的轉角29.6739度與圓弧的轉角近似相等。所以得到新軌跡如圖2所示：

中間橫線的兩端點即為兩樁距離400mm。該圖是由原圖截取三角函數x∈-131.4，131.4的線段，再拼接200mm半徑的部分圓而得到的軌跡具體操作如下：

（1）截取0到131.4的三角函數線段。

（2）移動OC使C與C重合，在旋轉OC使其在C處的一階導數等于CD在C處的一階導數。

（3）移動OCD使得O和O重合。

（4）旋轉OCD使得圓弧的圓心在OE所在的直線上。

（5）OF即為軌跡的四分之一鏡像即可得到新軌跡。

（四）整合曲線

新圖是原曲線經過一系列的平移和旋轉，若還在原坐標下曲線的函數關系將發生改變，而前面的計算方法只是計算在某一位置的轉角并不能由該公式決定，決定轉角大小只與曲線的形狀和小車的長度有關。

參考文獻：

[1]濮良貴，陳國定，吳立國.機械設計[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]吳宗澤.機械設計課程設計手冊[M].北京：高等教育出版社，2004.