開式投入—產出模型探討

何裕平

[摘 要] 利用線性代數知識探討在生產管理等方面的應用。通過建立問題的數學模型，解決人們生活中實際的問題。

[關 鍵 詞] 線性代數；數學模型；開式投入—產出模型

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）06-0163-01

開式投入—產出模型的研究對象是k個企業組成的經濟系統。它與閉式投入—產出模型的不同點在于：（1）產品除了滿足本系統的內部各企業的消耗外，還有一部分產品滿足經濟系統外部的要求。（2）產品的價格是固定的。（3）每個企業的產量與需求是平衡的，所求的是各企業的產量。因為價格是固定的，所以可以用各企業產值來衡量產量。

設1.xi為第i個企業的總產值，xi≥0 （1）

2.di為系統外部所需求的第i個企業的產值，di≥0 （2）

3.cij第j個企業生產單位產值所需用第i個企業的產值，cij≥0

由此得到向量x，d和矩陣c，x=x1x2…xk稱為生產向量d=d1d2…dk≥0，稱為需求向量，c=c11 c12 … c1kc21 c22 … c2k… … … …ck1 ck2 … ckk≥0 稱為消耗矩陣，從cij和xj的定義，可以得出■cijxj是第i個企業消耗于經濟系統內部的產品總值。因而xi-■cijxj是第i個企業可供外部使用的產值。它應該等于系統外部需求量di。另一方面■cijxj，又正好是列向量cx第i個分量，因此我們得到下列方程

x-cx=d （3）

即（I-c）x=d，因為c與d是已知的，可求x。

實際上，人們希望經濟系統對任何外部需求都有唯一的生產方案，即（3）對任何需求向量d≥0都有非負的唯一解，消耗矩陣c應滿足一定的條件。可以證明：若消耗矩陣c的任何一行（或一列）元素之和都小于1，則有非負的唯一解。

例 某鎮有三個主要企業：煤礦、電廠和鐵路。設在一周內，每個企業生產1元產值的消耗以及外部對各企業產值的需求量列表如下：單位（元）

為了恰好滿足內外全部需求，問每個企業一周內產值各為多少元？設：煤礦、電廠、鐵路一周總產值分別為x1，x2，x3則有生產向量x=x1x2x3需求向量d=50000250000，消耗矩陣c=0 0.65 0.550.25 0.05 0.100.25 0.05 0，方程組（I-c）x=d為1 -0.65 -0.55-0.25 0.95 -0.1-0.25 -0.05 0x1x2x3=50000250000

因為系數矩陣可逆，所以解為

x=x1x2x3=（I-C）-1=■756 542 470220 690 190200 170 63050000250000=1200875616328330

通過實例，利用開式投入—產出模型，解決了我們生活中實際的問題。

參考文獻：

[1]David C.Lay線性代數及其應用[M].機械工業出版社，2005.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].高等教育出版社，2011.