用尺規三等分一角漸近作法的探索

天平 黃漢文

摘 要：尺規作圖求三等分一角，已經被證明是不可解的，但是人們對三等分角的探索從未停止過。用取極限的思想對任意角多次作角平分線，可以找出近似的任意角三等分線。通過逼近速率和誤差分析，作角平分線5～6次，能夠達到1/1 000的精度。

關鍵詞：尺規作圖；三等分角；極限

中圖分類號：O 123.3 文獻標識碼：A 文章編號：2095-7394（2018）02-0125-04

三等分角是古希臘幾何尺規作圖當中的名題，它和化圓為方、倍立方問題被并列為古代數學的三大難題。從相關數學論著中談到這個問題的歷史可以追溯到公元前四世紀，幾千年來一代又一代的數學家都為它絞盡腦汁[1]。在希臘這個數學研究學術風氣很盛的國家，曾出過不少著名的數學家和哲學家，包括阿基米德、歐幾里得等在內的眾多偉人，然而現代數學已經證明，用有限次直尺和圓規來三等分一角是不可能的。

后來，人們又想到了其他的方法，通過引入其他的曲線和新的思想實現角的三等分或近似三等分。通過借助雙曲線[2]、尼科梅德斯蚌線或希皮亞斯的割圓曲線，或使用阿基米德的滑動傳桿裝置，都能將給定的一角三等分，但這些方法實際上已經超出了僅使用直尺和圓規作圖的限制。[3]

本文運用極限的思想，通過多次作角平分線來逼近一角的三等分線，用有限次尺規作圖得到角的近似三等分線。

1 作法及理論依據

本節先給出對依次平分大、小角的方法，然后證明其合理性。

（1）對任意角∠AOB∈（0，π]，作其平分線OA1，再作∠B0A1的平分線OB1。得到角∠B0B1和∠B1OA。

（2）作角∠B1OA平分線OA2，再作∠BOA2角平分線OB2，得到角∠B0B2和∠B2OA。

（3）作角∠B2OA平分線OA3，再作∠BOA3角平分線OB3，得到角∠B0B3和∠B3OA。

接下來定義一步操作的概念，一步操作包括兩次作角平分線，第一次是作角∠BnOA的平分線OAn+1，第二次是作∠BOAn角平分線。（n≥2）

（4）依次順序反復做下去。第n步操作為，作角∠Bn-1OA平分線OAn，再作∠BOAn角平分線OBn，得到角∠B0Bn和∠BnOA。（n≥2）

在實際操作中，當n充分大后，前后兩次畫出的OBn與OBn+1會幾乎完全重疊。此時可以認為，后一條新小角點OBn+1與實際三等分線OS近似重合，即OBn+1為所求作之任意角∠AOB的角三等分線。

下面給出此法合理性的證明：

設∠AOB=[θ]；

對任意角∠AOB∈（0，π]，作其平分線OA1，記∠B0A1=[α1]；再作∠B0A1的平分線OB1。得到角∠B0B1和∠B1OA，記∠B0B1=[β1]；

作角∠B1OA平分線OA2，記∠B10A2=[α2]；再作∠BOA2角平分線OB2，得到角∠B0B2和∠B2OA，記∠B0B2=β2；

作角∠B2OA平分線OA3，記∠B20A3=[α3]；再作∠BOA3角平分線OB3，得到角∠B0B3和∠B3OA，記∠B0B3=[β3]；

記第[n-1]步后得到∠B0[βn-1]=[βn-1]（n≥2）；

則第[n]步（n≥2）中，平分∠[βn-1]0A有：

（[θ]- [βn-1]）/2=[αn] （1）

平分∠B0An有：（αn + [βn-1]）/2=[βn] （2）

將 （1）式代入 （2）式，消去[αn]，整理得：[θ]+ [βn-1]=4[βn]，

故[βn-1]-[θ]/3=4（[βn]-[θ]/3）；

∴{[βn]-[θ]/3}為q=1/4的等比數列；

∴（[βn]-[θ]/3）=（β1-[θ]/3）·1/4n-1；

即[βn]=（b1-[θ]/3）·1/4n-1+[θ]/3；

∴[limβn=θ3]，代入①得[limαn=θ3]

因此，[n]→∞時，OAn與OBn均為∠AOB的三等分線。

由證明過程知，對任意角[θ]按上述方法作三等分，[βn]=（[β1]-[θ]/3）·1/4n-1+[θ]/3；無論[β1]取何值，[βn]最終都會趨向[θ]/3。因此，為了減少步數，可以先目測[θ]/3的位置，設任意∠BOB1∈（0，[θ]）為目測三等分點，然后令∠BOB1=[β1]，繼續上述步驟作圖，也能得到近似的三等分角。證明過程同上。如果恰好取到∠BOB1=[β1]=[θ]/3，則α1=[θ]/3，[β2]=[θ]/3，可見OB1與OB2重合，作圖結束。

結論：運用上述作圖步驟，通過上述作圖公式①和②反復循環作圖，通過數次作圖后，可將任意角[θ]近似分出三分之一角。

2 逼近速率與誤差分析

由于上述作圖過程是一個逼近的過程，下面對通過依次作∠AOB和∠B0A1的平角[β1]的情況的逼近的速率和存在的誤差進行分析。

對任意角[θ]按上述步驟反復作角平分線得到的[βn]與[θ]/3的關系如表1所示。

分別以被三等分角分別為60°，90°，180°為例，按上述步驟反復作角平分線得到的[βn]與理論值的關系如表2所示。

由表1和表2分析可知，當[n]增加時，誤差成指數式下降。[n]=5時誤差不足0.1%，[n]=10時誤差不足百萬分之一。在給出具體角度的情況下，即使是180°的角，進行5步操作以后，得到的b5與標準值的誤差也不足0.06°；進行6步操作以后，得到的[β6]與標準值的誤差小于1'。

3 結論

本文給出了一種新的用尺規作任意角的近似三等分角的方法。此方法通俗易懂，操作方便。此方法精度較高且可以控制精度，可以只作5～6步得到精度約千分之一的結果。但是這種方法也存在一定的局限性，在實際操作中，當[n]≥5以后，[βn]與[βn+1]過于接近，較難分辨。

4 推廣

運用此法的原理可以類似求得線段的三等分點。方法同樣是對任意線段AB，用尺規作圖作其中點A1，再作BA1的中點B1（或任取B1）；然后依次作線段BnA中點An+1，再作BAn+1中點Bn+1……依次順序反復做下去，當[n]充分大后，Bn與Bn+1幾乎重合，此時可以認為，Bn+1與實際三等分點S重合，即Bn+1為AB的三等分點。同理可證其合理性。

參考文獻：

[1] 錢曾濤.你會不會三等分一角？[M].北京：中國青年出版社，1956.

[2] 封平華，李向豐.三等分角新探[J].河南教育學院學報（自然科學版），2010（1）：1-4.

[3] 孫興波.有關三等分角的綜述[J].中學教學參考（中旬），2010（6）：4-5.

A New Exploration on an Asymptotic Method about Trisecting an Angle with Ruler and Compasses

DING Tian-ping1，HUANG Han-wen2，YUAN De-zheng1

（School of Mathematics and physics，Jiangsu University of Technology，Changzhou 213001，China；Wuxi New Thought Automation Technology Development Co.，Ltd.Wuxi 214101，China）

Abstract：Though it has been proved that it is impossible to trisect an angle with ruler and compasses in finitely many times， people have never stopped the exploration on trisecting an angle. Recently.By approximation rate and error analysis， Using the idea of taking the limit， the method constructs an arbitrary angle's angular bisectors repeatedly， and finally gets the approximate trisector of an arbitrary angle. upto one thousandth.

Key words： construction with ruler and compasses； trisect an angle； the limit

責任編輯 祁秀春