神奇的念力棒

王浩輝

【摘要】念力棒是一款傳統的力學科學玩具，本文從念力棒的轉動原理出發，研究了其轉動特性，分析了它的力學過程，得到了轉動的基本方程，并從高頻驅動和無驅動的兩個情況下進行分析，得到了念力棒轉動角度隨時間的變化。與數值模擬相結合，研究了影響念力棒轉速的因素。

【關鍵詞】念力棒 微分方程 級數解

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）11-0179-02

引言

念力棒是一款可以將振動轉化為轉動的科學玩具，其基本結構十分簡單，由一支刻有凹槽的長條木棒和螺旋槳葉片組成，用一支棍棒用不同的速度摩擦凹槽部分即可使木棒以不同頻率振動，從而使得螺旋槳葉片發生轉動。1974年SCHNACKE利用圖畫的形式展示了該玩具的制作全過程，其專利最初于1989年由EUGENE B.CHAPMAN撰寫，專利中繪制了該玩具的基本結構并解釋了其基本原理。迄今為止，念力棒成為了力學教學的一個工具，雖然念力棒運動的力學原理已經明確，但是對于影響念力棒轉動的因素以及念力棒運動的精確解卻很少有人研究。念力棒的力學原理與呼啦圈的轉動原理有一定相似之處，呼啦圈的轉動主要是由轉軸的偏心引起的，其力學原理已經基本完善，并得到了轉動方程的精確解[1]。本文從基本原理出發進行推導，得出念力棒運動的解析解，自主設計實驗儀器，從實驗和數值模擬兩方面探究影響念力棒轉速的因素。

力學過程分析

主軸上刻有均勻分布的凹槽，轉子固定在其頂端，水平放置的棒用于摩擦主軸。

念力棒的基本示意圖如圖 1所示，用一根棒沿著轉軸凹槽摩擦，當摩擦至每個凹槽時，螺旋槳質量中心上會受到垂直交變驅動力。通過手指摩擦側面上的這些凹槽，也可以引入水平交變驅動力引起主軸的振動，從而帶動螺旋槳發生轉動，通過實驗觀察，螺旋槳在轉動過程中隨著摩擦速度的加快而增加其角速度，但其轉動角速度呈震蕩變化。

念力棒的模型圖如圖2所示，以轉軸轉動的軌跡中心O為原點建立如上圖所示的直角坐標系。因為其研究對象主要集中在轉軸上，因此，建立以轉軸中心O'為原點的非慣性參考系，以下的計算和分析也均在非慣性系中進行。設OO'距離為l，轉子質量為m，轉子繞質心轉動轉動慣量為I0。

由平行軸定理得轉子繞O'轉動的轉動慣量為

I=I0+ml2 （1）

轉軸由于外力驅動在小范圍內的運動可分解為水平和豎直兩個方向的簡諧振動，用參數方程表示有

x=Acos（ω0t+Φx）

y=Bcos（ω0t+Φy） （2）

A，B分別為兩個方向振動的振幅，而Φy-Φx是兩個方向振動的相位差。

轉子質心受到兩個方向的非慣性力為

Fx=-max=mωAcos（ω0t+Φx）

Fy=-may=mωBcos（ω0t+Φy） （3）

設OO' 與y軸的夾角為θ，則上述兩非慣性力對于O'的力矩為

Mx=Fxlcosθ=mωAcos（ω0t+Φx）cosθ

My=Fylsinθ=mωBcos（ω0t+Φy） sinθ （4）

以念力棒轉動的角速度方向為正方向，則在豎直平面轉動時的重力矩為MG=-mglsinθ，阻力矩為Mω=-αω，正比于角速度，則轉子在非慣性系中的的轉動方程可以寫為

Iβ=Mx+My+MG+Mω （5）

其中β===是轉子的角加速度。將（4）式代入得到念力棒轉動方程

I=mωAlcos（ω0t+Φx）cosθ+mωBlcos（ω0t+Φy）sinθ-mglsinθ-α （6）

運動方程解

1.念力棒轉動的一般解

假設轉軸做圓周運動或橢圓運動，則

Φy-Φx=n+π，（n=0，1）

n=0為順時針轉動，n=1為逆時針轉動，當凹槽方向向上時做順時針轉動，凹槽方向向右時做逆時針轉動。

設A≈B，即轉軸的轉動為近圓周運動，引入參量μ=，σ=，則（6）式可化為

I+α+mglsinθ+mω[σcos（ω0t-θ）+μcos（ω0t+θ）]=0（7）

2.念力棒轉動的解析解

2.1阻尼系數不可忽略的情況

由于該實驗中阻尼系數較大，所以可忽略重力矩

++[σcos（ω0t-θ）+μcos（ω0t+θ）]=0 （8）

引入新的時間因子τ=ω0t，設γ=，κ=，ζ=

設其解的形式為θ（τ）=θ？鄢（τ）+ο（σ），其中o為高階無窮小量，θ？鄢（τ）是關于σ的級數解，精確到一階，其解為

θ？鄢（τ）=τ+θ0+σθ1（τ） （9）

取零階項時，即σ=0時，γ+κcos（θ0）=0，同時考慮阻力會減慢其轉動的速度，得

θ0=-arccos-+2kπ （10）

取一階項時，即σ=1時，（8）式化為

1+γ1-κsin（θ0）θ1+cos（θ0+2τ）=0 （11）

解得θ1為周期性的解

θ1（τ）=Csin（2τ+θ0）+Dcos（2τ+θ0） （12）

其中，C=，D=

所以，其最終解得形式為

θ（τ）=τ-arccos-+Csin（2τ+θ0）+Dcos（2τ+θ0） （13）

2.2阻尼系數較小的情況

2.2.1無驅動條件下的近似解

當阻尼系數較小，且無外力驅動時，不可忽略重力矩，轉子做阻尼轉動，其轉動方程為

I=-mglsinθ-α （14）

當轉子由水平方向釋放時，其轉動角度隨時間的變化如圖3所示。

由（17）式可知，轉子轉動的角速度只與驅動頻率有關且角速度與驅動頻率成線性關系，其轉動方向可以通過摩擦主軸的方向控制。

通過數值模擬可得，當驅動頻率分別為50hz、60hz、80hz、100hz時，其轉動角度隨時間的變化如圖4所示。

結論

本文將念力棒的運動模型化，將偏微分方程做級數解并得到了念力棒在忽略重力的情況下的近似解，在無驅動和高頻驅動兩種極限情況下得到了轉子轉動的解析解，其中在無驅動條件下轉子將做阻尼轉動，而高頻驅動下，念力棒轉子的轉動角速度與驅動頻率成正比，其解的形式為 =（-1）n+1ω0。

參考文獻：

[1]郝桐生.理論力學，（第3版）[M].高等教育出版社， 2003.