基于Voronoi模型的鉭材料孔隙率與彈性模量辨識

，，

(1.廣東工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，廣東 廣州 510006；2.佛山諾威科技有限公司，廣東 佛山 528225)

0 引言

高孔隙率三維開孔微結(jié)構(gòu)多孔鉭憑借其低彈性模量、通孔結(jié)構(gòu)和良好的生物相容性等優(yōu)越特性，在骨生物醫(yī)療領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用前景[1]。而如何構(gòu)造與人體骨骼彈性模量相近的多孔鉭模型，是多孔鉭應(yīng)用于骨生物醫(yī)療領(lǐng)域的關(guān)鍵所在。若植入體彈性模量過大，會對骨組織產(chǎn)生應(yīng)力屏蔽效應(yīng)，影響骨組織的正常發(fā)育，因此需獲得不同孔隙率下鉭的彈性模量。近年來，許多學(xué)者和專家對多孔模型的力學(xué)性能做了大量的理論分析和數(shù)值計算模擬工作。Vander Burg等[2]建立以規(guī)則胞體結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的Voronoi隨機(jī)模型。由于Voronoi隨機(jī)模型可以較好的近似模擬實際微結(jié)構(gòu)的三維空間結(jié)構(gòu)，因此，大多數(shù)學(xué)者都是基于Voronoi隨機(jī)模型來研究多孔材料的力學(xué)性能[3-4]。探討了結(jié)構(gòu)不規(guī)則的Voronoi隨機(jī)模型對彈性性能的影響。盧子興等[5]還利用隨機(jī)模型計算了拉伸變形過程中的應(yīng)力—應(yīng)變曲線。Li等[6]對具有不規(guī)則胞孔和不同壁厚的蜂窩材料進(jìn)行了動態(tài)性能模擬研究。上述研究多數(shù)模擬空間閉胞單元，采用殼單元構(gòu)成有限元模型進(jìn)行數(shù)值分析。而實際多孔鉭微結(jié)構(gòu)為開孔結(jié)構(gòu)，由許多縱橫交錯的微桿件連接而成。

本文針對鉭微結(jié)構(gòu)特點，采用三維Voronoi隨機(jī)分布模型，構(gòu)造孔洞隨機(jī)分布且相互連通的微結(jié)構(gòu)模型，其結(jié)構(gòu)與多孔鉭微結(jié)構(gòu)近似。微結(jié)構(gòu)邊界桿并采用梁單元，能更加精確模擬受載后的微結(jié)構(gòu)的變形情況。為獲得相同微結(jié)構(gòu)下的不同孔隙率，在保持微結(jié)構(gòu)單元中心不變的情況下，改變梁單元截面尺寸，調(diào)節(jié)模型的孔隙率。對不同孔隙率下的有限元模型進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)載荷作用下的有限元模擬分析，辨識不同孔隙率下的多孔鉭與等效彈性模量之間的關(guān)系，并與實驗結(jié)果對比，驗證上述方法的精度。

1 模型的建立

1.1 多孔鉭微結(jié)構(gòu)構(gòu)造

多孔鉭微結(jié)構(gòu)為三維開孔形態(tài)(圖1)，空間結(jié)構(gòu)為許多縱橫桿件相互連接的形式，當(dāng)制造工藝穩(wěn)定時，各桿件直徑大致相同。根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點，本文采用空間三維隨機(jī)Voronoi方法。通過隨機(jī)種子點(即孔洞)的分布，確定微結(jié)構(gòu)形式[4]，原理圖如圖2所示。對比圖1和圖2兩組圖片可以看出兩者在三維空間結(jié)構(gòu)上均為通孔連桿結(jié)構(gòu)，且孔洞大小都是隨機(jī)分布，具有高度相似性。

圖1 多孔鉭微結(jié)構(gòu)CT圖片 圖2 Voronoi構(gòu)造模型

本文所采用工藝構(gòu)造的多孔鉭模型是用孔密度為40ppi海綿作為多孔鉭3D打印的基體，并通過燒結(jié)獲得最終模型，且燒結(jié)后模型會有30%的收縮。且根據(jù)實驗數(shù)據(jù)結(jié)果得出，當(dāng)模型邊長的孔洞結(jié)構(gòu)數(shù)量超過6個，整體模型的彈性模量趨于穩(wěn)定。

結(jié)合Voronoi幾何空間結(jié)構(gòu)的構(gòu)造原理和現(xiàn)有多孔鉭的制作工藝。通過數(shù)學(xué)換算的關(guān)系推導(dǎo)出，利用Voronoi模型在5 mm×5 mm×5 mm的空間內(nèi)隨機(jī)生成1423個種子，可以構(gòu)造出跟實際多孔鉭接近的三維空間模型。

1.2 模型孔隙率計算

孔隙率，是指塊狀材料中孔隙體積與材料在自然狀態(tài)下總體積的百分比，是微孔材料的重要表征參數(shù)。在本文的研究中，根據(jù)模型的實際結(jié)構(gòu)特點先計算模型的實體體積所占比率，從而確定模型的孔隙率。模型實體所占比例，可以根據(jù)單元邊的長度、及其直徑，計算獲得。根據(jù)模型的邊界長度、桿件總長以及梁單元截面半徑，可由式(1)計算出模型的孔隙率，式(2)可以根據(jù)給定孔隙率計算出對應(yīng)梁單元所需設(shè)置的半徑。

(1)

(2)

其中，S為模型孔隙率；l桿為桿件的總長度，mm；r為桿件橫截面的半徑，mm；a為模型的邊長，mm。

圖3和圖4顯示了在同一微結(jié)構(gòu)下改變模型內(nèi)部桿件的半徑大小獲得不同孔隙率模型的對比圖。

圖3 孔隙率為60%的模型 圖4 孔隙率為90%的模型

1.3 等效彈性模量辨識

在生物骨修復(fù)體領(lǐng)域，修復(fù)體彈性模量必須跟骨組織的彈性模量接近，如若兩者相差較大(一般情況是修復(fù)體彈性模量遠(yuǎn)大于骨組織彈性模量)，會產(chǎn)生應(yīng)力屏蔽效應(yīng)。使得骨組織受力減小，影響其正常生理環(huán)境，隨著時間的推移會引來骨組織病變，甚至脆斷等危險。所以辨識多孔模型的彈性模量顯得尤為重要。

圖5 彈性模量辨識原理圖

本文對應(yīng)多孔模型彈性模量辨識原理為：在圖5所示的模型上表面施加正應(yīng)力，測量模型上表面受力時向下的變形量。根據(jù)施加載荷、變形量以及模型結(jié)構(gòu)尺寸，由(3)式計算等效彈性模量。

(3)

式中，E為模型等效彈性模量，Pa；FN為施加給模型的載荷力，N；L為模型的邊長，m；Δl為模型的形變量，m；A為模型的等效橫截面積，m2。

2 基于有限元仿真辨識

2.1 基體材料的設(shè)置

本文多孔鉭模型的微孔結(jié)構(gòu)為40ppi，但是在微結(jié)構(gòu)連桿上，仍然存在尺度更小的微孔(孔徑約為30 μm)。這些微孔使得鉭徑的彈性模量變小，根據(jù)鉭CT掃描灰度信息，可測得其彈性模量約為70 GPa。故本文將此多孔模型基體材料的彈性模量設(shè)為70 GPa，泊松比0.3。

2.2 邊界條件和載荷施加

圖6 邊界條件設(shè)置

在模型上表面中心位置取參考點，參考點與模型上表面設(shè)置接觸為耦合，限定模型底面節(jié)點的自由度。最后在模型參考點處施加載荷大小為3 N，方向垂直向下的力，如圖6所示。

2.3 仿真驗證與結(jié)果分析

2.3.1 ABAQUS有限元仿真結(jié)果數(shù)據(jù)

根據(jù)前面有限元仿真分析，記錄相同載荷不同孔隙率下模型的各項仿真結(jié)果數(shù)據(jù)。

圖7 模型孔隙率跟模型變形之間的關(guān)系圖

1)孔隙率與變形關(guān)系

隨著孔隙率增高，梁單元直徑尺寸變小，受力更易彎曲，體現(xiàn)在模型上就是同等載荷下模型的形變量會增加，且高孔隙率下模型的型變量會急劇增加，如圖7所示。

圖8 模型孔隙率跟彈性模型之間的關(guān)系圖

2)孔隙率與等效彈性模量關(guān)系

隨著孔隙率增高，梁單元直徑變小，受力更易變形。會使得模型的等效彈性模量減小，如圖8。

2.3.2 孔隙率與彈性模量關(guān)系辨識

不同微結(jié)構(gòu)的多孔模型，彈性模量與孔隙率具有不同的辨識公式。如具有隨機(jī)結(jié)構(gòu)的各種同向性閉孔泡沫材料，Christensen[7]已經(jīng)給出了彈性模量預(yù)測公式。對14面體閉孔模型，Simone和Gibson[8]給出彈性模量擬合公式。Roberts和Garboczi[9]采用數(shù)字圖像技術(shù)建立實體模型，計算擬合的彈性模量公式。

本文根據(jù)實體模型的結(jié)構(gòu)特點，選取Roberts和Garboczi[9]以及盧子星[10]對彈性模量的擬合公式，公式形式：

(4)

通過仿真數(shù)據(jù)回歸分析，計算得出：c=0.153，b=1.355代入公式得出模型孔隙率跟彈性模量關(guān)系為：

(5)

式中，s為模型孔隙率。

根據(jù)仿真結(jié)果以及公式的辨識結(jié)果，再對比試驗數(shù)據(jù)(表1)。給出三者隨孔隙率變化的關(guān)系圖，如圖9。可看出，模型在中等孔隙率為55%～65%的時候三者數(shù)值基本吻合。

表1 孔隙率與彈性模量實驗數(shù)據(jù)

圖9 各數(shù)據(jù)對比結(jié)果

2.3.3 誤差分析

圖10 辨識公式與實驗結(jié)果的絕對誤差

通過2.3.2得出的模型孔隙率跟彈性模量之間的辨識關(guān)系式。給定不同孔隙率，利用公式算出模型對應(yīng)的等效彈性模量。對比實驗結(jié)果跟公式辨識結(jié)果之間的絕對誤差如圖10。可以看出，在給定孔隙率為55%～65%實驗結(jié)果下，辨識公式與實驗結(jié)果的絕對誤差不超過0.23 GPa，跟實驗的結(jié)果基本一致，從而驗證了實驗結(jié)果的合理性。

3 討論

本文主要探討同一微結(jié)構(gòu)下模型孔隙率跟等效彈性模量之間的關(guān)系。通過有限元力學(xué)分析，辨識不同孔隙率下多孔模型的等效彈性模量。通過對實驗結(jié)果數(shù)據(jù)的分析，驗證所辨識多孔模型等效彈性模量與孔隙率關(guān)系，與實驗結(jié)果一致。

通過分析比較實驗數(shù)據(jù)跟實際數(shù)據(jù)，此次研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)模型在中等孔隙率的時候的辨識公式比較接近實際結(jié)果，可為多孔質(zhì)模型的實體構(gòu)造提供一定的科學(xué)依據(jù)。

[1] 陳長軍，張超，王曉南，等.生物醫(yī)用多孔鉭制備工藝研究進(jìn)展[J].熱加工工藝，2014(4)：5-8.

[2] BURG MWDVD，SHULMEISTER V，GEISSEN EVD，et al On the linear elastic properties of regular and random open-cell foams models[J].Journal of Cellular Plastics，1997，33(1)：31-54.

[3] ZHU H X，HOBDELL J R，WINDLE A H.Effects of cell irregularity on the elastic properties of open-cell foams[J].Acta Mater，2000，48(20)：4893-4900.

[4] 袁應(yīng)龍，盧子興.利用隨機(jī)模型計算低密度開孔泡沫材料的彈性模量[J].航空學(xué)報，2004，25(2)：130-132.

[5] 盧子興，張家雷.開孔彈性泡沫材料拉伸變形過程的數(shù)值模擬[J].機(jī)械強(qiáng)度，2009，31(3)：432-436.

[6] LI K，GAO X L，SUBHASH G.Effects of shape and cell vall thickness variations on the elastic properties of two-dimensional cellular solids[J].International Journal of Solids and Structures，2005，42：1777-1795.

[7] CHRISTENSEN R M.Mechanics of low density materials[J].Journal of the Mechanics & Physics of Solids，1986，34(6)：563-578.

[8] SIMONE A E，Gibson L J.Effects of solid distribution on the stiffness and strength of metallic foams[J].Acta Mater，1998，46(6)：2139-2150.

[9] ROBERTS A P，GARBOCZI E J.Elastic moduli of model random three=dimensional closed-cell cellular solid[J].Acta Mater，2001，49，189-197.

[10] 王崇，盧子興.閉孔Voronoi泡沫的彈性性能分析[J].航空學(xué)報，2007，28(3)：573-578.