工業機器人運動學與軌跡規劃仿真

唐新星，王 平，范大川

(長春工業大學 機電工程學院，吉林 長春 130012)

0 前言

“中國制造2025”提出后，制造業普遍需要技術和設備升級改造，以增強競爭力，提高經濟效益，工業機器人作為先進制造業中的重要裝備和手段，具有極大的發展空間[1-3]。在三維空間內對工業機器人進行軌跡和速度規劃，可進一步提高生產率、提高產品質量、降低勞動強度、改善勞動條件，在實際工作中具有重要的現實意義。

工業機器人軌跡規劃以保證其運動軌跡精度和穩定性為前提，各關節位移、速度、加速度曲線光滑連續無突變，減少機械本體的磨損和振動沖擊，提高作業效率[4]。文獻[5]以M-10iA工業機器人為研究對象，選用D-H法則建立機器人數學模型，運動ADAMS軟件進行仿真，研究連桿末端點相對于坐標原點的位置變化；文獻[6]以六自由度機器人為例，運用MATLAB對機器人關節運動狀態仿真分析；文獻[7]將三次均勻B樣條應用于工業機器人軌跡規劃，但該軌跡方法不易得到平滑的加速度曲線，且不合適于空間任意分布的示教點；文獻[8] 運用七次樣條曲線進行軌跡規劃，得到了光滑的速度和加速度曲線，但高次插值易發生“龍格”現象。

針對以上問題，本文根據自行研發的六自由度關節型工業機器人，利用SolidWorks建立工業機器人模型，采用五次插值多項式算法，在ADAMS仿真軟件中建立該機器人的虛擬樣機，進行運動學與軌跡規劃仿真研究。

1 機器人手臂結構設計

運用SolidWorks軟件對六自由度關節型工業機器人進行1∶1的三維建模，將各零部件模型進行裝配后構建虛擬樣機[9]。所設計的六自由度關節型工業機器人如圖1所示。該機器人由基座、腰部、大臂、小臂、腕部和手部組成，共有6個關節。各關節均為轉動關節，其中關節1～5裝有交流伺服電機，關節6裝有步進電機，在機器人控制系統的作用下，驅動各個關節按照預定的空間軌跡運動，從而實現末端執行器的作業要求。

圖1 機器人實物圖

2 機器人數學模型的建立

為了研究機器人的運動學問題，首先要對機器人建立數學模型。

2.1 空間坐標系的建立

機器人共有6個關節，根據機器人各關節位置與結構關系可將工業機器人空間坐標系分為基礎坐標系、關節坐標系、用戶坐標系和工具坐標系。按照D-H連桿坐標系建模方法，分別建立關節1～6坐標系，建立針對本機器人的坐標系如圖2所示。

圖2 機器人連桿坐標系

由D-H連桿坐標系可得到相應連桿參數如表1所示，其中，a1=100 mm，a2=222 mm，d4=253 mm，機器人末端坐標系到工具坐標系的距離dT=68 mm。

表1 工業機器人連桿參數

2.2 機器人運動學方程的正解

正向運動學主要解決機器人運動方程建立及手部位姿的求解，即已知各個關節的變量，求解手部的位姿[10]。根據所建立的D-H連桿坐標系，i-1系與i系間變換關系可用坐標系的平移、旋轉來實現，其變換矩陣如式(1)所示。

Ai=Rot(z,θi)Trans(0,0,di)Trans(ai,0,0)Rot(x,αi)=

(1)

末端執行器在連桿坐標系中的位姿可通過式(2)所示矩陣T表示。

(2)

式中，nx=-c6[c1s5s23-c5(c1c4c23+s1s4)]-

s6(c1s4c23+s1c4)

ny=-c6[s1s5s23-c5(s1c4c23-c1s4)]-

s6(s1s4c23+c1c4)

nz=s4s6s23-c6(s5c23+c4c5s23)

ox=s6[c1s5s23-c5(s1s4+c1c4c23)]-

c6(c1s4c23-s1c4)

oy=s6[s1s5s23-c5(s1c4c23-c1s4)]-

c6(s1s4c23+c1c4)

oz=s23s4c6+s6(c4c5s23+c23s5)

ax=-c1c5s23-s5(c1c4c23+s1s4)

ay=-s1c5s23-s5(s1c4c23-c1s4)

az=c5c23+c4s5s23

px=c1(a1+a2c2-d4s23)-

dT[c1c5s23+s5(c1c4c23+s1s4)]

py=s1(a1+a2c2-d4s23)-

dT[s1c5s23+s5(s1c4c23-c1s4)]

pz=-a2s2-d4c23+d6(-c5c23+c4s5s23)

s1=sinθ1；s23=sin(θ2+θ3)；c1=cosθ1；c23=cos(θ2+θ3)，以此類推。

2.3 機器人運動學方程的反解

工業機器人在空間的軌跡是按照機器人的作業任務來規劃的，軌跡上的各點分別對應他們各自關節變量，由計算得到的關節變量q=[θ1,θ2,θ3,θ4,θ5]T去控制工業機器人的各個關節運動，實現對規劃軌跡的跟蹤。工業機器人末端執行器坐標系原點相對于基座坐標系原點的位置關系式：

(3)

式(3)可進一步化簡為，則有

(4)

對式(4)按照一階泰勒級數展開，則有

(5)

選擇合適的步長不斷進行迭代，由式(5)則可以求得

(6)

在工業機器人的實際運用中，為了使得到的關節角更加合理，根據各關節之間的關系，可以應用約束：θ1∈[-165°～180°]，θ2∈[-132°～71°]，θ3∈[-123°～123°]，θ4∈[-170°～170°]，θ5∈[-120°～120°]。

3 軌跡規劃與仿真

機器人軌跡規劃是根據作業任務的要求，計算出預期的運動軌跡。為了滿足對機器人運動軌跡的更高要求，本文設定機器人的初始位置和目標位置，根據五次多項式插值算法求解各個方程的軌跡方程[11]。

3.1 五次多項式插值算法

五次多項式樣條中，兩節點之間的曲線段由五次多項式擬合生成，整個曲線由一段五次多項式組成。五次多項式函數中共有6個未知系數，對其求一階、求二階導，可求出機器人末端的速度、加速度關于時間t的函數式為

θ(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5

(7)

(8)

(9)

其中與起始和終止時間點t0、tf相對應的角位移θ0和θf為已知，且滿足條件：

(10)

在每段多項式起始點和終止點處滿足二階連續，設置始末點的速度、加速度且滿足條件：

(11)

每個點的角位移值為已知量，設定其角速度、角加速度為任意值，兩點處共可得6個已知條件，將其代入式(7)、(8)、(9)聯立方程組可分別解出6個未知系數a0～a5。

3.2 軌跡規劃

關節1軌跡方程為

θ1(t)=1.932-1.667t3+1.250t4-0.250t5

(12)

關節2軌跡方程為

θ2(t)=0.289+1.252t3-0.939t4+0.188t5

(13)

關節3軌跡方程為

θ3(t)=-1.109+2.094t3-1.571t4+0.314t5

(14)

關節4軌跡方程為

θ4(t)=0.922+1.690t3-1.268t4+0.254t5

(15)

關節5軌跡方程為

θ5(t)=0.444+0.679t3-0.509t4+0.102t5

(16)

關節6軌跡方程為

θ6(t)=0.197+2.411t3-1.808t4+0.362t5

(17)

3.3 仿真分析

將建好的SolidWorks模型導入ADAMS中，根據機器人構件的相對運動關系在ADAMS中添加相應的約束和運動副，如圖3所示[12]。檢查機器人的自由度后，根據機器人的運動軌跡要求，設定各個關節的軌跡程。

圖3 機器人虛擬樣機模型

將上述關節軌跡方程分別輸入到對應的Motion驅動中，設置終止時間是2 s，設置輸出步數是200步，設置仿真類型為運動學仿真。

利用ADAMS仿真得到0～2 s內各關節及末端執行器的運動狀態，如圖4～ 10所示。按照軌跡規劃要求，由圖4可以看出關節1轉動了76.41°，關節2轉動了-57.38°，關節3轉動了-96°，關節4轉動了-77.47°，關節5轉動了-31.12°，關節6轉動了-110.52°。由圖5、圖6可以看出機器人在起始時間各關節角速度、角加速度均為0，其中關節1的最大角速度為71.63 rad/s，關節2的最大角速度為-33.63 rad/s，關節3的最大角速度為-25.44 rad/s，關節4的最大角速度為-57.46 rad/s，關節5的最大角速度為27.46 rad/s，關節6的最大角速度為-65.43 rad/s，在終止時間機器人各關節角速度、角加速度均為0。末端執行器的位移、速度和加速度變化直接影響著工業機器人的平穩性。圖7～圖9給出了機器人末端執行器的重心對機器人基坐標系分別在x、y、z方向的位移、速度和加速度變化曲線，圖10給出了工業機器人末端執行器的重心的軌跡曲線。從圖7～10中可以看出，機器人運動速度和加速度比較平穩，均無突變，從而保證了機器人工作時的平穩連續性。

圖4 關節角度變化曲線

圖5 關節角速度變化曲線

圖6 關節角加速度變化曲線

圖7 末端執行器位移變化曲線

圖8 末端執行器速度變化曲線

圖9 末端加速度變化曲線

圖10 機器人末端運動軌跡

4 結束語

通過Solidworks三維建模軟件構造工業機器人的虛擬樣機，將三維模型導入ADAMS多體動力學軟件中，根據設定機器人的初始位置和目標位置，經運動學反解獲得各個關節的運動參數，利用五次多項式插值對工業機器人運動軌跡進行規劃仿真，得到工業機器人各個關節角度、角速度和角加速度的變化曲線，末端執行器的運動軌跡、位置、速度和加速度變化曲線。仿真結果表明，機器人運動速度和加速度比較平穩，加速度無突變，能夠保證工業機器人平穩連續運行，為進一步工業機器人實時控制提供了重要參考。

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