基于可能性均值-方差距離的模糊線性回歸模型參數估計

龔艷冰，楊舒馨，戴靚靚

（河海大學 企業管理學院，江蘇 常州 213022）

0 引言

針對現實世界語言值的模糊性，1982年名古屋大學的Tanaka等首次提出了模糊線性回歸模型，主要考慮自變量為非模糊數、回歸系數為對稱三角模糊數的回歸模型，并將參數估計問題轉化為線性規劃問題[1]。Diamond等在三角模糊空間上定義一個適當的距離，利用最小二乘原理得到另一種模糊回歸分析模型的參數估計方法[2]。Chang等對現有模糊回歸模型進行了分析比較，并總結了模糊回歸分析常用的二種方法，即線性規劃方法、模糊最小二乘方法[3]。模糊回歸模型是模糊集理論與傳統回歸方法的結合，在實際應用中收到了較好的效果，之后國內外許多學者對模糊線性回歸模型的參數估計方法進行了大量研究[4-8]。

本文試圖利用模糊數的統計特征（可能性均值、方差），從影響模糊數的主要特征出發，利用最小二乘原理，從可能性均值-方差距離最小的角度估計模糊回歸模型的參數。本文方法考慮決策中的主觀模糊性，在某種程度上提升了模糊回歸模型的靈活性和合理性。

1 基本概念及定義

定義1：假定模糊數A的隸屬函數為：

則稱A=(a，α，β)為三角模糊數，其中α，β稱為三角模糊數的左右擴展。根據Zadeh的擴展原理，可得三角模糊數 A=(a，α1，β1)和 B=(b，α2，β2)的算術運算法則為[5]:

定義2：設模糊數A的 γ截集為 A(γ)=[al(γ)，au(γ)]，則模糊數A的可能性均值和方差分別為[9]：

2 模糊線性回歸模型參數估計

對于模糊線性回歸模型的討論，大致可以分為以下三種情形：①輸入自變量為實數值，輸出因變量和待估計參數為模糊數的線性回歸模型，②輸入自變量和輸出因變量為模糊數，待估計參數為實數的線性回歸模型，③輸入自變量、輸出因變量、待估參數均為模糊數的線性回歸模型，本文主要考慮第一種情況，即：

其中，xji表示實數解釋變量，yi表示模糊響應變量，bj為待估計模糊回歸系數，一般假定大于0。特別的，以三角模糊數為例，令三角模糊數 bj=(kj，αj，βj)(j=1，2，…，p)，則上述模糊線性回歸模型（6）可改寫成：

利用三角模糊數的運算法則式（2），對上述三角模糊數回歸模型（7）進行線性表示：

其中 x0i=1，要確定模糊回歸系數2，…，p)，通常方法是定義模糊數之間的距離，使得模糊回歸問題轉化為最小化模糊距離的問題，從而使得給定的模糊距離下響應變量觀測值與響應變量估計值之間的誤差最小，即：

上述模型（9）的最小值很難直接求出，本文在文獻[18]中采用最小一乘回歸方法估計模糊回歸系數，但是最小一乘回歸的計算相對復雜得多，相對而言，最小二乘回歸的計算更為簡單,效果也在整體上更好。為了估計模型（7）的參數，首先給出可能性均值-方差歐氏距離的概念，即模糊數A和B的距離可以定義為：

顯然，三角模糊數A和B的可能性均值-方差歐氏距離滿足距離測度的非負性、對稱性和三角不等式性質，即：

為了估計模型（7）的自變量回歸系數，可將模糊因變量估計值與觀測值間的均值-方差最小二乘距離誤差平方和作為模型（9）的近似估計，即：

對于三角模糊數將式（5）代入式（11），可得誤差平方和為：

根據最小二乘原理，對于 j=0，1，…，p上述誤差平方和最小，只需令：

記：

則等式（13）至等式（15）可以寫成下列矩陣形式：

通過求解上述線性方程組（16）可得到模糊線性回歸模型（7）的回歸系數的估計值，這比文獻[18]求解線性規劃模型要簡單，稱這種最小二乘參數估計方法為可能性均值-方差距離最小二乘方法（Possibilistic Mean-Variance Distance Least Squares Method），簡稱PMVD-LSM。為了比較PMVD-LSM的估計效果，將擬合值與實際值之間的可能性均值-方差誤差平方和作為誤差估計的檢驗依據，當回歸方程擬合出來的模糊回歸模型具有較小的e值，則說明該模型應該是不錯的模型。

3 實例

為了說明本文方法的可行性，參考Coppi等給出的一氧化碳（CO）濃度的例子進行實證研究[10]，Coppi等收集了羅馬地區1992年10月份連續21天大氣中一氧化碳濃度每小時檢測一次的數據。研究表明，一氧化碳濃度與一些氣候變量相關，一氧化碳濃度（因變量y）的六個主要影響因素（自變量）包括：溫度(x1)、相對濕度(x2)、大氣壓強(x3)、降雨量(x4)、輻射強度(x5)、風速(x6)。這些氣候變量每天檢測一次，如果以天為觀察單位，在計算一氧化碳濃度數據時，如果僅僅通過平均值來描述每一天的觀測值，則會損失很對信息。針對這種情況，一個可行的方法就是將每天的一氧化碳濃度看出一個三角模糊數yi=(ymi，yli，yui)，其中 ymi表示第i天的CO濃度數據的均值，yli表示最小值，yui表示最大值，即三角模糊數的左右擴展，如表1所示。

表1 自變量和因變量觀測值

采用Matlab統計軟件，將上述樣本數據代入線性方程組（16）可以計算出模糊回歸參數的三角模糊數估計為：

根據式（8）計算上述回歸模型的預測值yc，并按照可能性均值-方差距離公式（10）計算預測值 yci=(ycmi，ycli，ycui)與 實 際 值 yi=(ymi，yli，yui)之 間 的 誤 差 平 方 和，將其作為誤差估計的檢驗依據。

同時，為了說明本文方法的有效性，將本文方法與文獻[11]的結構元方法和文獻[14]的最小一乘方法進行比較，結果如表2所示。比較結果表明，本文的基于可能性均值-方差距離最小二乘估計方法與可能性均值-方差距離最小一乘估計方法誤差基本一致，但是本文方法只需要計算簡單的線性方程組，而文獻[14]則需要計算線性規劃模型，與文獻[11]的基于結構元距離最小二乘方法比較，本文的可能性均值-方差距離估計參數效果更好。

4 結論

最小二乘估計方法是模糊線性回歸模型中常用的參數估計方法,考慮到三角模糊數的普遍性，針對數據輸入參數、輸出為三角模糊數的模糊線性回歸模型，引入模糊數的可能性均值和方差的概念，在此基礎上，定義可能性均值-方差歐氏距離，提出了模糊線性回歸模型的最小二乘參數估計方法，并對模型進行了誤差分析。通過實例計算和其他模型的比較結果表明，本文的方法具有良好地擬合效果，且計算簡單。

表2 擬合效果與距離誤差測度表

參考文獻：

[1]Tanaka H,Uejima S,Asai K.Linear Regression Analysis With Fuzzy Model[J].IEEE Transactions on Systems Man,and Cybernetics,1982，（12）.

[2]Diamond P.Fuzzy Least Squares[J].Information Science,1988,（46）.

[3]Chen L H,Hsueh C C.Fuzzy Regression Models Using the Least-squares Method Based on the Concept of Distance[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2009,（17）.

[4]Wan S P,Dong J Y.Possibility Linear Programming With Trapezoidal Fuzzy Numbers[J].Applied Mathematical Modelling,2014,（38）.

[5]柏林，房勇.基于模糊回歸分析的投資組合選擇模型[J].系統工程理論與實踐,2015,35（7）.

[6]彭宇文,郭莉莎,毛超.基于改進模擬退火算法的模糊回歸參數估計[J].統計與決策,2014，（1）.

[7]汪華東，郭嗣琮，岳立柱.基于結構元理論的模糊多元線性回歸模型[J].系統工程理論與實踐,2014，34（10）.

[8]岳立柱.系數為一般模糊數的多元線性回歸模型[J].統計與決策,2015，（3）.

[9]C.Carlsson,R.Fullér.On Possibilistic Mean Value And Variance of Fuzzy Numbers[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,（122）.

[10]龔艷冰,戴靚靚,胡娜.基于可能性均值-方差距離的模糊最小一乘回歸模型[J].統計與決策,2017，（22）.