具無窮時滯的分數階泛函微分方程可積解的存在性

勾明志，張 海

作為經典微積分的一種推廣，分數階微積分即是函數的任意階導數與積分。由于分數階導數算子具有記憶和遺傳的特殊性質，利用分數微積分比整數階微積分更能精準地描述動態系統的過程，目前與分數階有關的常微分方程的研究已成為國內外學者關注的熱點問題[1-5]。時滯是普遍存在的現象，時滯問題往往會影響系統的穩定程度和性能。近年來，關于時滯的分數階微分方程的研究也取得了進展[6-7]。文獻[6]利用不動點定理的方法推導出非線性分數階泛函微分方程解的存在性條件，對整數階常微分方程和泛函微分方程的初值問題進行了相應推廣。在文獻[7]中，Benchohra等討論了下列隱式分數階泛函微分方程可積解的存在性，

其中 0＜α＜1,f:J×B×B→R ，CDαy(t)表示 y的Caputo型α階導數，B為拓撲空間，

受文獻[6-7]的啟發，本文主要討論一類更廣泛的具有無窮時滯的隱式分數階泛函微分方程可積解的存在性問題：

其中0＜β≤α＜1，f:J×B×B→R，CDαy(t)表示y的Caputo型α階導數，B為拓撲空間，yt(θ)=y(t+θ),θ∈(-∞,0]。方程(2)中同時具有兩個不同的分數導數，運用分析技巧，分別利用Banach不動點定理和Schauder不動點定理獲得可積解的存在性條件，推廣了文獻[7]中的相應結果。

下面介紹分數微積分的概念和引理。

定義在區間J上的所有連續函數的Banach空間記為C(J,R)且范數定義為

令L1(J,R)記作區間在J上的Lebesgue可積函數且范數定義為‖u=∫T| u(t)|dt。0

定義1[3]設 f∈L1( )[ ]a,b,R+，對?α∈R+稱

為 f(t)的 α 階分數積分，其中 Γ(·)為Gamma函數Γ(z)=∫0+∞e-ttz-1dt,z＞ 0 。

定義2[3]設 f∈L1([ a ,b],R+)，對?α∈(0 ,1]稱

為 f(t)的α階Caputo型分數導數。

性質1[3]令α,β＞0，t≥0，有如下性質成立：

(1) 令Iα:L1(J , R+)→L1(J , R+)，如果 f∈L1(J ,R+)有

(2)如果 f∈Lp( )J,R+,1≤p≤+∞，有

(3)分數階積分算子具有線性性質

引理1[8]（Banach不動點定理）設(x,ρ)是一個完備的距離空間，T是(x,ρ)到其自身的一個壓縮映射，則T在x上存在唯一的不動點。

引理2[7]（Schauder不動點定理）設E是一個Banach空間，Q是E的一個凸子集，T:Q→Q是列緊且連續，則T在Q上至少有一個不動點。

引理3[9]如果，0＜α＜1，則

引理4[7](Kolmogorov列緊準則）令Ω?Lp(J,R),1≤p≤+∞，如果

(1)Ω在Lp(J,R)上有界；

(2)當h→0時，uh一致收斂于u，u∈Ω，其中，則 Ω 在 Lp上是相對列緊的。

引理5[10]設0＜α＜1,y(t)∈C([ 0 , T])且f(t , y(t))∈C([ 0 , T]×C[0 ,T ] )，則y是分數積分方程

的解，當且僅當y為分數微分方程初值問題

的解。

現在來定義方程(2)的積分等價方程。令空間

引理6滿足初值問題(2)的等價分數階積分方程為

和初始條件

證明 顯然，根據引理5，可得滿足初值問題(2)的等價積分方程為

和初始條件

令CDαyt=xt，可得

接下來計算

運用性質1可得

運用引理3可得

把(7)式和(9)式代入(6a)可得到(5a)。

在文中作(A)和(B)兩項假設。

(A1)如果y:(- ∞,T ]→R且 y0∈B，則對?t∈J滿足下列條件：

(1)yt在B中，

(3) ||y()t≤H‖‖ytB，

其中H≥0的常數，K:J→[0 ,+∞ )為連續函數，M:[0 ,+∞ )→[0 ,+∞ )為局部有界函數，H，K，M，不依賴于y(·)。

(A2)對于函數y(·)在(A1)上，yt是一個在J上Banach空間內的連續函數。

(A3)空間B是完備空間。

(B)假設：f:J×B2→R，t∈J，且滿足下列基本性質：

(B1)f:J×B2→R ，t∈J可測，在 t∈J中對任意的(u1,u2)∈B2且對所有的(u1,u2)∈B2連續。

(B2)存在常數k1＞0，k2＞0使得不等式

成立，其中 t∈J ，對 ?x,xˉ,y,yˉ∈B 。還需令 Kb=sup{| k (t)|:t∈J} 。

(B3)存在一個非負函數a(t)∈L1(J)和常數q1＞0，q2＞0，使得下列不等式成立

下面介紹本文的主要結果與證明過程。

分別運用Banach和Schauder兩種不動點推導方程(2)解的存在性條件。首先利用Banach不動點討論解的存在性。

定理 1 滿足假設(A1)～(A3)，(B1)，(B2)，若＜1，則初值問題(2)在區間( ]-∞,T上存在唯一解。

證明 方程(2)可轉化成不動點問題。定義算子N:Ω→Ω如下

用Banach不動點定理來證明算子N有唯一不動點，令x(·):(- ∞,T ]→R定義為如下函數

則x0=φ ；對于z∈L1(J ,R)，且z(0)=0 ，定義 zˉ為

如果y()·滿足分數積分方程

和初始條件y(t)=φ(t )，t∈(- ∞,0] ，則 y(t)=x(t)+zˉ(t)，t∈[0 , T]，可知對于每個t∈[0 , T ]，有 yt=xt+zˉt，則z(·)滿足方程

令L0={z ∈L1(J ,R):z0=0} 和 ‖· ‖b是在L0上的半范數，定義為

L0為Banach空間其范數為‖·‖b，定義算子Q:L0→L0為

算子N有不動點就轉化成了算子Q有不動點，即要證的是Q:L0→L0是壓縮映射。

考察 z,z?∈L0，對?t∈，

其次用Schauder不動點來獲得解的存在性結果。

定理 2 滿足假設(A1)～(A3)，(B1)，(B3)，若，則滿足初值問題(2)的方程至少有一個解，其中y∈L1( )J,R。

證明 令P:L0→L0為定義在(5)中的映射

其中Mb=sup{| M (t)|:t∈J} 。

令Br={z∈L0,‖‖zb≤r}，顯然Br是非空、有界、凸閉集合。只需驗證算子P滿足Schauder不動點定理的條件，此證明過程分為3步。

（i）P是連續映射。

令zn為L0上的zn→z的函數列，則

因為 f為連續函數，則當n→+∞時

（ii）P是Br到其自身的映射。

令z∈Br。 f是一個連續函數，對于?t∈[ ]0,T，有

可得 ‖(P z) ‖L1≤r，即 PBr?Br。

（iii）P是列緊的。

PBr是相對列緊的，顯然PBr在L0上是有界的，即滿足Kolmogorov列緊準則中的條件(1)。下面證明有關Kolmogorov列緊準則中條件(2)。

在 L0中對?z∈Br，有

當 z∈Br?L0和假設(B3)成立，即 f∈L0，通過性質1可得 Iαf∈L1(J,R)，有當h→0，t∈J時，

故(P z)h一致收斂于(P z)。

根據Kolmogorov列緊準則，PBr是相對列緊。由Schauder不動點定理，可知此映射至少有一個不動點，因而滿足

的方程(2)在Br中至少有一個解。

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