解析法解決幾何問題的研究

王淳

摘 要：在數(shù)學(xué)中，幾何問題是多種多樣的。解決幾何問題有很多種方法，其中解析法是借助坐標(biāo)系，再運(yùn)用代數(shù)知識來解決幾何圖形的一種方法。運(yùn)用解析法就可以將幾何問題代數(shù)化，圖形性質(zhì)坐標(biāo)化，使問題由難變簡。本文在概述了解析法涵義的基礎(chǔ)上，通過具體的實(shí)例分析了解析法如何進(jìn)行幾何問題的解答，以期深化解析法在幾何中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：解析法 ；幾何問題

一、解析法

解析法指的是將幾何問題通過坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算的一種方法。具體來說，解析法就是在平面上建立坐標(biāo)系，把已知點(diǎn)軌跡的幾何條件轉(zhuǎn)化成相對應(yīng)的代數(shù)方程，之后運(yùn)用代數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行幾何問題的解答，最后再將代數(shù)方程的性質(zhì)用幾何語言來表達(dá)求出最終的答案。

二、解析法與幾何問題

在數(shù)學(xué)中，我們會遇到形式各樣的幾何問題，而解析法把幾何問題變成了相對應(yīng)的代數(shù)問題，再把代數(shù)問題歸結(jié)到方程式的解答，將問題由難變簡。因此，解析法在解決幾何問題上發(fā)揮著不可忽視的作用。接下來，我們通過具體的實(shí)例，主要從平面幾何、解析幾何和立體幾何這三個方面分析解析法與幾何之間的聯(lián)系。

（一）解析法與平面幾何

平面幾何中的很多問題都要從平面幾何中的定理、公理出發(fā)，再運(yùn)用推理證明其真實(shí)性。甚至有的解題過程是多種定理、公理的結(jié)合，相對較難。而運(yùn)用解析法，根據(jù)題設(shè)條件建立適合的坐標(biāo)系就可以使論證變得簡單。

1.證明線段相等

例1：已知AB是半圓上的直徑，CA、CD是切線，A、D是切點(diǎn)，而且DE AB，CB交DE于H點(diǎn)，求證DH=HE。

根據(jù)題設(shè)條件，以AB為x軸，以圓心為y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)A（-a，0），B（a，0），D（m，n），那么CD的直線方程是mx+ny=a2，CA的直線方程是x=-a，兩個方程結(jié)合得到x=-a，y= ，那么C（-a， ）。又因?yàn)镃B： = ，DE：x=m，求得x=m，y= n，所以H（m， n），即DH=HE。

2.證明線段垂直

例2：已知在△ABC中，AB=AC，高AD、BE交于H，作EF BC，F(xiàn)是垂足，延長AD至G，使DG=EF，令A(yù)H的中點(diǎn)是S，求證BS BG。

以BC為x軸，以AD為y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)A（0，m），B（-n，0），c（n，0），那么AC的斜率KAC= =- ，BE的斜率KBE= ，AC的方程就是y=- （x-n），BE的方程就是y= （x+n），這兩個方程相結(jié)合得到x= ，y= ，所以E（ ， ）。又因DG=EF，那么G（0，- ）。由BE的方程y= （x+n），當(dāng)x=0時，y= ，所以H（0， ）。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出S的坐標(biāo)是（0， ）。又因?yàn)镵SB= = ，KBG= =- ，所以KSB？KBG=-1，即BS BG。

（二）解析法與解析幾何

解析幾何是建立在平面幾何和坐標(biāo)系基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)系中的點(diǎn)、線的坐標(biāo)化來簡化問題的一門幾何分支，又稱作坐標(biāo)幾何。因此，運(yùn)用解析法解決解析幾何是最簡單的方法。其中，根據(jù)形成曲線的基本條件，在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下求出曲線的方程，是解析幾何的基本問題。基本步驟是：首先是根據(jù)題設(shè)條件分析動點(diǎn)滿足的幾何性質(zhì)；其次是根據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)或者是各種曲線的性質(zhì)，寫出軌跡方程；最后是利用軌跡方程說明圖形的具體形狀和所在的位置。

例3：已知△ABC的兩個頂點(diǎn)A、B分別是橢圓2x2+3y2=12的左、右焦點(diǎn)，而且sin = cos ，求頂點(diǎn)C的軌跡方程。

根據(jù)橢圓2x2+3y2=12的左、右焦點(diǎn)分別是A、B得出A（- ，0），B（ ，0），那么 =2 。又有sin = cos ，得到sin = sin ，即2（sinA-sinB）=sin（A+B）=sinC。由正弦定理得到2（ - ）= =2 。再由雙曲線的定義，我們知道△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡是以原點(diǎn)為中心，a= ，c= 的雙曲線的右支。又因?yàn)閎2=c2-a2= ，所以頂點(diǎn)C的軌跡方程是2x2- y2=1。

（三）解析法與立體幾何

立體幾何是在三維空間中研究圖形、物體的性質(zhì)。在解決一些立體幾何問題時，如果只是使用立體幾何的知識，運(yùn)算量不僅大，而且運(yùn)算過程比較復(fù)雜。但是如果運(yùn)用解析法與之相結(jié)合，就能夠使解法簡潔易懂。

例4：已知△ABC-A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中點(diǎn)，若AB1 BC1，求以BC1為棱的BDC1與CBC1為面的二面角 的度數(shù)。

如圖1所示，作AE BC于E，連接B1E交BC1于F。由三垂線的逆定理知道B1E BC1。再作DG BC于G，GH BC1于H，連接DH，那么∠DHG就是角 的平面角。設(shè)BC=m，那么DG= m，解題的關(guān)鍵就在于求GH的長。如圖2所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B（x，0），那么C1（0，m），E（x， ）。因?yàn)锽1E BC1，所以KBC1？KBE1=-1，即（- ）（ ）=-1，那么x= m，所以G（ m， m）。因?yàn)橹本€BC1的方程是 + =1，所以 x+y？m=0，因此，GH= = m=DG，所以以BC1為棱的BDC1與CBC1為面的二面角 的度數(shù)是45°。

三、總結(jié)

通過例子我們可以看出，運(yùn)用解析法解題往往需要通過坐標(biāo)系寫出幾何關(guān)系的表達(dá)式，再進(jìn)行計算。解析法不僅可以將幾何問題變成代數(shù)的方法來解決，還可以把變量、數(shù)和形等緊密結(jié)合起來。雖然解析法在計算方面是繁瑣的，但能夠幫助較快地找到解題的途徑。因此，靈活運(yùn)用解析法，不但有助于解決平面幾何的問題，而且有助于解決解析幾何和立體幾何中的難題，有效提高我們的解題效率。

參考文獻(xiàn)

[1]王朝興，用解析法巧證平面幾何題[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)研究2001（7）：17-19.

[2]余獻(xiàn)虎、邵婉，解析法—解決數(shù)形結(jié)合型幾何問題的有效[J]，中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）2015（10）：37-40.