淺談數學解題過程中的逆向思維

陳子戎

摘 要：面我就幾個方面談談我對正難則反思想的體會.

關鍵詞：逆向思維；數學

在解決數學問題的過程中，有許多問題從正面入手困難重重，若改由反面入手卻常常能出奇制勝。這是一種重要的思維方式，利用這種思維方式在處理一些數學問題的時候，往往有一種“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。下面我就幾個方面談談我對正難則反思想的體會.

一、集合中體現為補集思想

當題目直接求解較繁、較雜甚至不能求解時，通過先求得問題的反面進而求其補集以達到解決問題之目的.

例1. 三個方程x2+4mx-4m+3=0，x2+（m-1）x+m2=0，x2+2mx-2m=0中至少有一個方程有實根，試求m的范圍.

分析：本題從正面入手應分類求解，繁不堪言，若從反面“三個方程均無實數根”思考，在實數范圍內除去反面求得的解即為m的取值范圍.

解：若三個方程都沒有實根，則

解得

三個方程至少有一個方程有實根m的取值范圍是 或 .

二、 命題中體現為逆否命題

邏輯學認為原命題與它的逆否命題是等價的，也就是原命題真，則它的逆否命題也真。

在一些命題的真假性或條件與結論的充分必要性的判斷中，正面判斷比較難或者不容易理解，那么不妨跳出思維框架，轉化為考慮逆否命題的真假性或者利用逆否命題判斷充分必要性.

例2. 的充要條件是.

分析：從正面入手 與 中至少有一個不等于0，即 或 ， 或 ，得到 或 ，這對很多同學而言都有一定的理解障礙，但如果從反面來看， 的充要條件是： 且 能得到 且 . 那么利用逆否命題即能得到 的充要條件是 或 .

從逆否命題來處理確有茅塞頓開、恍然大悟的感覺.

三、證明中體現為反證法

反證法也是逆否命題的一個應用，即在證明若p則q中轉化為證明若非q則非p，通過否定結論后再作為條件推出與題設的矛盾. 特別對于一些有否定詞的命題或“至多”“至少”型的命題尤為適宜.

例3. 如圖：已知在△ABC中，∠BAC=60°，線段AD⊥平面ABC，AH⊥平面DBC，H為垂足，求證：H不可能是△DBC的垂心.

分析：對于一個不是垂心的點，感覺無從下手，對于垂心，則可以應用它的一些垂直關系。本題要想從條件入手證明十分困難，我們可以通過反面采用反證法證明.

證明：（反證法）假設H是△DBC的垂心，

則CD⊥ BH，又AH⊥平面DBC

∴BH是AB在平面DBC的射影，由三垂線定理得CD⊥AB

又∵AD⊥平面ABC，∴AD⊥AB ∴AB⊥平面ACD，

得AB⊥AC即∠BAC=90°與∠BAC=60°矛盾

∴假設不成立，即證H不可能是△DBC的垂心.

反證法是一種重要的數學思想方法. 牛頓說：“反證法是數學家最精當的武器之一”.這就充分肯定了這一方法的積極作用和不可動搖的重要地位，也充分體現了正難則反思想在解題中的應用.

四、排列組合、概率中體現為間接法

對于某些排列的正面情況較復雜，而其反面情況較簡單時，可先考慮無限制條件下的排列，再減去其反面情況的總數. 在概率計算中則可以通過1減去其對立事件的概率.

例4. 1 四面體的頂點和各棱的中點，共10個點，在其中取出4個不共面的點，不同的取法有（ ）種.

（A）150 （B）147 （C）144 （D）141 [97年全國理（15）]

分析與解：該題當然可以用直接法求解，但怎樣合理分類令眾多考生“霧里看花、不知所措”；若有考生能想到“通過求得問題的對立面”（即4個點共面的情況）

這種間接方法求解的話，則問題變得較為明朗、易解，具體解法如下：

從10個點中取出4個點的取法有 種，而四點共面的取法可分以下三類：第一類，4個點恰好在四面體的同一面上有 種；第二類，4個點恰好是一個平行四邊形的頂點有3種（如平行四邊形EFGH）；第三類，4個頂點恰為一條棱上的三點和相對棱的中點有6種（如△BCG）；所以符合條件的取法數為：

- -3-6=141種.故選D.

例4.2 拋擲兩個骰子，至少出現一個5點或6點的概率為（）

A. B. C. D.

分析：該題若采用直接分類，可以記“恰好出現一個6點而沒有5點”為事件A；“恰好出現一個5點而沒有6點”為事件B；“恰好出現一個5點和一個6點”為事件C；“恰好出現兩個5點”為事件D；“恰好出現兩個6點”為事件E.

則

但若能從反面入手，考慮到“至少出現一個5點或6點”的反面是“兩個骰子既不出現5點也不出現6點”，那么所求的概率 ，選D.

在此類問題中如果善于運用正難則反的思想，利用對立事件的概率公式： ，可以使問題的解決做到事半功倍，而且減少了計算環節，也能減少由計算帶來的不必要錯誤.

正難則反，說起來容易，做起來卻難，需要我們在解題的過程中多觀察，多總結，多聯想。正難則反的這種逆向思維方式具有發散性、變通性，是突破傳統框架產生新思路的源泉.對有些數學問題如果從正面入手求解繁瑣、難度較大，不妨就打破思維常規實行“正難則反”策略，轉化為考慮問題的相反方面，往往能絕處逢生、開拓解題思路、簡化運算過程。

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