基于不變集的半掛汽車列車防側(cè)翻控制研究

歐 健，蘇帥康，楊鄂川，王永勝

(重慶理工大學(xué) a.車輛工程學(xué)院； b.機(jī)械工程學(xué)院， 重慶 400054)

半掛汽車列車往往具有載質(zhì)量大、重心偏高、輪距相對(duì)于車身高度過窄等結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在行駛的過程中遇到大幅度或急促的轉(zhuǎn)向操作后車輛容易發(fā)生側(cè)傾甚至導(dǎo)致側(cè)翻。考慮到各種不確定性，例如駕駛員輸入不確定性[1]、測(cè)量誤差、參數(shù)估計(jì)以及半掛車高度的非線性帶來的模型失配問題，提高控制器的魯棒性變得十分必要。非線性MPC(model predictive control)需要求解復(fù)雜的非凸非線性規(guī)劃問題,即使在變量較少的情況下,計(jì)算也相當(dāng)復(fù)雜[2]，而應(yīng)用不變集理論可以較好地解決這一問題。Mayne等[3-4]提出Tube不變集的概念，并將其應(yīng)用到魯棒預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)中，計(jì)算出不確定性系統(tǒng)誤差的不變集，通過收縮其狀態(tài)與控制變量的約束集，進(jìn)而保證不確定系統(tǒng)的魯棒性。其對(duì)受干擾的離散系統(tǒng)進(jìn)行了可達(dá)性分析，奠定了預(yù)測(cè)控制器處理擾動(dòng)的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)。秦偉偉等[1]針對(duì)一類干擾有界約束，引入最小魯棒正不變集,設(shè)計(jì)覆蓋系統(tǒng)平衡面的相互重疊的多面體不變集序列,并以此結(jié)合Tube不變集方法,設(shè)計(jì)了基于不變集切換的魯棒控制策略，通過應(yīng)用到連續(xù)攪拌反應(yīng)釜(CSTR)驗(yàn)證了控制效果。韋超毅[5]基于遺傳算法和L-M優(yōu)化算法相結(jié)合的辨識(shí)方法設(shè)計(jì)了LQR(linear quadratic regulator)控制器以決策出最優(yōu)附加橫擺力矩來控制半掛汽車列車的側(cè)傾狀態(tài)，但未考慮控制器的魯棒性。

本文針對(duì)駕駛員行為不確定性、模型失配及半掛汽車列車的非線性特性等問題，將不變集理論引入半掛車側(cè)翻控制器設(shè)計(jì)中，在控制器設(shè)計(jì)階段將以上不確定性因素考慮為受約束于車輛狀態(tài)的集值函數(shù)(set-valued function)。本文基于不變集理論，通過終端不變集約束處理魯棒控制設(shè)計(jì)的不確定性問題；采用模型預(yù)測(cè)控制算法設(shè)計(jì)合理的目標(biāo)函數(shù)，以期使車輛停留在狀態(tài)穩(wěn)定的區(qū)域，控制橫向載荷轉(zhuǎn)移率在0.7以內(nèi)，達(dá)到防側(cè)翻控制的目的。

1 半掛汽車列車動(dòng)力學(xué)模型

簡(jiǎn)化的7自由度動(dòng)力學(xué)模型包含牽引車的橫擺、側(cè)向和側(cè)傾，掛車的橫擺、側(cè)向和側(cè)傾及牽引車與掛車的鉸接角7個(gè)自由度。

圖1 7自由度動(dòng)力學(xué)模型

由一般運(yùn)動(dòng)方程和受力分析，建立牽引車的數(shù)學(xué)模型如下：

1) 牽引車側(cè)向動(dòng)力學(xué)方程:

(1)

2) 牽引車側(cè)傾動(dòng)力學(xué)方程：

m1sgh1sinφ1-F4h1ccosφ1+Mf1+Mr1

(2)

3) 牽引車橫擺動(dòng)力學(xué)方程：

(3)

由一般運(yùn)動(dòng)方程和受力分析，建立掛車的數(shù)學(xué)模型如下：

1) 掛車側(cè)向動(dòng)力學(xué)方程：

(4)

2) 掛車側(cè)傾動(dòng)力學(xué)方程：

F4h2ccosφ2+M2

(5)

3) 掛車橫擺動(dòng)力學(xué)方程：

(6)

4) 牽引車與半掛車在牽引銷連接處的約束方程：

(7)

應(yīng)用線性輪胎模型[6]可知，側(cè)向力Fi(i=1,2,3)與側(cè)偏角成比例關(guān)系：

(8)

將以上方程整理為狀態(tài)空間形式：

(9)

考慮到所建立的模型與實(shí)際車輛存在不匹配、半掛車的高度非線性及液壓系統(tǒng)的遲滯等因素，引入附加不確定性因數(shù)wu得到修正后的7自由度車輛模型：

(10)

不確定性因素會(huì)導(dǎo)致模型的不匹配，將這種不匹配描述為模型中矩陣A、B參數(shù)的擾動(dòng)，采用Matlab函數(shù)c2d對(duì)模型進(jìn)行離散化，采樣時(shí)間設(shè)置為0.05 s，離散化后的車輛模型為

(11)

其中：Ad=[Ad(:,1),Ad(:,2)+G*Bd(:,1)];G為穩(wěn)態(tài)橫擺角速度增益，取值為0.5；Bd={0.9*LBd,LBd,1.1*LBd}。

將駕駛員轉(zhuǎn)角不確定性考慮為附加干擾：

E=Bd(:,1)

Bd(:,1)={δd:|δd-Gψ′|≤ε, |δd|≤δd, max,ε>0}

2 魯棒預(yù)測(cè)模型控制器設(shè)計(jì)

應(yīng)用魯棒模型預(yù)測(cè)控制理論，針對(duì)半掛汽車列車的強(qiáng)非線性和所建立系統(tǒng)的不確定性，設(shè)計(jì)具有一定魯棒性的側(cè)傾穩(wěn)定性控制器。根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)測(cè)出下一時(shí)步的狀態(tài)，并計(jì)算出一組最優(yōu)控制輸入(即防側(cè)翻力矩)，以保持車輛的橫向載荷轉(zhuǎn)移率在安全范圍之內(nèi)，減小側(cè)翻危險(xiǎn)的發(fā)生。側(cè)翻穩(wěn)定性控制框圖見圖2。

圖2 側(cè)翻穩(wěn)定性控制框圖

2.1 魯棒控制不變集RCI的計(jì)算

將狀態(tài)、控制輸入和隨機(jī)擾動(dòng)量的硬約束考慮為全局約束，對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行魯棒控制不變集計(jì)算作為控制器的終端約束，離線求解最優(yōu)控制率以減少計(jì)算量。

魯棒控制不變集是針對(duì)可控輸入的系統(tǒng)，如果狀態(tài)集在魯棒控制不變集內(nèi)，則總存在一個(gè)控制器能夠遵循系統(tǒng)約束。計(jì)算最大魯棒控制不變集C∞的算法見表1[7-8]。

表1 最大魯棒控制不變集算法

不變集的求解計(jì)算基于Matlab中MPT3.0工具箱[9]。由于RCI中包含的變量是高維度的，無法直接用圖形表述，故選取前3列的三維投影來描述，如圖3所示。

圖3 RCI前三列的三維投影圖

2.2 魯棒模型預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)

將離線計(jì)算好的魯棒控制不變集通過Matlab中MPT3.0工具箱[9]調(diào)用，加載至控制器。采用在線的模型預(yù)測(cè)控制器，針對(duì)模型中包含的不確定性，跟蹤參考模型給出的狀態(tài)，滾動(dòng)求解帶約束的有限時(shí)域最優(yōu)控制問題， 得出最優(yōu)防側(cè)翻力矩，以控制車輛狀態(tài)避免側(cè)翻危險(xiǎn)。

模型預(yù)測(cè)控制可以在設(shè)計(jì)反饋控制律時(shí)直接考慮輸入與輸出約束，因而被廣泛運(yùn)用。MPC反饋控制律基于計(jì)算的最優(yōu)控制輸入指令，通過求解以下形式的最優(yōu)化問題獲得[10]：

(12)

s.t.xk+1=f(xk,uk,wk)

(13)

xk∈χ

(14)

uk∈u

(15)

wk∈w

(16)

xN∈T

(17)

x0=x(t)

(18)

式中：xk、uk、wk是在第k時(shí)步預(yù)測(cè)的狀態(tài)、控制輸入和干擾；預(yù)測(cè)的初始值x(t)是被控對(duì)象當(dāng)前量測(cè)(或估計(jì))的狀態(tài)；x、u分別為狀態(tài)、輸入約束；w為附加干擾約束；T為終端集。預(yù)測(cè)時(shí)域?yàn)镹，目標(biāo)函數(shù)為J。最優(yōu)化的運(yùn)行與u0,…,uN-1相關(guān)，僅將其中的第1項(xiàng)u0用于被控對(duì)象。

目標(biāo)函數(shù)為

式中：Q、R和QN均為正定矩陣；xN為終端狀態(tài)量。

把半掛車的主動(dòng)防側(cè)翻控制問題看作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)MPC問題來解決，在每一個(gè)采樣步長(zhǎng)通過解算帶約束的有限時(shí)間最優(yōu)控制問題計(jì)算最優(yōu)輸入控制序列，并在下一時(shí)步根據(jù)新的車輛狀態(tài)解算最優(yōu)控制問題。設(shè)計(jì)相關(guān)目標(biāo)函數(shù)計(jì)算最優(yōu)控制輸入為：

u*=[Mf1,Mr1,Mf2]

式中：Mf1為牽引車轉(zhuǎn)向軸的主動(dòng)防側(cè)翻力矩；Mr1為牽引車驅(qū)動(dòng)軸的主動(dòng)防側(cè)翻力矩；Mf2為掛車集中質(zhì)量軸的主動(dòng)防側(cè)翻力矩。

3 典型工況的仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器的防側(cè)翻效果，選取雙移線和角階躍兩種典型工況進(jìn)行仿真驗(yàn)證，建立Simulink-Trucksim聯(lián)合仿真模型。在未控狀態(tài)和受控狀態(tài)、MPC控制和TTR控制狀態(tài)下分別進(jìn)行仿真，之后通過對(duì)比驗(yàn)證得出魯棒模型預(yù)測(cè)控制器的控制效果。

3.1 雙移線工況

車速設(shè)置為80 km/h，路面附著系數(shù)為0.3，冰雪路面。牽引車和掛車的各個(gè)狀態(tài)量見圖4。

圖4 雙移線工況下主動(dòng)控制和不控制的車輛狀態(tài)量對(duì)比

在雙移線工況下，在6.42 s時(shí)的未控狀態(tài)下，牽引車與掛車的LTR均達(dá)到1，且側(cè)向加速度發(fā)散。通過仿真發(fā)現(xiàn)車輛已發(fā)生側(cè)翻，故此后的數(shù)據(jù)丟失。在MPC控制器的控制下可以看到：車輛狀態(tài)穩(wěn)定，有效避免了側(cè)翻危險(xiǎn)。所需的防側(cè)翻力矩牽引車驅(qū)動(dòng)軸為最大，其次是轉(zhuǎn)向軸和掛車集中質(zhì)量軸，因此在加裝主動(dòng)防側(cè)傾桿時(shí)可選擇規(guī)格較大的牽引車驅(qū)動(dòng)軸，另外兩軸可選擇相對(duì)較小的牽引車驅(qū)動(dòng)軸以節(jié)約成本。

3.2 角階躍工況

車速設(shè)置為100 km/h，路面附著系數(shù)為0.85，良好路面。牽引車和掛車的各個(gè)狀態(tài)量見圖5。

采用角階躍工況模擬實(shí)際行駛過程中的駕駛員突然轉(zhuǎn)向行為，由仿真結(jié)果可知：在未控狀態(tài)下，半掛車在5.2 s時(shí)刻側(cè)傾角趨于無限大，車輛發(fā)生側(cè)翻；而經(jīng)主動(dòng)控制后，半掛車輛的橫向載荷轉(zhuǎn)移率、側(cè)傾角、側(cè)向加速度均可收斂并處于安全區(qū)域內(nèi)，所設(shè)計(jì)的控制器可以較好地避免側(cè)翻危險(xiǎn)。

圖5 角階躍工況下主動(dòng)控制和不控制的車輛狀態(tài)量對(duì)比

4 結(jié)束語

本文將不變集的概念引入半掛汽車列車的防側(cè)翻控制器設(shè)計(jì)中，應(yīng)用魯棒模型預(yù)測(cè)控制理論，增強(qiáng)了控制器對(duì)模型失配，以及半掛車高度非線性所帶來的不確定性干擾的魯棒性，并進(jìn)行了典型試驗(yàn)工況仿真。半掛汽車列車在控制器施加主動(dòng)防側(cè)翻力矩后，較之未控狀態(tài)下的側(cè)傾狀態(tài)有明顯改善，施加控制后橫向載荷轉(zhuǎn)移率從1變?yōu)?.7以下，側(cè)傾角和側(cè)向加速度等表征側(cè)傾狀態(tài)的指標(biāo)也由超出側(cè)翻閾值的危險(xiǎn)值減小至安全區(qū)域內(nèi)，且曲線得到收斂不再發(fā)散，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)模型預(yù)測(cè)控制器的良好防側(cè)翻性和魯棒性。本文為半掛車的防側(cè)翻研究提供了理論支持，但在極限工況下，車輛仍容易失穩(wěn)，因此在進(jìn)一步研究中可考慮加入預(yù)警系統(tǒng)，提醒駕駛員及時(shí)降低車速和減小方向盤轉(zhuǎn)角，以實(shí)現(xiàn)最大程度上的主動(dòng)安全。

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