中考等腰三角形新題展示

黃世平 陳德前

1.江蘇省興化市昭陽湖初級(jí)中學(xué) 225500;2.江蘇省興化市教育局教研室 225700)

等腰三角形的知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，也是中考命題中設(shè)計(jì)新題型的典型素材.

先以2016年中考試題為例，向同學(xué)們展示幾種新題型，供你學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、折疊型

例1 ( 2016年甘肅省武威、白銀、定西、平?jīng)觥⒕迫⑴R夏、張掖等9市州中考題)將一張矩形紙片折疊成如圖1所示的圖形，若AB=6 cm，則AC=____cm．

分析畫出折疊之前的矩形紙片，就可以通過平行線進(jìn)行角度之間代換，得到△ABC是等腰三角形來求解．

圖1

解如圖1，由折疊得∠1=∠2，再由矩形紙片對(duì)邊平行得到∠1=∠3，從而得到∠2=∠3，所以△ABC是等腰三角形且AC=AB=6 cm，所以得出答案為6.

點(diǎn)評(píng)折疊也就是翻折或軸對(duì)稱，它不改變圖形的形狀和大小，所以看到折疊就要想到全等，進(jìn)一步得到對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等，為進(jìn)一步解題提供條件．

二、網(wǎng)格型

例2 (2016年四川省資陽市中考題改編)如圖2，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分別位于格點(diǎn)上，從C、D、E、F四點(diǎn)中任取一點(diǎn)，與點(diǎn)A、B為頂點(diǎn)作三角形，則所作三角形為等腰三角形有____個(gè)．

分析先從C、D、E、F四個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)，與點(diǎn)A、B連接組成三角形，一共有4種可能，再判定其中哪些是等腰三角形，即可得出答案．

解從C、D、E、F四個(gè)點(diǎn)中任取一點(diǎn)，與點(diǎn)A、B連接組成三角形，一共有4種可能，其中選取點(diǎn)D、C、F時(shí)，與點(diǎn)A、B構(gòu)成的三角形是等腰三角形，所以所作三角形為等腰三角形有3個(gè).

點(diǎn)評(píng)解決這類問題，要先操作，再判定.由于問題是在網(wǎng)格中設(shè)計(jì)的，因此在判定等腰三角形時(shí)，要充分利用網(wǎng)格的優(yōu)勢(shì).

三、剪紙型

例3 (2016年江蘇省揚(yáng)州市中考題)如圖3，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6．將該矩形紙片剪去3個(gè)等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面積的最小值是( ).

A．6 B．3 C．2.5 D．2

四、拓展型

例4 (2016年湖南省邵陽市中考題)如圖4所示，點(diǎn)D是△ABC的邊AC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，AD=BD，則下列結(jié)論正確的是( ).

A．AC>BCB．AC=BC

C．∠A>∠ABCD．∠A=∠ABC

解∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠ABC>∠A，所以C選項(xiàng)和D選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵∠ABC>∠A，∴AC>BC，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A．

點(diǎn)評(píng)根據(jù)應(yīng)用等腰三角形的有關(guān)知識(shí)，可以得到結(jié)論：在同一個(gè)三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角.在上述解答中，除了運(yùn)用“等邊對(duì)等角”外，還運(yùn)用了“大角對(duì)大邊”．

五、規(guī)律型

例5 (2016年河北省中考題)如圖5，已知∠AOB=7°，一條光線從點(diǎn)A出發(fā)后射向OB邊.若光線與OB邊垂直，則光線沿原路返回到點(diǎn)A，此時(shí)∠A=90°-7°=83°.當(dāng)∠A<83°時(shí)，光線射到OB邊上的點(diǎn)A1后，經(jīng)OB反射到線段AO上的點(diǎn)A2，易知∠1=∠2.若A1A2⊥AO，光線又會(huì)沿A2→A1→A原路返回到點(diǎn)A，此時(shí)∠A=____°.…若光線從點(diǎn)A發(fā)出后，經(jīng)若干次反射能沿原路返回到點(diǎn)A，則銳角∠A的最小值=____°.

分析對(duì)于第一個(gè)問題，先在Rt△A1A2O中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠2的度數(shù)，由此得到∠1和∠AA1A2的度數(shù)，再在△AA1A2中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)；對(duì)于第二個(gè)問題，由前面可知，當(dāng)光線垂直于OA時(shí)光線會(huì)沿原路返回，畫出符合題意的圖形，分別求出有公共頂點(diǎn)的光線夾角的度數(shù)，從而找出夾角變化的規(guī)律，問題可解.

解

點(diǎn)評(píng)解決規(guī)律探究題問題的一般思路是從特殊情形中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，再應(yīng)用一般規(guī)律來解決問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]杭永根，陳德前.開放探究問題(3)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬)，2017(1-2)：105-109.