迭代法求解數(shù)學(xué)模型的極值問題
——如何使正方體容積最大

王一帆 劉小偉

(山東省青島市第二實驗初級中學(xué)七年級(11)班 266000)

迭代法是用計算機解決問題的一種基本方法.它利用計算機運算速度快、適合做重復(fù)性操作的特點，讓計算機對一組指令進行重復(fù)執(zhí)行，在每次執(zhí)行這組指令時，都從變量的原值推出它的一個新值.迭代是數(shù)值分析中通過從一個初始估計出發(fā)尋找一系列近似解來解決問題(一般是解方程)的過程，為實現(xiàn)這一過程所使用的方法統(tǒng)稱為迭代法.本文利用迭代法解決了含有兩個變量的極值求解問題.

一、模型的建立

如圖所示，b為大正方體的邊長，虛線部分為被剪去的小正方形，a為小正方形的邊長，將剩下部分折成如右圖所示無蓋長方體.問：如何才能使所得無蓋長方體的容積V最大呢？

由上圖知無蓋長方體容積：

V=(b-2a)2×a

(1)

該問題就轉(zhuǎn)化成含有兩個變量的極值求解問題.運用初中所學(xué)數(shù)學(xué)知識，采用直接法求解該問題具有很大難度.作者經(jīng)過思考采用如下迭代法解決該問題.

二、解題思路和迭代的初值步長

根據(jù)已知條件，該題目中a和b的關(guān)系一定滿足下式：b>2a.

(2)

分別討論在b取不同值(10，20，30，40，50)的情況下，a取何值(1，2，3，4，5)才能使體積最大.該過程得到的最大值(精確到個位)誤差較大，為了得到更精確的解，作者又進行了一次循環(huán)計算，將解精確到小數(shù)點后一位.

得到在a和b取不同值的情況下方程的極大值點，然后，將得到的點用折線圖的形式表示出來，發(fā)現(xiàn)a和b成線性關(guān)系，求出該直線斜率，即得到最終答案.

三、求解過程

1.假設(shè)b=10，得到表1所示結(jié)果

表1 b=10

從表1得出，a=2時體積最大，考慮計算精度，將答案精確到小數(shù)點后一位，則得：

表2

所以b=10時a=1.7，體積最大.

2.假設(shè)b=20，得到表3所示結(jié)果

表3 b=20

從表3得出，a=3時體積最大，同理，將答案精確到小數(shù)點后一位，則得：

表4

所以b=20時a=3.3，體積最大.

3.假設(shè)b=30，得到表5所示結(jié)果

表5 b=30

從表5得出，a=5時體積最大，同理，將答案精確到小數(shù)點后一位，則得：

表6

所以b=30時a=5，體積最大.

4.假設(shè)b=40，得到表7所示結(jié)果

表7 b=40

從表7得出，a=7時體積最大，同理，將答案精確到小數(shù)點后一位，則得：

表8

所以b=40時a=6.7，體積最大.

5. 假設(shè)b=50，得到表9所示結(jié)果

表9 b=50

從表9得出，a=8時體積最大，同理，將答案精確到小數(shù)點后一位，則得：

表10

所以b=50時a=8.3，體積最大.

6.總結(jié)以上五步結(jié)果，可得表11所示結(jié)果

表11 a、b、V之間關(guān)系

根據(jù)表11可以畫出以下直線：

由圖中明顯可以看出，a、b成正比例關(guān)系，需要確定該比例系數(shù).取各比值的平均值作為比例系數(shù).

(3)

所以，當(dāng)a和b滿足如式(4)所示關(guān)系時，得到的長方體體積最大.

a=0.167b(4)

本文利用程序設(shè)計的思路，經(jīng)過五次外部迭代過程，兩級嵌套內(nèi)部迭代，最終得到該數(shù)學(xué)模型的極大值.通過該模型的求解過程，作者初步掌握了程序設(shè)計的思想，為以后的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

參考文獻：

[1]羅預(yù)練. 淺談初中數(shù)學(xué)中函數(shù)與動點形成圖形的極值[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，2016.