也談添加平行線，證明線段比問題
——兼與程志南老師商榷

胡育旭

(浙江省杭州市江干區杭州師范大學東城中學 310019)

本刊2016年第7期程志南老師的文章《探討添線法構造“A”、“X”型相似圖形解“燕尾”形問題》(下稱文1)，筆者拜讀后受益匪淺，被程志南老師嚴謹、認真、勤于思考的精神所感動.三角形相似的性質主要用于解決證明線段的比例以及求線段的長問題，但有些線段比例問題不能直接求得，往往需要通過添加平行線，構造相似三角形才得以解決.程志南老師在文1中分析了“A”、“X”型相似三角形的位置特征，并給出了過特殊分點添設平行線才能達到解題的目的，否則不能鋪設由條件到結論的“路”.筆者認為這種方法并不是解這類“燕尾”形問題的本質，并且文1所提的“無用的平行輔助線”其實也能達到解題的目的，現作一些澄清，并給出此類問題的通法，不當之處，請同仁批評指正.

一、原題呈現，感悟解法

例1 如圖1，已知直線FD與△ABC的邊BC相交于D，與AC相交于E，與BA的延長線相交于F，且BD=CD，求證：AE·FB=EC·FA.

但程志南老師在文1中同時指出過點D、E、F這三個點所做平行線(圖3)是無用的.筆者進一步的探究發現，實際上下面6幅圖也是可以證明結論AE·FB=EC·FA的.

二、再添平行，新增六法

三、刪去花絮，探究本質

根據上述方法，筆者發現文1中所提的“先根據比例關系尋找特殊分點，再過特殊分點作平行線”這種方法并不是本質的，實際上只要過圖1中的任何一點作線段的平行線，利用這兩個含有基本相似三角形的圖形，都可以解決所證結論.解題方法的本質是：①直接利用上述兩個基本的相似三角形得到線段比例式；②當不能直接利用相似三角形得到線段的比例式時，可以設其中某兩條線段的比值為k，再利用相似三角形中的線段比值代換求得另一組線段比值也為k，從而得到結論.下面再舉例說明.

例2 如圖10，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AC上的點，且BD=DC，AE∶EC=1∶2，連結AD、BE交于F，求：AF∶FD的值.

仿照上述方法過點A、B、C、D、E、F分別作平行線，由于每個點可以作兩條平行線，所以筆者得到16種證明方法，由于方法的類似，讀者可以自己嘗試解決.

四、學會解題，領會真諦

解題大師羅增儒教授指出“學會解題通常需要經歷四個階段：簡單模仿→變式練習→自發領悟→自覺分析”.筆者在拜讀文1時深受啟發，簡單模仿過點A、B、C添加平行線的方法，領悟到解法并深信過點D、E、F添加平行線也可以得到所證結論，本著這樣的思考筆者得到了這類問題的通性通法，題目的本質所在，那么這個問題是否可以再進行一般化呢？如何變式練習呢？實際上問題可以進行如下改編：

利用文中筆者所提方法，顯然可以求出結論.從特殊到一般是數學重要的思想方法，同時也是解題的重要指導思想，因此在教學的過程中筆者經常給學生創設問題變式的機會，讓學生在學會解題，領會變中的不變，解題的方法本質所在.

參考文獻：

[1]程志南.探討添線法構造“A”、“X”型相似圖形解“燕尾”形問題[J].數理化解題研究(初中版),2016(7):7-8.

[2]羅增儒,羅新兵.作為數學教育任務的數學解題[J].數學教育學報,2005(1):12-15.