氫分子鍵能的簡單研究

何 帥,侯秀芳

(1.延安大學 西安創新學院理工系,陜西 西安 710000；2.延安大學 化學與化工學院,陜西 延安 716000)

分子是物質能獨立存在并保持其化學特性的最小微粒。而氫分子是宇宙中最簡單的分子，氫分子的成鍵機理是認識化學鍵本質最重要的問題。因此，有不少學者不遺余力的從多個切入點進行研究。1927年, 沃爾特·海特勒(Walter Heitler)和弗里茨·倫敦(Fritz London)首次用波函數ψ1和ψ2的線性組合計算氫分子鍵長和結合能。雖然所得的氫分子鍵長和鍵能與實驗值誤差較大，但對量子化學的創立做出了不可磨滅的貢獻[1-3]。至今有不少學者對氫分子鍵能做過計算，然而大部分是借助極其復雜的數學理論完成的，甚至需要計算機輔助計算。同時，有些理論人為定義的參數較多，部分參數沒有明確的物理意義[4-5]。

氫原子的半徑僅有0.529×10-10m，研究時需要用到電子顯微鏡，給氫分子結構參數的實驗研究帶來巨大的挑戰。目前普遍認為：在氫原子內，高速運動的電子被束縛在極小的范圍之內，由于電子的半徑小的幾乎無法測量，因此在量子化學中描述時多用到Heisenberg 測不準原理,Pauli 原理, 能級躍遷等理論，其運動狀態多用電子云進行描述。普朗克曾經指出，當一個體系中粒子數較多時，將會呈現宏觀的行為。因而兩個氫分子電子云的疊加，也可用宏觀理論進行考察[5-7]。如云南大學陳景教授提出用經典力學計算氫分子的鍵長鍵能及力常數。

1 氫分子成鍵

根據泡利原理, 當兩個氫原子具有自旋相反的電子時 ,它們的電子云可以疊加 ,此時在兩核之間出現了兩個球冠面組成的電子云。從靜電相互作用的角度講，假設氫分子平衡狀態間距為R，即兩個氫原子的距離為R時，處于平衡狀態，距離小于R時排斥，大于R時吸引。這個結果表明，氫分子共價鍵中，庫侖平均等效相互作用是有效的，并可以用來理解其力學平衡。此時的平衡核間距 即為氫分子的鍵長。從能量的角度考察時 , 每個球冠面的電子云都在異核的正電場中獲得了勢能降, 使氫分子中兩個電子能量之和比兩個孤立氫原子中電子能量之和降低了ΔV。根據維里定理, 勢能降低時動能將增加 , 且 -ΔT = 1 /2 ΔV , 因此電子勢能降的一半將以電子動能增加而保留在氫分子中 ;另一半則使氫分子的運動加劇, 以反應熱的形式釋放出來 , 即氫分子的鍵能De;若需此氫分子斷鍵 , 則需供給這部分鍵能[5，8-10]。

如圖1所示，這是氫分子電子云示意圖。對于氫原子A而言，在A原子中進入交疊區空間電子云Sa，會受到B氫原子核的吸引，同時產生勢能降。B氫原子核的正電場被自身電子云屏蔽，而A原子中未進入交疊區空間電子云SA，不會對B產生吸引。同理，對氫原子B而言，可得出相同的結論。

2 基態氫分子鍵能

圖1 基態氫分子Fig1 The ground state of hydrogen

圖2 氫分子坐標圖Fig.2 Molecular diagram of hydrogen

直接應用勢能降計算氫原子的鍵能是極為復雜的。我們按照經典力學考察時，以OA為原點建立直角坐標系，z軸省略(即為氫分子的主視圖)。如圖2所示，將球冠面Sa微分為相等的n個部分。當n非常大時，每部分近似為如圖2所示的圓弧線C1(即劣弧AB)。結合球坐標參數方程，先計算出這個部分 的等效電荷重心P(x1,y1,z1)。進而計算形成氫分子時勢能的變化值。

在三角形AOAB中，OAA=OAB=R,(R為氫原子半徑，R=0.529×10-10m,OA(0,0,0) OB(0.748×10-10m,0,0)

點C為OAOB中點 且OAA=OBA

則：AC⊥OAOB

所以∠AOAB=45°，

P點為弦AB的中點，故∠POAB=∠AOAP=22.5°

由球坐標參數方程得，P點坐標為：

(2)

由于各部分等效電荷中心離原點相等，P點到OB(0.748×10-10,0,0)的距離R1，可根據空間兩點之間的距離公式得出：

(3)

經計算：R1=0.351×10-10m

C1圓弧線和C2圓弧線對異核的靜電吸引作用可用q1(C1圓弧線的等效電荷重心)對B 核和q2(c2圓弧線的等效電荷重心)對 A 核的作用代替,然后用q1和q2來計算形成氫分子時電子勢能的變化。

由吸引力和排斥力的關系可求解等效電荷重心的值：

(4)

式中，k為靜電引力常數，k=8.99×109N·m2/c2,z為質子電荷，Re為氫分子核間距，其值為0.748×10-10m。用q來表示等效電荷重心的的值，經計算：

(5)

得出q1和q2之后，可計算出氫分子兩個1s電子獲得的勢能降總和ΔV

(6)

根據維里定理，僅有一半勢能釋放出來,另一半勢能轉化為電子動能，因而單個氫分子鍵能De為：

(7)

將R1=0.351×10-10m代入(7)式:

(8)

因而，1 mol H-H鍵的鍵能為：

De×NA=442kJ/mol

(9)

式中，Na是阿伏伽德羅常數，其值為6.02×1023。

實驗值為436kJ/mol， 相對誤差小于1.4%。

誤差分析：

導致誤差的可能的因素有，計算中使用等效電荷重心，而并非嚴格的積分，存在計算誤差。對比文獻[1]，筆者的研究方法是嚴格遵循陳教授等效電荷中心的研究思路，陳教授認為氫分子的鍵能只相當于Sa或Sb一個球冠面的負電荷重心在異核正電場中獲得的勢能降,將 和 各簡化為一個等效電荷重心，由吸引力和排斥力的關系求出等效電荷重心的值，進而用異核正電場中的勢能降之和減去電子動能的增加恰為氫分子的鍵能。在此基礎上，筆者借助微積分思想，在計算過程中將其微分成無限多個相等的部分，進而簡化為多個等效電荷重心，然后借助積分思想求和，最終計算出的氫分子鍵鍵能。其優越性為借助于微積分思想，降低了計算誤差(文獻[1]中誤差為小于2﹪)。如果將其分成更多部分，借助更好的數學知識，誤差可能會進一步減少。這意味著陳教授的氫分子成鍵模型是非常成功的，不僅簡潔直觀，而且物理意義明確，并且計算中不含任何人為參數，非常適合推廣。

3 討論

本文中，沿用陳景教授的氫分子成鍵模型,從氫分子的吸引和排斥的平衡，勢能和動能的關系，用簡單的方法更精確的計算出氫分子的鍵能。假若借助更好的數學知識，誤差可能會進一步減小。氫分子的成鍵機理是認識化學鍵本質最重要的問題。所以這個研究思路和成鍵模型非常值得推廣。

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