一類特殊受控混沌系統的電路仿真實驗

賈樂樂 劉愛民 黃亞杰 黃燮楨 白聿北

摘 要：混沌電路仿真與實現是非線性混沌研究中的一項重要內容。基于具有一對位置對稱、穩定性態相反平衡點的混沌系統，文章通過混合控制得到一個新的混沌系統。運用混沌電路理論，設計出實現新混沌吸引子的電路信號源，并通過Multisim軟件進行實驗仿真。實驗結果和分析結果一致。

關鍵詞：混沌系統；Multisim；電路實驗；數值仿真

中圖分類號：O415.5 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2018）12-0029-04

Abstract： The simulation and realization of chaotic circuits is an important part of nonlinear chaos research. In this paper， a new chaotic system is obtained by hybrid control. Using the chaotic circuit theory， the circuit signal source to realize the new chaotic attractor is designed， and the experimental simulation is carried out by Multisim software. The experimental results are consistent with the analysis results.

Keywords： chaotic system； Multisim； circuit experiment； numerical simulation

1 概述

混沌及其相關研究是當今非線性科學研究的熱點問題，自上世紀Lorenz混沌吸引子發現以來[1]，對混沌系統研究得到了學者們的極度關注[2，3]。實踐表明，混沌系統在各個領域有普遍的應用價值。在混沌理論及應用研究中，混沌電路是一項非常重要的內容，混沌電路實驗是這項內容的基礎部分。

電路中混沌現象的研究始于1927年，荷蘭物理學家Van der Pol在氖氣燈物理電路實驗中發現了“不規則噪聲”，即我們后面所說的混沌現象。美國科學家Linsay[4]利用電子電路于1981年驗證了Feigenbaum常數。其后，美國科學家蔡少棠提出第一個混沌電路實驗。2002年，Zhong等[5]也用電路設計實現了Chen系統。其后，混沌電路得到了普遍關注[6，7]。

混沌系統的建模也是混沌理論研究的一項重要內容 [8-15]。早期的混沌系統中，大多數系統有1個平衡點或者2個對稱平衡點或者3個平衡點，甚至更多個平衡點，它們共同的特征是所有平衡點不穩定[16]。在2008年，Yang和Chen[17]提出了一個具有一個鞍點和兩個穩定結焦點的混沌系統[18]。Wei和Yang在文獻[19]介紹了一類僅有兩個穩定平衡點的混沌系統。引起注意的是，上述混沌系統有一個相同的特點，那就是兩個對稱的平衡點總是具有相同的穩定性。最近，Liu等[20]提出了一個新的三維混沌系統，該系統與上述提到的系統不同，它的右邊只有2個二次項，形式簡單，但局部動力學行為復雜有趣，有一對位置對稱但穩定性總是相反的平衡點。文獻[20]中對該三維混沌系統的平衡點結構及其穩定性、Hopf分岔、奇異異宿軌道、混沌電路實現等內容進行了詳細分析。

本文將在文獻[20]的基礎上，運用混合控制技術，構造一個三維受控系統。在對系統局部性質初步分析的基礎上，基于混沌電路理論，設計出實現新混沌吸引子的電路信號源，并利用Multisim軟件進行實驗仿真，檢驗數值分析結果。

2 混沌模型

在文獻[20]中Liu等人提出的三維混沌系統由如下方程刻畫，

=a（y-x）=-c+xz=b-y2 （1）

在系統（1）中，a，b，c∈R是實參數，x，y，z是系統狀態變量。顯然，當c=0時，系統（1）在變換T（x，y，z）→T（-x，-y，-z）下是不變的。這意味著，任何非自身不變的軌道，在T變換的意義上，都會有它的“孿生”軌道。當c≠0，b<0或b=0時，系統（1）沒有平衡點；當b2+c2=0時，系統有非孤立平衡點Oz（0，0，z）；當b>0時，系統有兩個非零平衡點E+（，，）和E-（-，-，-），且穩定性總是相反[21]。

本文研究的是上述三維混沌系統的受控系統：

=a（y-x）=-c+xz+m（x-y）=b-y2 （2）

當m=0時，受控系統（2）回歸到原系統。我們可以發現，受控系統（2）與原系統的平衡點結構是保持一致的。通過數值仿真，我們進一步得到，當a=1.5，b=1.7，c=0.05，m=-1.56時，系統李雅普諾夫指數為0.0046，-0.0180和-0.0250。系統（2）具有混沌吸引子，如圖1所示，在x-y平面上的相軌跡平面圖如圖2所示。

3 電路設計與實現

混沌系統最簡單的實現就是進行設計電路，大量混沌系統的動力學行為都是采用設計非線性電路的實現來得到驗證。混沌電路設計流程如下：

首先考慮變量比例的變換壓縮。

如果變值器件的取值范圍沒有超過電源器件的最值范圍，就不需要更換取值，反之就要進行比例變換。

其次選擇便于調節以及有利于計算的電路。

反相加法器或反相運算放大器相對于同相加法或減法運算的電路中各輸入信號源相互獨立，比例運算系數調節靈活，便于調節。

所以，反相加法器活加法運算放大器更適合混沌電路的設計。如圖3-5所示。

最后，通過積分反饋放大器將混沌系統轉化為電路方程。

根據系統（2），可設計電路以及電路方程（3），如圖5所示。通過理論實驗設計畫出實物圖，圖中U1-U8的運算放大器采用的型號為NE5532AI，采用了型號為MULTIPLIER模擬乘法器，電路圖如圖6所示。

此電路的電路方程

c1=-Uc1+Uc2c2=-Uc2 +Uc1Uc3+Uc1c3=-U（3）

電路方程與系統（2）的方程形式一致，因此，Uc1=x，Uc2=y，Uc3=z，V=5V

即：

=-x+y=-y +xZ+x=-y2 （4）

為了實現與系統（2）相符合，我們必須選擇合適的元件參數。因此，取R1=R2=R3/0.15，R8=R10=R9/0.1，R=R11R16，R13=R12/1.56，R19=R21=R20/1.69。同時取R3=R4=R5=R6=R9=R14=R15=R16=R20=R22=R23=10kΩ，則R1=R2=66.67kΩ，R8=R10=1kΩ，R12=10MΩ，R13=6.41MΩ，R11=4.11TΩ，除此之外，取C1=C2=C3=100nF，波形的振蕩頻率約為1KHz，通過示波器才能得到的波形圖是完整并穩定，圖7所示的圖像是通過示波器來觀察到的。

4 結束語

在非線性科學的研究中少不了混沌電路，本文對一個新的三維混沌系統的受控系統的混沌吸引子進行電路設計，運用Multisim軟件對該受控系統的電路進行實驗仿真。最后，選擇精確的實驗電路硬件，實現了混沌系統仿真結果，并給出了完整的電路實現圖。

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