滲透學科思想乃是學科教學之道

周新偉 吳利華

解析幾何大題是高考的必考內容，更是學生難以突破的一大瓶頸。歷年來關于解析幾何大題的研究論文可謂汗牛充棟，解析幾何大題的研究趨勢也從宏觀走向微觀，粗放走向集約。但在這轉變過程中也出現了過于追求枝節或過于程式化的傾向，忽視了解析幾何學科思想的滲透，降低了解析幾何研究應有的高度。筆者以常見于報端的“設而不求”與“設而求之”為例加以說明。

一、載體

本文選擇2011年江蘇高考第18題作為研究載體，她結構簡單而內蘊豐富，選擇多樣而繁簡有別，被譽為最具解析幾何味道的試題，曾連續三年（2012、2013、2014）入選《普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）說明》之典型題示例，指引著江蘇高考解析幾何大題的考查方向。

題目：如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓—+—=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k。

（1）當直線PA平分線段MN時，求k的值;

（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d;

（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB。

二、殊途

1.途徑一——“設而求之”

解析幾何中，坐標系的建立，實現了作為幾何圖形的基本元素點與實數對之間的對應關系，即建立了點用數表示的規則，找到了將所有的幾何問題轉化為代數問題的“主導參數”（即點的坐標），因此，就提供了把所有的幾何問題無一例外地轉化為代數問題的可能。

所以將點的坐標用“主導參數” 以“顯性”的方式加以表達是突破解析幾何大題最常用的策略，“求交點”成為整個解題過程的主旋律。

解：（1）（2）答案從略。

（3）將直線PA的方程y=kx代入—+—=1，解得x=±—。

記μ=—，則P（μ，kμ），A（-μ，-μk）。

于是C（μ，0），從而直線AB的方程為y=—（x-μ）。

代入橢圓方程得（2+k2）x2-2μk2x-μ2（3k2+2）=0，

解得x=—或x=-μ，故B（—，—）。

于是直線PB的斜率

k1=—=—

=-—，

得k1k=-1。

故PA⊥PB。

2.途徑二——“設而不求”

“設而求之”固然是突破解析幾何大題的基本思路，但有時“求交點”比較繁瑣甚至不可操作，此時應考慮先將該點（如點）坐標“隱性”地設出來，再用“結合關系”列出約束條件，將圖形條件化為代數條件，另在目標的引導下合理處理方程（組），以達到“設而不求”的目的。

解：（1）（2）答案從略。

（3）由題意設P（x0，y0），A（-x0，-y0），B（x1，y1）則C（x0，0）。

∵A、C、B三點共線，∴—= —=—……①

又因為點P、B在橢圓上，

∴—+—=1，……②

—+—=1，……③

②-③得：kPB=—=-—。

∴kPA·kPB=—[-—]=-—·—=-1。

∴PA⊥PB。

三、同歸

上述兩種解題策略表面上看相距迢迢，其實它們形異質同、殊途同歸。

考察①②③三個方程，若設k=—，將方程①③聯列即可求出點B的坐標為B（—，—），進而得到kPB·kPA=-1，故有PA⊥PB，這一證明過程即為“設而求之”，需要學生對運算有鍥而不舍的精神。“設而不求”則是將方程②③聯列，得到目標中kPB的表達式，再結合方程①整體消去x0，y0，x1，x1。這一過程的實現往往需要目標的引導，需要一定的代數變形技巧和強大的運算自信。

由此可見，“設而求之”與“設而不求”并無本質上的差別，兩者僅是方程（組）處理的順序和消元的方式不同，前者相當于代入消元，后者相當于整體消元。

解析幾何給幾何研究提供了一個新方法，其方法論價值遠高于其本身，“這個方法的實質，在于用某種標準的方式把方程（方程組）同幾何對象（即圖形）相對應，使得圖形的幾何關系在其方程的性質中表現出來。”因此，滲透解析幾何學科思想乃是學科教學之道。在日常教學研究中應避免發生因為研究對象復雜，抑或過分追求程式化，引起很多枝節，從而淹沒了基本方法的現象，這也正是笛卡爾留給我們的一個教訓。 （他就是因為講了很多復雜的作圖題，把他的關于解析幾何的基本思想淹沒了。）

參考文獻：

[1]（美）莫里斯·克萊因.古今數學思想（二）[M].朱學遠，等譯.上海：上海科學技術出版社，2007.

[2]李鐵安，宋乃慶.高中解析幾何教學策略——數學史的視角[J].數學教育學報，2007（02）：90—94.

（作者單位：江蘇省天一中學）