基于靈敏度分析的動車組轉向架模型修正

賀斐洋，史治宇

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，江蘇 南京 210016)

0 引言

轉向架是機車車輛最重要的組成部件之一，其結構是否合理直接影響機車車輛的運行品質、動力性能和行車安全。轉向架技術是靠輪軌接觸運行的現代機車得以生存發展的核心技術之一。轉向架主要用于承受動車組的質量，并把輪軌接觸處產生的輪周牽引力傳遞給車架牽引列車前進。當路面不夠平整時緩沖路面帶給列車的沖擊；當鐵軌轉彎時引導列車順利完成變向；當列車進站或者遇到緊急情況時能夠產生制動力令列車停止。因此獲得高精度的動車組轉向架有限元模型對試驗和生產都能夠帶來重要的指導意義。本文利用轉向架模態試驗的測試信息來修正初始有限元模型，使有限元模型和試驗模型之間的誤差在給定范圍內達到最小，為后續的頻響分析和疲勞分析提供了更加可靠的有限元模型，進一步提高了仿真的準確性。

根據修正對象的不同，模型修正方法可以劃分為矩陣型修正方法[1]和參數型修正方法[2]兩類。本文采用的修正方法是基于靈敏度分析的參數型修正法。其基本思路是通過構造理論模型與實際模型之間在相同條件下動力特性的誤差，然后選擇修正參數進行修正，使該誤差最小化來達到修正的目的。其中，基于模態頻率的修正方法修正精度較高，但試驗模態技術通常只能獲得結構低價模態特性，當修正參數較多時，方程亞定，Chen[3]對此類問題進行了研究?；诠逃姓裥偷男拚裥蛿祿銐虻R別精度較差，因此振型在模型修正中使用較少?；谀B置信度(MAC)的修正方法對噪聲的敏感度小于振型，但可利用的數據數目同樣不超過識別的模態數。Dascotte[4]對方程的性態問題做了深入研究，Friswell等[5-6]對基于模態參數的模型修正方法各個方面問題進行了研究，以推動模型修正技術向前發展。

本文通過MATLAB編程調用NASTRAN靈敏度計算分析結果，采用二次規劃優化算法，以模型材料的彈性模量和模型各主要部分殼單元的厚度為修正對象進行了模型修正。進而獲得了高精度的動車組轉向架有限元模型。

1 模型修正理論

結構的有限元模型總共有n個設計參數，其中前m個為待修正的參數，設計參數可以表示為：

P=P1,P2…Pm…PnT

(1)

對應的特征量可以表示為：

f=FK,M=FfKp,fMp=fpp

(2)

其中f可以是結構任意的特征量，如模態頻率、振型等。模型修正問題轉化為如下的優化問題：

(3)

其中{fe}和{fpp}分別代表結構動態特性的試驗值與分析值；Rp稱之為殘差項；VLB、VUB分別代表結構設計參數的上限和下限；而Wf代表結構各個特征量之間的加權矩陣。

一般情況下，{fpp}是設計參數的非線性函數。為了將非線性問題轉化為線性問題，在初始設計點將{fpp}對待修正參數進行一階泰勒展開為：

fpp=fpp0+SΔP

(4)

式中p0是設計參數初始值。

(5)

S代表結構特征量對設計參數的靈敏度矩陣。Δp=p-p0代表設計參數的誤差。利用拉各朗日乘數法，式(3)的極值問題轉化為如下的線性問題。

WfSΔp=Wffe-fpp0

(6)

式(6)就是常見的模型修正方程，且是一個迭代優化的過程。具體過程如圖1所示。

圖1 模型修正流程圖

2 靈敏度分析

本文中由于試驗主要是得到了構件的固有頻率和固有振型，所以重點介紹這兩者的靈敏度[7]。特征值(固有頻率的平方)的靈敏度可以直接獲得解析式，在求解特征值靈敏度問題時，主要有2個重要的約束方程：特征方程和加權正交方程，即：

K-λrMφr=0

(7)

(8)

由式(7)和式(8)可推得結構的第r階特征值對結構的第j個設計參數的導數為：

(9)

計算振型對設計參數的偏導數的典型方法是Nelson法。

令：

(10)

則：

(11)

(12)

(13)

求得方程(11)的特解為：

(14)

(15)

將式(12)帶入式(15)，得到：

(16)

這就求得模態振型關于設計參數的偏導數。

由于振型通常不作為修正目標，定義振型相關系數如下：第i階試驗振型與第j階計算振型的振型相關系數即模態置信度MAC計算式為：

(17)

MAC值是一個介于0～1之間的量，MAC=1代表試驗振型和有限元振型完全匹配，MAC=0代表試驗振型和有限元振型完全不相關。將式(17)兩端對結構的第n個設計參數求導得：

(18)

3 動車組轉向架模型修正

3.1 模型介紹

動車組轉向架有限元建模包括輪對、構架等關鍵部件，以及轉向架各部件之間的連接。本文僅對轉向架構架建立縮比模型，并對其進行了一定簡化。該構架長700mm，寬780mm，高85mm，總重22.8kg。主體結構為鋼制，不同部件通過焊接相連。構架模型如圖2所示,A處是左右對稱的2根等強度承重側梁，這是轉向架的主要承力構件，受力部分主要集中在側梁兩端的耳片上。B處是2根等截面橫梁，這是構架的主要連接部件，C處代表左右2根空氣彈簧梁，D處代表6個剎車懸掛板、E處代表2根縱向連接梁、F處代表2個齒輪盒。其中A，C，D，E，F都通過焊接的方法連接在橫梁B上。

圖2 動車組轉向架模型

構架主要由薄壁結構組成，所以選用殼單元建模。首先在建模時，對模型進行幾何處理，把倒角、圓角部分去除，一些次要邊界、影響不大的細小孔洞、凹坑直接填滿，使模型表面盡量光滑，以保證網格質量。之后抽取中面，抽取中面的過程中把厚度接近的部分賦予同一種屬性，由于這些厚度屬性所代表的薄壁部分經過了建模簡化和幾何處理，并不是嚴格意義上的等厚度，所以這些殼單元的厚度屬性是主要修正目標。針對轉向架模型，共設置了10個殼單元屬性，如圖3所示，圖中不同的顏色代表不同的厚度屬性。其中，由于左右2根側梁是轉向架的主要承力構件，所以屬性的劃分比較細致。側梁截面上下板厚度、左右板厚度，側梁兩端截面厚度，側梁兩端耳片厚度，以及側梁上表面突出的4個連接件厚度(綠色部分)分別賦予屬性。另外2根橫梁賦予一個屬性，2個空氣彈簧梁賦予一個屬性，縱向連接梁，剎車懸掛板和齒輪盒賦予一個屬性(本刊為黑白印刷，文中有色部分如有疑問，可咨詢作者，下同)。

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圖3 動車組轉向架屬性圖

3.2 修正參數篩選

建立好初始有限元模型后，在Nastran中對轉向架構架有限元模型進行模態分析。有限元模態分析和試驗分析的匹配情況如圖4所示。

圖4 構架模型試驗/有限元模態匹配圖

計算所有厚度屬性以及材料楊氏模量的靈敏度，篩選其中靈敏度較大的量進行修正，最后確定了6個待修正參數，如表1所示。可以看出，影響轉向架固有特性的量主要集中在側梁和橫梁上，而試驗中用以測量振型的測點也主要布置在橫梁和側梁上，試驗與有限元分析的結果相互吻合。

3.3 模型修正計算與分析

設置加權方法為：Wλ=0.8,WMAC=0.2。以1∶7階固有頻率和1∶7階MAC值為目標，對轉向架構架進行模型修正。修正結果如圖5-圖9所示。

表1 待修正參數

圖5表示的是各個參數的倍數隨著迭代步數增加的變化情況。因此修正之后，各參數的修正值是表1中各參數的初始值乘以圖5中各參數最后一步的迭代結果。圖6表示的是前7階有限元分析模態頻率和試驗分析模態頻率的誤差隨著迭代步數增加的變化關系。結合表2可以看出，修正前，模態頻率最大誤差是：11.8 %，最小誤差：1.1 %，平均誤差：5.3%。修正后，模態頻率最大誤差：3.8%，最小誤差：0.2%，平均誤差：2.0%。除了第1階模態頻率誤差略有增大，其余階次的模態頻率誤差都減小了。

圖5 參數收斂圖(P1至P6依次代表表1中 從上到下第1至6個參數)

圖6 前7階模態頻率收斂圖(W1至W7依次表示 第1至第7階固有頻率)

圖7 MAC值收斂圖(MAC1至MAC7依次表示 第1至7階MAC值)

圖8 修正后試驗/有限元模型模態匹配圖

圖9 靈敏度矩陣圖

模型修正顯著減小了模態頻率的誤差。圖7表示的是前7階MAC值隨著迭代步數增加的變化關系。可以看出除了第5階MAC值外其余MAC值都在0.9以上，第5階MAC值也在0.8以上。前7階有限元振型和試驗振型匹配良好。圖4和圖8分別表示修改前后有限元模型和試驗模型的模態匹配情況?？梢园l現，修正后模態匹配關系顯著改善。圖9表示的是有限元分析模態頻率對各個參數的靈敏度。第1個參數的靈敏度最大，代表的是材料的彈性模量，其他的參數代表的都是殼單元的厚度。由于彈性模量的變化影響到所有單元的剛度矩陣，而殼單元厚度的變化只會影響到部分單元的剛度矩陣，所以第1個參數的靈敏度顯著大于其他參數。另外，材料彈性模量一般可以通過試驗獲得，是比較可靠的數據，在模型修正中一般不產生變化，從圖5中可以看出，參數1基本在1附近，變化很小。其余修正參數都代表各個部分殼單元的厚度，由于幾何模型是通過抽中面的方式生成的，而模型各個部分并不是嚴格意義上的等厚度，所以其余參數的波動很明顯。

轉向架有限元模型和試驗模型的差別主要在于有限元模型在建模過程中，為了保證網格的質量，會對工程結構中的孔槽、倒角、凹痕等結構進行幾何處理、簡化。另外各部件之間的連接方式也是產生差異的關鍵所在，試驗模型中各個零件之間是焊接在一起的，而有限元模型中各零件之間是通過節點對節點的方式剛接在一起的，這樣就不可避免地產生了誤差。而通常對試驗件進行模態分析又是必不可少的試驗過程，所以用試驗數據來修正有限元模型，為之后的頻響分析、疲勞分析、損傷診斷等提供更加可靠的有限元模型是十分有必要的。

表2 模態頻率初始值、修正值與目標頻率對比

4 結語

本文基于靈敏度分析的模型修正方法對動車組轉向架模型進行了模型修正。

1) 對基于靈敏度分析的模型修正技術進行了歸納和總結，介紹了振型相關分析，模態頻率、模態振型和振型相關系數的靈敏度計算方法。

2) 本文利用Nastran可靠的模態分析和靈敏度分析功能，在Matlab的GUI平臺上開發了模型修正軟件ModelUpdating。

3) 基于靈敏度分析，運用模型修正軟件ModelUpdating對動車組轉向架模型進行了模型修正。修正之后，有限元模型前7階頻率與試驗值的誤差在5%以內，前7階振型匹配良好，結構的固有特性能夠收斂到試驗模態，能夠反映結構的振動特性，修正后的有限元模型滿足工程精度需求。相比于初始有限元模型，修正后的動車組轉向架有限元模型為工程上的進一步研究，諸如損傷診斷、疲勞分析等，提供了更高精度的有限元模型，對往后的試驗和工程應用具有指導作用，可以減少試驗成本。

參考文獻:

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