基于改進引力搜索算法的橋式起重機主梁優化

侯驊玲，王宗彥，楊擴嶺，李志雄

(1. 中北大學 機械與動力工程學院，山西 太原 030051； 2. 山西省起重機數字化設計工程技術研究中心，山西 太原 030051)

0 引言

橋式起重機作為一種生產實際中使用廣泛的起重設備，在我國各領域生產制造過程中發揮著重要作用，因為我國起重機設計普遍處于傳統設計階段，在設計中選取的安全系數過大，使得起重機主梁結構笨重，耗費材料過多。在提倡綠色環保的趨勢下，對橋式起重機主梁進行科學輕量化設計已十分必要[1]。輕量化設計的目的是將起重機質量、性能和成本等因素綜合考慮進行優化。橋式起重機主梁結構大多為箱型梁式，目前，箱型主梁的靜態優化方法有結構優化法和智能算法優化法。已成熟運用到主梁結構輕量化中的算法有粒子群算法、遺傳算法和蜂群算法等，大多研究者通過控制主梁截面尺寸參數來進行優化以減輕起重機主梁的質量。楊丁[2]應用中心引力搜索算法優化設計主梁參數，仿真結果驗證了算法的可行性，優化率達14.5%。李志雄[3]通過引入自適應步長、差分進化法等策略改進人工蜂群算法，并運用到主梁中進行優化，通過ANSYS分析軟件分析優化后的結果，優化率達10.52%。

萬有引力搜索算法(GSA)是由Esmat Rashedi等學者在2009年提出的一種基于萬有引力定律的新型群體智能優化算法[4]。牛頓萬有引力定律指出，萬物之間都存在著引力，從而個體間存在著相互作用，能夠產生群體性智能，萬有引力搜索算法正是利用了這一點進行優化搜索。李鵬[5]將改進的引力搜索算法運用于微網運行優化中；肖兒亮[6]研究了引力搜索算法的實用性，并將其應用到電力系統最優潮流計算中；李欣欣[7]將引力搜索算法與粒子群算法混合，通過對非線性系統模型優化，驗證了混合算法的有效性。同其他算法一樣，基本GSA算法也存在收斂早、局部搜索能力差等問題，本文針對以上問題將算法進行改進，并將改進的GSA算法應用于橋式起重機主梁的輕量化。通過有限元分析結果，驗證了改進引力搜索算法的有效性和可行性。

1 萬有引力搜索算法

1.1 基本萬有引力搜索算法

引力搜索算法的基本思想源于物理學的萬有引力定律。引力作用的大小與個體的質量成正比，與個體之間的距離成反比，質量較大的個體產生的引力對其他個體影響巨大。在引力的不斷作用下，整個群體逐漸向質量最大的個體方向靠近，最終搜索到問題的最優解[8-9]。

假設在一個D維空間中存在N個群體，第i個個體的位置為：

(1)

1) 慣性質量計算

在GSA算法中，個體的慣性質量與個體所對應的適應度函數值有關。當某個個體慣性質量M較大時，代表其占據較優的位置，代表較優的解，引導其他質量較小的個體向其移動。Mi(t)表示第t次迭代時搜索個體的質量。個體質量Mi(t)根據式(2)進行計算。

(2)

式中：fiti(t)表示個體Xi的適應值，本文求最小值問題；best(t)表示第t次迭代時的最佳適應值，即最小目標函數值；worst(t)表示第t次迭代時的最差適應值，即最大目標函數值，根據式(3)計算。

(3)

2) 引力計算

在第t次迭代時，將個體j在第k維上受到個體i的引力定義如下：

(4)

式中：ε表示一個非常小的常量；G(t)為第t次迭代的萬有引力常數的值，具體如式(5)所示。

G(t)=G0×e-at/T

(5)

式中，G0表示第t0次迭代時G的取值，是一個常數，G0=100；a=20，T為最大迭代次數。

Rij(t)表示個體Xi和個體Xj的歐式距離，如式(6)所示。

Rij(t)=‖Xi(t),Xj(t)‖2

(6)

第t次迭代時，在第k維上個體i所受的合力如式(7)所示。

(7)

式中，randj表示在[0,1]之間一個隨機變量，且服從均勻分布。kbest為個體按質量從大到小排序位于前k個的個體，k的取值是隨迭代次數線性減少的，初值為N，終值為1。

3) 位置更新

根據Newton第二定律，通過式(7)中所計算到的合力，個體i在第k維上獲得的加速度如式(8)所示。

(8)

個體通過式(8)計算所得的加速度在每一次迭代時更新個體i的速度和位置，如式(9)所示。

(9)

將式(4)-式(8)代入式(9)中，位置更新方程如式(10)所示。

(10)

1.2 萬有引力搜索算法的改進

GSA算法是通過個體之間的引力相互吸引來完成尋找最佳位置的過程，其個體具有強大的全局搜索能力。但隨著迭代次數的增加，在種群收斂集中的同時，個體之間越來越相似，形成局部最優的狀況，使得種群尋找最優解變得困難。故需要通過改進算法來提高尋找最優解的能力。

a) 位置更新公式的改進

在現有的智能優化算法中，雖然微粒群優化算法和引力搜索算法的原理有著本質的區別，但是這兩種算法都采用了基于速度和位置的計算模型[10]。微粒群算法的改進方法中，學者將慣性權重因子或者收縮因子引入到速度更新公式，這些因子皆改善了算法的優化新能。本文引用的改進GSA算法是將系數s添加到位置更新公式中，通過改進個體新的位置式如式(11)所示。

(11)

研究表明，位置更新公式加入系數后，改善了局部開發能力較弱的問題，顯著提高了基本GSA算法的優化性能。這個系數可以是常數或函數，根據已定的目標函數，令s值為1.2。

b)慣性質量公式的改進

由式(2)中可以看出，適應值的變化對慣性質量的影響很大。其中慣性質量大的個體，對其他個體的吸引力越大，也就能使個體向最優的位置靠近[11]。因此，當個體增加一個權值后，會使個體的慣性質量的大小放大化，慣性質量大越大，慣性質量小越小，從而提高算法的搜索效率。將權值wi(t)及改進的慣性質量Mgi(t)如式(12)所示。

(12)

Cmax和Cmin分別表示權值的最大值和最小值，在文獻[12]中研究表明，慣性權值Cmax=0.9，Cmin=0.6時算法性能最好。Mmax和Mmin分別表示慣性質量的最大值和最小值。

改進的GSA算法的主要實現步驟如下：

1) 識別搜索空間；

2) 設置基本參數，初始化群體中各個體的位置，個體的初始速度為0；

3) 計算每個個體的適應度值；

4) 更新萬有引力常數、慣性質量、最優及最差適應度函數；

5) 計算每個個體的質量和受到的引力；

6) 計算個體的加速度和速度，更新位置；

7) 若未滿足終止條件，返回步驟2)；否則，輸出最優解。

改進后的算法流程如圖1所示。

圖1 改進萬有引力算法流程

2 主梁優化數學模型

本文以某臺雙梁全偏軌式橋式起重機的主梁為優化對象進行分析，跨度為L=25 500mm，起重量為Q=32t，材料為Q235鋼。

1) 優化變量及目標函數的建立

主梁優化旨在滿足起重機主梁設計要求的前提下，通過減少主梁材料的使用，使主梁的質量減輕，實現主梁輕量化目標。將橋式起重機箱形主梁簡化為等截面梁進行計算，忽略橫縱向加強筋板的作用[13]。由計算知，在垂直平面內，小車滿載運行至主梁的跨中截面時，其彎矩最大，因此選跨中截面為最危險截面。所以本文以主梁的跨中截面積作為優化目標。主梁截面模型如圖2所示。目標函數數學表達式如式(13)。

x1—腹板高度；x2—蓋板寬度；x3—主腹板厚度； x4—副腹板厚度；x5—蓋板厚度圖2 箱形梁截面圖

(13)

2) 約束條件的確定

在設計計算中可知，主梁跨中處的應力較為集中且值大，因此在約束時應該使其值小于許用應力，還應滿足剛度、強度約束、穩定性約束等。

從材料力學的角度出發，以《起重機設計手冊》與國標GB/T3811-2008中的各項準則為依據，確定箱梁結構動態優化設計過程中的約束條件。

① 尺寸約束

根據起重機的起重量、跨度等基本參數，再結合國標GB/T3811-2008中的設計準則，確定的5個變量的厚度尺寸取值范圍如表1所示，單位為mm。

表1 主梁截面參數選取范圍 mm

② 強度約束

(14)

式中：MH為箱型梁跨中截面水平方向載荷產生的彎矩，MV為箱型梁跨中截面垂直方向載荷產生的彎矩。Ixx為垂直方向的慣性矩，Iyy為水平方向的慣性矩。

③ 剛度約束

(15)

式中[f]是許用垂直靜剛度，[f]=L/700,L為主梁跨度。

④ 穩定性約束

(16)

(17)

(18)

3 實例分析

3.1 分析方案

文中用基本遺傳算法、基本GSA算法和改進GSA算法對主梁進行輕量化設計，以目標函數為適應度函數，編制 Matlab程序來仿真函數的迭代過程。實驗選取群體數量為N=100，迭代次數為max_it=300，3種算法各進行30次迭代試驗。圖3為隨機選取的某次最優適應度函數值變化曲線對比圖。

圖3 最佳目標值變化曲線對比圖

圖3適應值對比圖顯示改進的GSA算法和基本GSA算法迭代結果良好。與基本遺傳算法相比，優化效果明顯。基本GSA算法最優解收斂速度比遺傳算法快，且獲得的最優解比遺傳算法的最優解小，由此驗證了GSA算法的優越性和有效性。同時從圖中可以得到改進的GSA算法搜索結果要優于基本GSA算法，改進后的GSA算法得到最優解的迭代數要比基本GSA算法收斂到最優解的迭代數早，收斂性能明顯增強。

根據起重機手冊中相關規定，對優化后的數據進行圓整，并驗證圓整后的數據是否符合約束條件，數據均符合約束規定，選擇其中一組優化數據如表2所示。文中優化對象為偏軌箱形梁，優化后的蓋板數據為下蓋板參數，而上蓋板的寬度根據公式b上=b下+70mm得到。

表2 不同優化設計方案對比分析

從表2看出，在滿足實際工程約束條件的基礎上，改進GSA算法的優化效果良好，其優化目標函數值(即主梁截面面積)比初始值減少了19.14%，比基本遺傳算法減少了5.56%，比基本GSA算法減少了1.35%，優化結果使得橋式起重機主梁重量減輕，達到優化設計的目的。

3.2 驗證結果可行性

實驗選取的起重機小車自重為96 000kg，起升質量為32 000kg，實驗分析工況為小車處于主梁跨中位置時的受力情況，因此將小車自重和起升質量換算成靜力施加在主梁跨中位置，主梁的約束形式為兩端簡支。

使用改進GSA算法優化得到的主梁截面參數值對橋式起重機主梁進行建模。并使用ANSYS Workbench有限元分析軟件對改進前后的主梁結構進行分析。在主梁有限元模型的前處理過程中對改進前后的主梁結構進行相同的材料屬性設置、網格劃分以及載荷和約束的施加。分析結束得到主梁改進前后的應力云圖和變形云圖，如圖4和圖5所示。

圖4 優化前后主梁應力分析對比圖

圖5 優化前后主梁變形分析對比圖

主梁材料選取為Q235鋼，其許用應力為σ=140MPa。圖4中主梁優化前最大應力為69.696MPa,主梁優化后最大應力為88.506MPa，皆小于許用應力，滿足應力約束條件。本文優化對象的工作級別為A6，其許用垂直靜剛度為[f]=31.875mm。從圖5中可以看出優化前最大變形為15.879mm，優化后最大變形為19.462mm，遠遠小于許用垂直靜剛度規定，符合靜剛度要求。有限元分析結果證明改進后的主梁結構在小車位于跨中位置時所受的應力和應變都有所增大，但主梁依然符合設計及使用要求，因此通過對比圖中的主梁優化前后的有限元分析結果，可以驗正改進GSA算法在橋式起重機箱型主梁優化中的可行性和準確性。

4 結語

1) 本文分別在基本GSA算法中的位置更新公式和慣性質量公式引入了常系數和慣性權值，并首次將改進的GSA算法應用于起重機主梁輕量化研究方面。

2) 通過3種算法300次數的迭代，輸出各參數的優化結果，其中改進GSA算法優化率達19.14%，比遺傳算法和基本GSA算法的優化效果明顯，減小了箱梁截面積，起重機質量得以減輕。通過對比優化前后應力應變的分析結果，檢驗了算法的可行性。

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