基于MATLAB Robotics的SCARA機器人運動學分析及軌跡規劃

劉長柱，曹 巖，賈 峰，高 碩，韓 沖

0 前言

機器人運動學分析是機器人研究和設計的基礎，是機器人研究中動力學分析、運動控制及機器視覺研究等內容的前提[1]。機器人技術日新月異，機器人運動學仿真和軌跡規劃在機器人設計、控制方面具有重要意義。對于機器人運動系統的研究和確立，很大程度上影響了機器人系統整體的基本性能[2]。SCARA機器人關節較少，運動靈活，精度較高，經常用來完成一些搬運、裝配任務。由于機器人價格昂貴，不便用實物進行試驗，因此在進行裝配任務之前需要規劃其運動軌跡，對機器人進行運動學仿真，研究機器人的動態性能。

關節式機器人由一系列關節和連桿按任意的順序連接而成，根據關節與連桿參數進行矩陣變換，利用高斯消去等方法求解變換矩陣的逆，推導出機器人運動學方程。本文以四自由度SCARA機器人為研究對象，利用D－H參數法建立SCARA機器人運動學模型，建立各關節坐標，求出正逆解表達式。然后借助MATLAB Robotics工具箱，驗證SCARA機器人運動學參數的正確性，研究運動學方程和進行軌跡規劃。求解各個機械臂運動參數變化，利用MATLAB工具箱，減少原本繁瑣的數學計算，具有一定的實際研究意義。

1 SCARA機器人運動學分析

機器人運動學分析[3]是通過分析機器人各連桿參數進一步計算末端執行器的位姿。接下來通過D-H參數法建立SCARA機器人每個連桿的笛卡爾坐標系和連桿參數，利用齊次矩陣和D－H參數法建立機器人運動學方程。在SolidWorks軟件下建立SCARA機器人的三維模型，如圖1所示。SCARA機器人具有四個自由度，大臂、小臂的回轉運動，執行末端繞Z軸旋轉和沿Z軸上下移動。SCARA機器人主要完成搬運、裝配等工作，各關節的笛卡爾坐標系如圖2所示，D-H連桿參數表如表1所示。

圖1 SCARA機器人三維模型

表1中，桿件長度為：d1=370 mm，d3=320 mm，關節距離為：L1=300 mm，L2=250 mm。

圖2 SCARA機器人的D-H坐標系

表1 運動參數和關節變量

1.1 正運動學分析

機器人的正運動學的前提是已知各桿件的D-H參數和關節變量，進一步計算機器人末端連桿的坐標系相對于基礎坐標系的位姿。通常i-1Ti表示連桿i-1在連桿i坐標系中的位姿（i=1，2，3，4）。

式 （1） 中， cθi=cosθi， sθi=sinθi， cαi=cosαi，sαi=sinαi， θi為SCARA機器人i關節轉角， αi為繞 xi軸從zi-1轉至zi扭角，di為沿zi-1軸從xi-1軸量至xi軸連桿距離，將各個連桿變換矩陣依次相乘，求解機器人末端執行器正運動學方程：

式（2）為SCARA機器人手臂變換矩陣0T4，指的是末端坐標系相對基坐標系的位姿，也是研究機器人關節運動的重要環節。式（2）中：

其中θ1、θ2、θ3和θ4為已知SCARA機器人各關節轉角，nx、ny、 px、 py和 pz是待求解的機械臂末端執行器位姿，并且 nx=oy， ny=-ox， az=1， si=sinθi，ci=cosθi， sij=sin(θi+θj)， cij=cos(θi+θj)。

1.2 逆運動學分析

機器人的逆運動學分析是使驅動機器人達到期望位置，計算機器人各關節和連桿變量[3-5]。機器人逆運動學分析具有多解性，根據機器人的實際工作環境，得出唯一正確解。利用變量分離法，將單個矩陣的逆T-1n-1（n=1，2，3，4）左乘上面所列方程兩端，令對應元素對應相等，可求出各關節變量值。

（1）求關節變量1

（2）求關節變量2

（3）求關節變量d3

令左右矩陣中的第三行第四個元素（3.4）相等，可得：

式（5）中：d3為關節變量，即沿z2軸從x2軸量至x3軸連桿距離，pz是已知的機械臂末端執行器位姿。

（4）求關節變量θ4

令左右矩陣中的第二行第一個元素（1.1，2.1）相等，即：

式（6）中：nx和ny是已知的機械臂末端執行器位姿，θ1、θ2和θ4待求解的SCARA機器人關節1、2和4轉角。

2 SCARA機器人軌跡規劃及仿真

軌跡規劃是根據機器人執行的命令，滿足一定的束縛，分析機器人手臂關節在工程運動中各關節轉角的運動變化。機器人的軌跡規劃對機器人運動速度、精度、沖擊和振動有重要影響，一種好的軌跡規劃方法可以提高機器人的穩定性、工作效率[6]。

2.1 SCARA機器人模型

（1）在進行運動學仿真前，根據表1的參數，調用MATLAB工具箱中Robotics Toolbox的Link和Robot函數創建機器人對象[7]，將機器人命名為‘SCARA’，L=Link([al?phaA theta D sigma]，CONVENTION)，

＞＞L1=LINK([0 0 0 370 0]，'mod');

＞＞L2=LINK([0 300 0 0 0]，'mod');

＞＞L3=LINK([0 250 0 0 1]，'mod');

＞＞L4=LINK([0 0 0-500 0]，'mod');

＞＞S=robot({L1，L2，L3，L4}，'SCARA');

參數CONVENTION可以取‘standard’和‘modified’，其中‘standard’代表采用標準的D-H參數，‘modified’代表采用改進的D-H參數。參數‘alpha’代表扭轉角，參數‘A’代表桿件長度，參數‘theta’代表關節角，參數‘D’代表橫距，參數‘sigma’代表關節類型：0代表旋轉關節，非0代表移動關節。

（2）假使初始狀態機器人各關節角度為零。通過如下程序，即可顯示θi=0時，SCARA機器人的三維圖，如圖3所示。

圖3 SCARA機器人三維模型圖

＞＞plot(S，［0 0 0 0］)

（3）通過drivebot函數可以驅動機器人運動，如圖4所示，通過調節滑塊按鈕可以觀察機器人末端相對于基坐標系的空間位置變化情況。

＞＞drivebot(SCARA)

圖4 SCARA機器人關節驅動圖

2.2 軌跡規劃及仿真

假設該機器人的各關節的初始角度為Q0=[0 0 0 0]，末關節角度為Q1=[pi/2 pi/4 0-pi/4]。利用工具箱中[Q QD QDD]=JTRAJ(Q0，Q1，T)命令來對多關節機器人進行仿真。仿真程序如下：

圖5 機器人末端在X、Y、Z方向上的位移

＞＞t=0∶0.056∶2;%時間向量

＞＞Q0=[0 0 0 0];%初始位姿

＞＞Q1=[pi/2 0 pi/4-pi/4];%末位姿

＞＞[Q QD QDD]=JTRAJ(Q0，Q1，t);%關節空間規劃

＞＞T=FKINE(SCARA，Q);%機器人運動學正問題求解

＞＞ subplot(3，1，1);

＞＞plot(t，squeeze(T(1，4，∶)));

＞＞xlabel('Time(s)');

＞＞ylabel('X(m)');

…%機器人末端的運動軌跡曲線如圖5所示。

其中，參數Q為從初始狀態Q0到末狀態Q1的關節空間規劃軌跡，TR是Q定義的每個向前運動學的正解，QD和QDD為返回的規劃軌跡的速度和加速度。

用MATLAB Robotics中的plot函數對各關節運動軌跡進行仿真，編程得出SCARA機器人關節角位移、速度和加速度規劃軌跡曲線如圖6所示。部分程序如下：

＞＞subplot(2，2，1);

＞＞plot(t，Q(∶，1));

＞＞xlabel('Time(s)');

＞＞ylabel('joint1(rad)');

＞＞subplot(2，2，2);

＞＞ plot(t，Q(∶，2));

＞＞xlabel('Time(s)');

圖6 關節空間軌跡規劃仿真結果

＞＞ylabel('joint2(rad)');

…

結合各關節的運動仿真及圖6可得出，關節機器人從初始狀態到末狀態過程中，運動平穩，速度和加速度變化平滑，無突變。表明機器人手臂在工作過程中沖擊較小，SCARA機器人連桿參數設計合理，可以達到期望的效果。

3 運動學正逆問題的驗證

3.1 運動學的正問題

機器人運動學正問題給定關節角度變量Q，求末端執行器相對基座的位姿矩陣0T4。運用MATLAB對0T4進行求解，取各連桿變量：Q=[pi/4 pi/2 0-pi/4]，根據前面推導的方程可求得末端執行器的位姿矩陣0T4，用fkine函數TR=FKINE(SCARA，Q)，輸入上述關節變量值，直接得到機器人末端執行器的位姿矩陣。兩者結果相等，表明運動學正問題求解無誤。

3.2 運動學的逆問題

機器人的運動學的逆問題與正問題不同具有復雜性。通過ikine函數設定初始值，運用數值迭代法經過多次迭代來求解關節角，可得到逆運動學的唯一解[8-9]。調用Q=IKINE(SCARA，T，Q)函數，實現機器人運動學逆問題的求解。MATLAB軟件為機器人的研究提供了強大的分析和仿真能力，為之后的機器人動力學分析和軌跡規劃奠定了基礎。

4 結論

本文以SCARA四自由度機器人為研究對象，借助MATLAB Robotics Toolbox工具箱，求解機器人的運動學方程和軌跡仿真。結果表明：（1）通過移動手柄位置，可以觀察機器人末端執行器運動狀態；（2）通過規劃機器人運動軌跡，得出末端執行器軌跡曲線；（3）驗證了運動學正逆解的正確性，表明機器人結構參數設計合理。

參考文獻：

［1］劉鵬，宋濤，贠超，等.焊接機器人運動學分析及軌跡規劃研究［J］.機電工程，2013（4）：390-394.

［2］NIKU S B.孫富春，朱紀洪，劉國棟，等譯.機器人學導論：分析、控制及應用（第2版）［M］.北京：電子工業出版社，2013.

［3］孫浩，趙玉剛，姜文革，等.碼垛機器人結構設計與運動分析［J］.制造業自動化，2013（14）：66-68.

［4］劉萍，陳瑩.五自由度關節式機械手運動學分析及仿真［J］.制造業自動化，2011（19）：9-11.

［5］張普行，嚴軍輝，賈秋玲.六自由度機械手的運動學分析［J］.制造業自動化，2011（20）：68-71.

［6］楊成文，張鐵.基于ADAMS的SCARA機器人運動學仿真研究 ［J］.機床與液壓，2011，39（21）：118-121.

［7］謝斌，蔡自興.基于MATLAB Robotics Toolbox的機器人學仿真實驗教學［J］.計算機教育，2010（19）：140-143.

［8］劉輝，毛璐瑤，陳啟愉，等.基于數值模擬技術的SCARA機器人本體設計與優化［J］.機電工程技術，2017，46（6）：1-6.

［9］陳桂，王建紅，湯玉東.KUKA機器人運動學仿真與實驗研究［J］.組合機床與自動化加工技術，2014（8）：94-97.