基于蒙特卡洛法的水力破拆機械臂工作空間分析*

彭見輝，趙天嬋，殷素峰，劉文潔

0 引言

機械臂工作空間是指機械臂末端執行器上坐標系在參考坐標系中所到達的空間點的集合[1]，其大小不僅表示末端執行器的活動范圍，更是體現機械臂工作能力的主要參數[2]。針對工作空間的求解問題，主要是圖解法、解析法和數值法三種，解析法表達式較復雜，不適于工程實際應用；圖解法雖直觀易于工程應用，但求出的工作空間為剖截面或剖截線，且解析法、圖解法對關節較多的機械臂工作空間求解時過于復雜；數值法是將極值理論、優化方法作為基礎，可分析任意形式的機械臂，且隨著計算機軟硬件發展，越來越多的被用來求解分析工作空間[3]。

本文采用一種基于隨機概率分布的數值分析法——蒙特卡洛法，結合MATLAB仿真軟件對混凝土水力破拆機械臂的工作空間進行求解、分析。

1 機械臂結構及參數方程

混凝土水力破拆機械臂結構如圖1，主要由主回轉關節θ1、伸縮關節d2、橫向回轉關節θ3、俯仰關節θ4和橫向移動關節d5五個自由度構成，主回轉關節安裝在機器設備機座上，機械臂末端安裝高壓噴槍，工作時噴槍擺動幅度較小，在求解工作空間時可將噴槍視為豎直。

圖1 機械臂結構簡圖

參照D-H法則在機械臂各連桿末端上建立坐標系[4]，如圖2所示，以o0x0y0z0作參考坐標系，在噴槍頂點建立坐標系o6x6y6z6，與o5x5y5z5相比其位置向x5軸負方向偏移230 mm，dx=-230 mm，y5軸正方向偏移490 mm，dy=490 mm。機械臂各連桿D-H參數如表1所示。

圖2 機械臂D-H坐標系

表1 機械臂連桿D-H參數

表1中各關節D-H參數代入式（1），即知相鄰連桿間齊次變換坐標矩陣0T1、1T2、2T3、3T4、4T5、5T6。

其 中 ， cθi=sinθi， cαi-1=cosαi-1， sθi=sinθi，sαi-1=sinαi-1， i=1,2,???n 。

將0T1、1T2、2T3、3T4、4T5、5T6依次相乘，可得噴槍頂點坐標系o6x6y6z6在參考坐標系o0x0y0z0中的位姿0T6[5]，如式（2）所示。

式（2）中，[nxnynz]T、[oxoyoz]T、[axayaz]T、[pxpypz]T依次為噴槍頂點坐標系o6x6y6z6中的x6、y6、z6、坐標原點o6在參考坐標系o0x0y0z0中的向量表達式。

按矩陣相等原則[6]，則機械臂末端噴槍的頂點在參考坐標系o0x0y0z0中的位姿如式（3）所示。

其中： c13=cos(θ1+θ3)，其余類推。

2 機械臂運動參數驗證

以Robotics Toolbox為工具仿真機械臂從初始位姿至水平破拆位姿的動作，即噴槍頂點從初始位置a=[π/2 0-π/2-π/2 0] ， 至 終 止 位 置 點a=[π/4 200-π/4-π/2 300]，仿真時間 1 s ，采樣時間0.005 s，機械臂最后位姿如圖3，仿真完成后輸出各關節角度或位移變化曲線如圖4。

由圖3、4知，各關節的角度或位移隨時間變化的曲線平滑且無異常點，機械臂各連桿未有位置錯位現象，驗證了機械臂D-H參數及方程的正確。

圖3 機械臂最終位姿

圖4 關節1～5的角度或位移-時間曲線

3 工作空間

3.1 工作空間描述

結合圖1、2及表1，在各關節運動范圍內給定任意一組數據，參照式（3）即可求出噴槍頂點坐標系o6x6y6z6原點在參考坐標系o0x0y0z0中的一個位置，在取盡各關節變量qi(qimin≤qi≤qimax)范圍內所有值后，則所能求出的噴槍頂點坐標系原點在參考坐標系中全部點構成了機械臂末端噴槍的工作的集合W(P)，即是其工作空間[7]。

其中：W(P)代表的集合即為噴槍工作空間，p(q)∶Q?R3為機械臂位置分量，q為關節的變量，Q為關節的取值區間。

按式（3），P=[px,py,pz]T是噴槍頂點相對參考坐標系的位置向量，則W(P)表達式如（5）所示：

3.2 運動空間仿真

在MATLAB中按照蒙特卡洛法求解噴槍工作空間W(P)的思路如下[8]：

1）將表1中各關節qi的D-H參數予以賦值；

2）用rand函數在[0,1]區間內隨機產生的數值視為一個步長，則機械臂中各移動關節隨機值是di=dimin+(dimax-dimin)×rand[0,1]，旋轉關節隨機值是θi=θimin+(θimax-θimin)×rand[0,1]；

3）將2中產生的隨機值代入式（3），解得的數值(px,py,pz)即為噴槍頂點的一個工作位置；

4）考慮圖像精度及運算時間，把2、3的重復次數設定為m=50 000次，則可計算出50 000個噴槍工作點(px,py,pz)；

5）再以scatter函數把噴槍m=50 000個工作點輸出，即可求得機械臂末端噴槍頂點的工作空間。

機械臂末端噴槍的工作空間及其xoy、xoz、yoz三面上的投影如圖5、6、7、8所示。

結合圖1及圖5、6、7、8可知：機械臂末端噴槍頂點橫向最大移動范圍是0～2 630 mm，縱向最大移動范圍是0～1 890 mm（縱向最大移動距離=800 mm+基座高565 mm+機器設備高425 mm），噴槍的縱向最大作業深度是630 mm（最大作業深度=1 720 mm-基座高565 mm-機器設備高425 mm）。

圖5 噴槍三維工作空間

圖6 工作空間xoy面投影

圖7 工作空間xoz面投影

圖8 工作空間yoz面投影

4 總結

（1）以D-H法則構建了各連桿運動學方程，且在Robotics Toolbox中仿真了機械臂從初始位姿至水平破拆位姿的動作過程，輸出了各關節角度或位移隨時間變化曲線，證明了D-H參數及運動學方程的正確；

（2）按照推導運動學方程的結果，完成了在MATLAB中以蒙特卡洛法對機械臂末端噴槍工作空間的仿真、求解，分析得到了噴槍的工作空間及橫向、縱向、最大縱向作業深度等主要參數，對后續機械臂末端噴槍的軌跡規劃和運動控制具有一定參考意義。

參考文獻：

［1］何佳唯，平雪良，李朝陽，等.機器人工作空間求解方法研究及應用［J］.機械傳動，2015，39（10）：68-71.

［2］常軍，南文虎，李玉明.基于蒙特卡洛法的DELTA機器人工作空間分析［J］.機械工程師，2012（09）：14-15.

［3］李保豐，孫漢旭，賈慶軒，等.基于蒙特卡洛法的空間機器人工作空間計算［J］.航天器工程，2011，20（04）：79-85.

［4］趙燕江，張永德，姜金剛，等.基于Matlab的機器人工作空間求解方法［J］.機械科學與技術，2009，28（12）：1657-1661.

［5］蔡蒂，謝存禧，張鐵，等.基于蒙特卡洛法的噴涂機器人工作空間分析及仿真［J］.機械設計與制造，2009（03）：161-162.

［6］朱志明，馬國銳，郭吉昌，等.基于蒙特卡洛法的箱型鋼結構焊接機器人工作空間分析［J］.焊接，2016（09）：1-5.

［7］劉志忠，柳洪義，羅忠，等.機器人工作空間求解的蒙特卡洛法改進［J］.農業機械學報，2013，44（01）：230-235.

［8］李保豐，孫漢旭，賈慶軒，等.基于蒙特卡洛法的空間機器人工作空間計算［J］.航天器工程，2011，20（04）：79-85.