深覆蓋層動(dòng)態(tài)模型中阻尼及邊界條件的研究

張民心，孫萬(wàn)泉

(華北電力大學(xué)，北京 102200)

我國(guó)西部水電資源豐富，地震頻繁，地質(zhì)條件多為深厚覆蓋層基礎(chǔ)，在這種基礎(chǔ)條件上修建水電站廠房，其基礎(chǔ)的振動(dòng)問題尤為重要。因此，建立合理的深覆蓋層動(dòng)態(tài)模型對(duì)水電站廠房動(dòng)力分析有著重要的意義。目前主要的深覆蓋層振動(dòng)響應(yīng)分析方法為Idriss和Seed提出的頻域等效線性法[1]，該方法把深覆蓋層近似地看做水平分層的土層，用一維波動(dòng)方程來描述，但其計(jì)算過程會(huì)受到時(shí)域頻域轉(zhuǎn)化時(shí)帶來的影響而產(chǎn)生不合理結(jié)果[2]。

由于深覆蓋層地質(zhì)材料的非線性[3- 4]，且有限元模型需要建立人工邊界來反映外部土體對(duì)模型的影響，所以阻尼系數(shù)計(jì)算方法的選取，不僅直接影響著土體單元的計(jì)算精度，也影響人工邊界設(shè)置的合理性。本文采用不同的邊界條件及阻尼參數(shù)取值方法分別建立動(dòng)態(tài)模型，通過分析對(duì)比，研究建立更為合理的深覆蓋層動(dòng)態(tài)模型。

1 深覆蓋層阻尼系數(shù)的計(jì)算方法

深覆蓋層模型中土體阻尼系數(shù)的選擇十分重要，本文運(yùn)用下述3種工程中常用的阻尼系數(shù)計(jì)算方法構(gòu)建動(dòng)態(tài)模型，同時(shí)對(duì)比在不同的邊界條件下，何種阻尼系數(shù)計(jì)算方法更為合理。

(1)第一種方法[5]，瑞利阻尼系數(shù)計(jì)算式為：

(1)

在選定土體單元敏感頻率fa和fb的條件下(一般為0.5～5Hz)，假設(shè)敏感頻率邊界處h1=h2，土體阻尼比表達(dá)式為：

(2)

(3)

如圖1所示，計(jì)算得到的土體阻尼比與實(shí)際阻尼比在敏感頻率之間偏小，在敏感頻率范圍之外偏大。但這種方法使用簡(jiǎn)便，可以通過阻尼比直接計(jì)算出土體單元阻尼系數(shù)的大小，簡(jiǎn)化了深覆蓋層動(dòng)態(tài)模型的計(jì)算過程，為較為傳統(tǒng)的計(jì)算方法。

圖1 計(jì)算得到的阻尼比與頻率關(guān)系曲線

(2)第二種方法[6]，Hudson等人提出的阻尼計(jì)算方法考慮了振源的特點(diǎn)，把輸入振源的主頻率參與到運(yùn)算中。在深覆蓋層動(dòng)態(tài)模型計(jì)算中，阻尼系數(shù)的表達(dá)式為：

(4)

(5)

式中，wa—深覆蓋層土體的主頻，wb=nwa；n—大于we/wa的奇數(shù)；we—輸入振源的主頻率。

(3)第三種方法[7]，鄒德高教授提出的阻尼系數(shù)計(jì)算方法，其主要過程如下：

根據(jù)以上方法可知土體邊界頻率處的阻尼比為：

(6)

(7)

求解阻尼比系數(shù)可得：

(8)

(9)

將求得的兩個(gè)阻尼系數(shù)帶入最小阻尼比中得到

(10)

定義阻尼平均值h0:

h0=(hmax+hmin)/2

(11)

把(10)代入(11)得到阻尼系數(shù)為

(12)

(13)

此方法計(jì)算的土體阻尼比與頻率的關(guān)系如圖2所示，依舊與實(shí)際阻尼有一定偏差，但在數(shù)值模擬分析中可以把h0近似看做所有土體單元阻尼比的平均值，既能夠簡(jiǎn)化模型計(jì)算過程，又一定程度上加大了深覆蓋層土體特性對(duì)阻尼的影響。

圖2 計(jì)算得到的阻尼比與頻率關(guān)系曲線

2 深覆蓋層基礎(chǔ)的邊界條件

深覆蓋層動(dòng)力分析涉及半無限域土體的模擬問題，因此合理的人工邊界是解決問題的關(guān)鍵。目前較為常用的邊界條件為在土體側(cè)立面施加豎向約束，但該邊界條件忽略了外部土體對(duì)動(dòng)態(tài)模型的影響，也無法體現(xiàn)深覆蓋層土體邊界的非線性特性，為提高計(jì)算精度，可在側(cè)面邊界節(jié)點(diǎn)上施加粘彈性邊界條件[8]，該方法在邊界節(jié)點(diǎn)上設(shè)置并聯(lián)的阻尼及彈簧元件，改進(jìn)了動(dòng)態(tài)模型中的剛度及阻尼矩陣，實(shí)現(xiàn)了考慮深覆蓋層輻射阻尼及非線性特性的振動(dòng)分析方法。

其中模型邊界法向物理元件的參數(shù)為

(14)

Cn=ρcp∑Ai

(15)

模型內(nèi)切向邊界物理元件參數(shù)為

(16)

Ct=ρcs∑Ai

(17)

式中，G—邊界處土體的剪切模量;ρ—土體的密度;cp、cs—土體的膨脹波、剪切波波速;r—散射源至邊界上節(jié)點(diǎn)的距離；∑Ai—邊界上節(jié)點(diǎn)所代表的面積。

3 深覆蓋層動(dòng)態(tài)模型的振動(dòng)分析

為了對(duì)比不同阻尼計(jì)算方法及邊界條件對(duì)振動(dòng)反應(yīng)的影響，對(duì)某高地深覆蓋層進(jìn)行動(dòng)力反應(yīng)分析，同時(shí)與傳統(tǒng)的頻域等效線性法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

3.1 深厚覆蓋層計(jì)算模型

參考葛偉[9]建立三維土柱模型如圖3所示，土柱由30個(gè)實(shí)體單元組成，計(jì)算采用兩種邊界條件對(duì)比，第一種采用較為常用的底部固定約束四周豎向約束的邊界條件；第二種為四周及底部施加彈簧阻尼元件的人工粘彈性邊界。

圖3 三維有限元土柱模型

研究表明[10]，土體的剪切模量比、阻尼比是關(guān)于剪切應(yīng)變的函數(shù)。有限元深厚覆蓋層動(dòng)態(tài)模型通過該函數(shù)進(jìn)行迭代運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)土層阻尼的非線性特性，且其計(jì)算過程如圖4所示，一般在3～7個(gè)迭代步內(nèi)可實(shí)現(xiàn)收斂。

圖4 深覆蓋層動(dòng)態(tài)模型的計(jì)算方法

3.2 深覆蓋層土體參數(shù)

選取某高地42m深度土層地質(zhì)數(shù)據(jù)，該深覆蓋層由砂土及黏土構(gòu)成，分為15層，覆蓋層各層土體參數(shù)見表1，黏土的動(dòng)剪模量與阻尼比特性如圖5所示，砂土的動(dòng)剪模量與阻尼比特性如圖6所示，振源時(shí)程數(shù)據(jù)采用如圖7所示的6級(jí)烈度地震時(shí)程加速度數(shù)據(jù)。

表1 土層的分層參數(shù)

圖5 黏土剪切模量與阻尼比隨剪切變量關(guān)系

圖6 砂土剪切模量與阻尼比隨剪切變量關(guān)系

圖7 地震動(dòng)時(shí)程數(shù)據(jù)

4 計(jì)算結(jié)果分析

加速度峰值延深度分布對(duì)比如圖8所示。

圖8 加速度峰值延深度分布對(duì)比圖

由圖8可知，雖然采用的阻尼系數(shù)選取方法及邊界條件不同，但計(jì)算結(jié)果的趨勢(shì)均與頻域等效線性法一致，曲線相關(guān)系數(shù)均在0.8以上，驗(yàn)證了本文建立的深覆蓋層動(dòng)態(tài)模型的有效性。其中第一種阻尼計(jì)算方法低估了0.5～50Hz頻率范圍內(nèi)的阻尼，所以該阻尼計(jì)算方法得出的結(jié)果均大于其他方法。Hudson的阻尼計(jì)算方法考慮了振源的影響，補(bǔ)償了部分在敏感頻率區(qū)間被低估的阻尼，所以得出的響應(yīng)加速度峰值較小，更加接近于頻域等效線性法計(jì)算結(jié)果。同樣，鄒德高的阻尼計(jì)算法還一定程度上考慮了土體的頻譜特性，使結(jié)果較其他兩種方法更小，更加合理。

圖9 自由地表處絕對(duì)加速度反應(yīng)譜對(duì)比圖

相較于傳統(tǒng)的剛性邊界條件，粘彈性邊界條件下的計(jì)算結(jié)果均較為合理，更加貼近頻域法結(jié)果曲線。剛性邊界條件下的計(jì)算結(jié)果均較大，當(dāng)采用鄒德高阻尼計(jì)算法時(shí)，求得的自由地表加速度峰值為0.2m/s2，為粘彈性邊界條件下該算法結(jié)果的1.3倍，如圖9所示。以此證明了傳統(tǒng)剛性邊界條件的缺陷，忽略了模型邊界及外部土體對(duì)結(jié)構(gòu)的約束作用，導(dǎo)致模型加速度響應(yīng)結(jié)果偏大，影響了計(jì)算精度。同時(shí)，邊界條件的改變不僅影響著土體加速度峰值的大小，也導(dǎo)致了加速度反應(yīng)譜曲線趨勢(shì)的改變，說明邊界條件與阻尼系數(shù)計(jì)算方法存在一定的耦合關(guān)系。

5 結(jié)論

有限元深厚覆蓋層動(dòng)力分析中，阻尼系數(shù)和邊界條件的選擇直接影響著模型計(jì)算結(jié)果，且具有一定耦合關(guān)系。通過上述計(jì)算結(jié)果的對(duì)比得出，通過在四周及底部施加粘彈性邊界，同時(shí)運(yùn)用鄒德高阻尼計(jì)算方法的耦合方法，能夠較好的反應(yīng)深覆蓋層動(dòng)態(tài)模型的振動(dòng)特性。但由于該阻尼系數(shù)計(jì)算方法仍可能低估敏感頻率范圍內(nèi)阻尼，以及有限元法與頻域方法的計(jì)算差異，使其加速度響應(yīng)峰值略大于頻域法計(jì)算結(jié)果，所以還需要開展更加深入的研究。

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