變權組合模型在衛星鐘差預報的研究

魏自來，朱曉強

(韶關市測繪院，廣東 韶關 512000)

1 引 言

GPS衛星在運行過程中受到諸多誤差的影響，衛星鐘差是其中不可忽視的一項，獲得精確的衛星鐘差是進行高精度導航定位[1]的前提，而IGS站未提供實時和外推的精密鐘差，因此，研究高精度鐘差預報方法具有重要意義。目前，常用的衛星鐘差預報方法主要有二次多項式模型、灰色GM(1，1)模型、ARMA模型和神經網絡模型等[2～4]。GPS衛星在空間中受到不確定的因素影響導致其性能非平穩，單一模型由于局限性難以對衛星鐘差進行高精度的預報，而組合模型能夠一定程度上克服單一模型預報精度不高的缺點，提高預測精度。王永剛等[5]提出最優變權組合模型預測航空運輸事故征候，提高了預報的可靠性；吳海清等[6]將變權組合模型應用于建筑物沉降，取得了較好的效果；任超等[7]將最優非負變權組合模型用于大壩變形監測，一定程度上提高了預測精度。李飛達等[8]提出基于二次多項式、灰色GM(1，1)和ARIMA的最優變權組合模型并將其引入衛星鐘差預報中，有效地提高了鐘差預報精度。本文將采用RBF神經網絡、GM(1，1)模型和ARMA模型的最優非負變權組合模型進行衛星鐘差預報，通過對衛星鐘差進行 3 h、6 h、12 h、24 h不同時長的預報。與經典權組合模型與3種單一模型預報結果作對比分析，證明基于此3種的最優非負變權組合模型能夠對衛星鐘差進行有效的預報。

2 最優非負變權組合預測模型的建立

2.1 RBF神經網絡預測模型

RBF神經網絡能夠逼近任意的非線性函數，可以處理系統內的難以解析的規律性，具有良好的泛化能力，并有很快的學習收斂速度，已成功應用于非線性函數逼近、時間序列分析、數據分類、模式識別、信息處理、圖像處理、系統建模、控制和故障診斷等。利用RBF神經網絡對GPS衛星鐘差進行預報時，選取適合的參數是至關重要的，目前RBF神經網絡參數的確定缺少理論根據，僅憑經驗確定[9]。GPS衛星鐘差數據為一維時間序列，因此選取P個數據作為輸入層，Q個數據作為輸出層，即采用前P個數據預測后Q個數據的模式，再選取H個樣本進行訓練，通過訓練建立的網絡則可以預測所需要的預測值。

2.2 GM(1，1)預測模型

作為一個單變量預測的微分方程模型，GM(1，1)模型的離散時間相應函數呈近似指數規律。衛星鐘差序列經過一次累加，形成一個遞增數列，經過不斷的累加，形成的數據點連線后接近于一個指數函數，通過此指數函數外推到下一個累加的和，再經過累減還原得到衛星鐘差序列的預測值。

2.3 ARMA預測模型

自回歸移動平均模型(Autoregressive Moving Average Models，ARMA)，簡稱B-J方法，由自回歸(簡稱AR模型)和滑動平均模型(簡稱MA模型)為基礎“混合”構成，它是一類常用的隨機時間序列模型。衛星鐘差預報的原理是：將衛星鐘差時間序列視為隨機過程，用一個數學模型來描述或模擬；一旦該模型確定，就可用該鐘差序列的過去值和現值來預測未來值[10]。

2.4 經典權組合預測模型

(1)

(2)

2.5 最優非負變權組合預測模型

(3)

其中ωit滿足：

(4)

設eit、et分別為第i種單一模型和組合預測模型在t歷元的衛星鐘差預測誤差，則：

(5)

(6)

式中，

(7)

確定變權系數的準則有三種：①以相對誤差的最大值達到最小；②以絕對誤差和達到最小；③以誤差平方和達到最小。本文采用第三種以預測誤差平方和最小為目標函數，通過二次規劃方法可以求得各期的權系數，則規劃模型為：

(8)

對上述模型進行求解，可得各預測模型在樣本點處的最優加權系數。據此便可得到組合模型在預測時點處的最優組合權系數ωi，m+j(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)。在確定各預測方法中“預測時點”的組合權重。確定預測時點的組合系數的方法很多，常用的有兩種：

方法一：此方法適合各方法在時點序列上的權系數無明顯規律，樣本量較少的情形。計算公式如下：

(9)

方法二：此方法常用于觀測數據期數較多，且各預測模型在擬合時點序列上的權系數有一定規律性。它利用回歸法擬合權系數函數ω(t)。如取ω(t)=b0+b1t，之后確定各預測時點的組合預測權系數。其步驟如下：

第一步：設第i種預測模型在各擬合時點的最優組合權系數為：ωi1，ωi2，…，ωim。

第二步：以第一步的權系數為樣本數據，用回歸模型求取權系數函數Wi(t)。

第三步：得出權系數函數Wi(t)，再計算t=m+j時各預測模型的組合權系數函數值Wi(m+j)。

第四步：將Wi(m+j)歸一化，得出t=m+j時各預測模型的組合權系數為：

(10)

由于觀測數據量較少，在確定“預測時點”處的最優組合權系數時，采用方法一進行求解。設此時求得的最優組合權系數為Qi，m+j(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，根據式(1)可得下列公式：

(11)

其中，Ym+j為最優變權組合預測模型在第m+j期“預測時點”的預測值，Ui，m+j為各模型此時的預測值。

3 算例分析

本文從IGS官網給出的2016年5月19日～2016年5月20日的精密星歷中選取了G01號衛星的鐘差，通過4種方案進行建模分析：方案1-ARMA預報模型、方案2-灰色GM(1，1)預報模型、方案3-RBF神經網絡預報模型、方案4-基于3種單一模型的經典權組合模型，方案5-基于RBF神經網絡、GM(1，1)模型、ARMA預報模型3種單一模型的最優非負變權組合模型。以衛星2016年5月19日(前96個歷元)的鐘差數據作為訓練樣本，后96個歷元(2016年5月20日)的鐘差數據為測試樣本。分別用3種單一模型和兩種組合模型對鐘差數據進行時長為 3 h、6 h、12 h、24 h的預報，利用均方根誤差作為精度評定，為了便于比較分析，給出了3種單一模型和組合模型對G01衛星的衛星鐘差預報結果殘差圖(如圖1所示)和各種模型在不同時長預報中的均方根誤差(如表1所示)：

圖1 各種單一模型和組合模型不同時長的預報殘差圖

如圖1所示，ARMA模型、GM(1，1)、RBF神經網絡3種組合模型都能對衛星鐘差進行有效預測。在不同時長預報中，3個單一模型都有不同精度，這是因為不同模型在衛星鐘差預報過程中都有各自的局限性。

預報精度對比 表1

結合表1可見：

(1)在3 h預報時長中，3種單一模型及組合模型對衛星鐘差預報結果很好。在單一模型中：RBF神經網絡預報精度優于ARMA模型和GM(1，1)模型，在組合模型中：經典權組合模型預報精度優于3種單一模型，最優非負變權組合模型預報的均方根誤差為 0.026 603 ns，小于RBF神經網絡的 0.085 318 ns以及經典權組合模型的 0.072 776 ns。因此，在 3 h預報時長中，最優非負變權組合模型具有可靠性。

(2)在6 h預報時長中，隨著時間推移中，3種單一模型對衛星鐘差預報結果急劇下降，在這段時間內，RBF神經網絡的預報精度下降得最快，均方根誤差達到0.292 824 ns，GM(1，1)模型取得了較好的預報效果，在組合模型中經典權組合模型也達到了很好的效果，預報精度優于GM(1，1)模型，最優非負變權組合模型預報的均方根誤差為 0.183 017 ns，小于GM(1，1)模型的 0.196 558 ns和經典權組合模型的 0.199 356 ns，表明最優非負變權組合模型適用于中短期預報。

(3)在12 h預報時長中，由圖一可以看出，3種單一模型和2種組合模型對衛星鐘差的預報精度在經過一段時間的急劇下降之后，逐漸趨于平穩，此時，單一模型中GM(1，1)的預報效果最好，其模型預報的均方根誤差為 0.491 518 ns，要優于經典權組合模型的 0.514 975 ns，但是與最優非負變權組合模型的 0.471 233 ns存在差距，在中長期預報中，最優非負變權組合也取得了較好的效果。

(4)在24 h預報時長中，3種單一模型和組合模型預報誤差都有減小趨勢。GM(1，1)在3種單一模型中，取得的最好的預報效果，并且預報精度優于經典權組合模型。最優非負變權組合模型克服了單一模型在衛星鐘差預報中的局限性，減小趨勢表現最為明顯，均方根誤差為 0.457 649 ns，小于 12 h預報時長的 0.471 233 ns。顯然，變權組合在長期預報中具有可靠性。

在對衛星鐘差不同時長的預報中，最優非負變權組合總能取得很好的效果，但是在有的歷元中，變權組合卻與某個模型的預報結果相同。這里有必要解釋一下，在最優非負變權組合中，權重取負數是沒有意義的，最優非負變權組合模型采用目標規劃方法，求解單一模型殘差值在每個歷元處的最優非負變權系數，以達到單一預報模型殘差平方和最小的目的。當某個單一模型的殘差值較大時，組合模型賦予其的權值會很小，甚至是0權值，這樣就會導致最優非負變權的預報結果出現在邊界上的現象，預報結果與某個模型相同。經典權組合模型建模簡單，單一模型的權值是基于殘差序列的方差倒數求解得到的，由算例分析可以看出：經典權組合模型的預報精度分布比較均勻，介于最優與最差之間，在單一組合模型殘差不會過大情況下，經典權組合模型往往能取得較好的效果。對不同模型在衛星鐘差的不同時長預報的分析，隨著時間的推移，預報精度在經過一段時間下降之后，逐漸趨于平穩并有提高的趨勢，在整個過程中最優非負變權組合模型都有最好的表現。表明最優非負變權組合模型不僅適合短期預報，也適合中長期預報。

4 結 論

考慮到各單一模型在衛星鐘差預報中的局限性，本文將最優非負變權組合模型引入到衛星鐘差的組合預報中，組合模型能根據各單一模型的預報效果給各歷元賦予不同的權值，對殘差的調節取得了很好的效果，綜合各種模型的優點，提高了預報結果的可靠性。經算例，組合模型在 3 h、6 h、12 h、24 h的預報中取得了均方根誤差為：0.026 603 ns、0.183 017 ns、0.471 233 ns、0.457 649 ns，證明基于RBF神經網絡、GM(1，1)模型和ARMA模型3種單一模型組合的最優非負變權組合模型在衛星鐘差預報中的可靠性，且適合長期預報。

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