界面接觸效應對不同尺度半導體制冷器性能的影響

桑策，姚雨，申利梅，陳煥新*，孫淼

（1-華中科技大學中歐清潔與可再生能源學院，湖北武漢 430074；2-華中科技大學能源與動力工程學院，湖北武漢 430074）

0 引言

半導體制冷器（又稱熱電制冷器）是一種利用帕爾帖效應的制冷器件，作為固態主動式制冷方式，具有無運動部件、無噪音、易于集成等特性使得其在熱設計領域中備受關注[1-2]。目前廣泛應用于國防、工作、醫療、科研及日常生活等領域[3-4]。半導體制冷器按尺寸可分為常規型和薄膜型。常規型熱電制冷器多用于車載/酒柜冰箱、飲水機、恒溫冷藏箱等小型制冷設備中。薄膜型熱電制冷器多用于高熱流密度芯片的輔助散熱，以及對某個微小區域的局部制冷等[5]。但無論是毫米級的常規型器件，還是微米級的薄膜型器件，其內部金屬片與熱電臂的接觸面上都存在接觸熱阻與接觸電阻（合稱界面接觸效應）。且常規型和薄膜型熱電制冷器的接觸熱阻與接觸電阻對該器件性能的影響不同。因此，研究界面接觸效應對不同尺度半導體制冷器性能的影響十分必要。

目前，國內外研究者主要研究界面接觸效應對半導體發電器和常規型半導體制冷器性能的影響，如李茂德等[6]針對小型半導體溫差發電器中接觸電阻和接觸熱阻的影響進行了分析研究，證明了界面接觸效應降低了半導體溫差發電器的輸出功率和熱電轉換效率，其影響不可忽視。蔡永華等[7]和張寧等[8]針對傳統的半導體溫差發電器件效率模型,提出了考慮接觸效應的改進模型，得出了考慮接觸效應后器件效率隨負載的變化趨勢。GAO等[9-10]著重研究了常規半導體制冷器的接觸電阻和接觸熱阻的改進模型，得到了接觸電阻和接觸熱阻對制冷效率和制冷量的影響。XUAN等[11-12]在GAO的模型基礎上提出了2個新的簡化模型，進一步研究了接觸電阻和接觸熱阻對常規半導體制冷器性能的影響。

綜上所述，針對薄膜半導體制冷器中的界面接觸效應研究較少，本文建立了半導體制冷器的實際數學模型,對比分析了接觸電阻、接觸熱阻對不同尺度半導體制冷器的單位面積制冷量、制冷效率（Coefficient of Performance）的影響，為設計不同尺度半導體制冷器時優化其界面接觸效應提供了理論基礎和優化建議。

1 數學模型

為了研究界面接觸效應對半導體制冷器性能的影響，本文分別建立了不考慮接觸熱阻和接觸電阻的理想模型，以及考慮接觸熱阻和接觸電阻的實際模型。為了推導方便，兩種模型均做出以下簡化：

1）熱電臂中的傳熱為一維穩態導熱；

2）熱電臂側面絕熱，與外界無熱交換；

3）忽略湯姆遜效應的影響；

4）假定兩熱電臂的電阻率、熱導率都不隨溫度變化。

1.1 理想模型

不考慮熱電臂與冷、熱端基板之間的接觸熱阻和接觸電阻時，半導體制冷器的理想模型示意圖如圖1所示。

理想的半導體制冷器的數學模型為

式中：

Qc——半導體制冷器的冷端制冷量，W；

Tc——半導體制冷器的冷端溫度，K；

Th——半導體制冷器的熱端溫度，K；

?——半導體制冷器的制冷效率；

P——半導體制冷器的輸入功率，W；

α——熱電臂的賽貝克系數，V/K；

K——熱電臂材料的熱導，W/K；

R——P型和N型熱電臂的總電阻，Ω；

I——工作電流，A。

對式(3)的?求極值，可得到最大的制冷效率：

其中，TM為冷熱端平均溫度，Z為熱電材料的優值系數，它們的表達式分別為：

式中：

ρ——熱電材料的電阻率，Ω?m；

λ——熱電材料的熱導率，W/(m?K)。

圖1 理想的半導體制冷器示意圖

1.2 實際模型

考慮熱電臂與冷、熱端基板之間的接觸熱阻和接觸電阻時，半導體制冷器的實際模型示意圖如圖2所示。與理想模型圖1的區別是，圖2的熱電臂上下分別與2塊導熱卻不導電的陶瓷基板相連。

1.2.1 僅考慮接觸電阻的模型

考慮接觸電阻后，熱電臂與金屬片之間的接觸電阻Rc為：

P型和N型熱電臂的總電阻R為：

式中：

l——熱電臂長度，m；

A——熱電臂截面面積，m2；

ρc——熱電臂與金屬片間的接觸電阻率，Ω?m2。

n為接觸電阻比，表達式為：

熱電材料的優值系數ZD和制冷器的制冷效率?1為：

圖2 實際的半導體制冷器示意圖

1.2.2 僅考慮接觸熱阻的模型

對一給定的輸入功率P，不考慮接觸電阻與接觸熱阻的制冷量Q和考慮接觸熱阻的制冷量Q*分別為：

式中，ΔTmax是制冷器無外加熱負載(Qc=0)情況下取得的最大溫差；ΔT0和 ΔT*分別是對應制冷量Q和Q*時的溫差，可以得到ΔT*=ΔT0+ΔTc1+ΔTc2（ΔTc1和ΔTc2分別為冷端和熱端接觸層的溫差降）。

因此實際模型的制冷效率?2為：

式中，Kc1和Kc2分別為冷、熱端熱導。假設兩接觸層熱學性質相同，即Kc1≈Kc2=λcAc/lc，2A≈Ac(Ac和lc是接觸層的截面面積和厚度，λc是接觸層熱導率)。r為接觸熱阻比，表達式為：

因此，式(14)可以化簡為式(16)：

1.2.3 綜合考慮接觸熱阻和接觸電阻的模型

用僅考慮接觸電阻的式(11)中的?1替換式(16)中的?0，可以得到考慮接觸電阻和接觸熱阻兩項影響后的實際制冷效率?為：

同樣可以得到單位面積的制冷量q為：

2 結果分析

2.1 界面接觸效應對常規型熱電制冷器制冷性能的影響

計算采用文獻[13]中的常規型熱電制冷器的物性參數，設定冷熱端溫度分別為275 K和383 K、Z=0.0028 K-1、接觸層厚度為 0.7 mm、接觸熱阻比0.2和接觸電阻比0.1 mm。

在不同接觸電阻下，熱電制冷器的COP隨熱電臂尺寸變化的曲線如圖3(a)所示；熱電制冷器的單位面積制冷量隨熱電臂尺寸變化的曲線如圖3(b)所示。在不同接觸熱阻下，熱電制冷器的COP隨熱電臂尺寸變化的曲線如圖4(a)所示；熱電制冷器的單位面積制冷量隨熱電臂尺寸變化的曲線如圖4(b)所示。圖3和圖4中的理想情況曲線均表示無界面接觸效應。

從圖3(a)和圖4(a)中可以看出：1）考慮界面接觸效應時，COP隨熱電臂的長度增大而增大，但存在一個臨界長度，當熱電臂長超過此臨界長度后，COP隨熱電臂長度增大而趨于穩定。而且接觸熱阻比越小，該臨界長度也越小；2）熱電臂足夠長時的COP最接近理想狀態的COP。表明熱電臂長度越長，界面接觸效應對COP的影響越小。

通過圖3(b)和圖4(b)中的曲線可以看出：1）考慮界面接觸效應時，隨著熱電臂長度增大，單位面積制冷量先增大后減小最后不變；接觸熱阻比一定時，在l=0.1 mm處出現明顯峰值；接觸電阻比一定時，在l＜0.1 mm處出現峰值；接觸熱阻比對單位面積制冷量的影響比接觸電阻比的影響更大；2）理想情況下,熱電臂長度越接近 0,單位面積制冷量越趨于無窮大,這顯然與實際不符；這進一步說明考慮接觸效應對小型、微型半導體制冷器性能的影響尤為重要。

圖3 熱電制冷器性能隨熱電臂尺寸變化的曲線

圖4 熱電制冷器性能隨熱電臂尺寸變化的曲線

2.2 界面接觸效應對薄膜型熱電制冷器制冷性能的影響

隨著平面光電器件、微機電系統（Micro-Electro-mechanical System，MEMS）和微光機電系統（Micro-opto-electro-Mechanical Systems，MOEMS）的出現,我們迫切需求體積更小、冷卻熱流密度更大、易于集成的微型熱電制冷器件[14]。

薄膜型熱電制冷器件與目前已獲得廣泛應用的熱電器件相比,其特征尺寸（組成熱電器件的基本單元熱電臂長）更小。薄膜型熱電器件的功耗比較小,熱電轉換效率（COP）問題已不再突出，因此只分析熱電臂尺寸對功率密度（單位面積制冷量）的影響。此外，被冷卻器件的工作溫度不同，熱電制冷器的冷端溫度對單位面積制冷量的影響分析十分必要。

2.2.1 熱電臂尺寸對單位面積制冷量的影響

為了研究界面接觸效應對薄膜熱電器件性能的影響，修改計算所采用材料的物性數據，設定薄膜熱電制冷器接觸層的性能參數，同時采用文獻[15]中薄膜熱電制冷器的數據，設定冷熱端溫度分別為295 K 和 300 K，設定Z=0.007 K-1、接觸層厚度lc=1.2l、最大溫差為40 K。

圖5分別為不同接觸電阻和接觸熱阻下，熱電器件單位面積制冷量隨熱電臂尺寸變化的曲線。圖中曲線表明，薄膜熱電制冷器件其單位面積制冷量遠遠大于普通熱電器件，且與特征尺寸成反比；考慮接觸熱阻使薄膜器件的單位面積制冷量相比理想情況降低100 W/cm2左右，遠高于常規型熱電器件的降低量。

熱電材料的低維化有利于大幅提高其能量轉換效率（ZT值），同時低維熱電材料被用于制作熱電薄膜器件。熱電器件的單位面積制冷量與熱電臂的特征尺寸成反比，薄膜熱電器件的熱電臂長度極小，但同時接觸效應的影響將隨著熱電臂長度的減小而相對增大，從而導致制冷器效率的下降，接觸效應影響的絕對數值會增大，因此，當熱電器件的熱電臂尺寸很短時，必須考慮接觸效應，才能對器件的輸出特性給出正確的估算。

圖5 熱電制冷器單位面積制冷量隨熱電臂尺寸變化的曲線

2.2.2 冷端溫度對單位面積制冷量的影響

控制不同冷端溫度下，得到冷端溫度對熱電制冷器單位面積制冷量的影響如圖6所示。當冷端溫度逐漸升高時，單位面積制冷量會不斷增大；說明熱電薄膜器件的溫差越小，其單位面積制冷量越大，這與常規型熱電模塊的變化一致。固定冷端溫度時，隨著熱電臂尺寸變短，單位面積制冷量會增大。

2.3 接觸電阻和接觸熱阻的對比分析

不同界面接觸效應情況對熱電制冷器的COP和單位面積制冷量的影響如圖7所示。取常規型熱電制冷器參數繪制曲線，得到僅有接觸熱阻（r=0.2；n=0）、僅有接觸電阻（r=0；n=0.1 mm）、無接觸效應（r=0；n=0）、既有接觸熱阻又有接觸電阻（r=0.2；n=0.1 mm）。從圖中看出僅存在接觸熱阻的曲線更加接近實際曲線，僅存在接觸電阻的曲線則更加接近理想曲線，說明接觸熱阻對器件性能影響更大，接觸電阻的影響則較小。

圖6 單位面積制冷量隨冷端溫度變化的曲線

圖7 不同界面接觸效應下，熱電制冷器制冷性能隨熱電臂尺寸變化的曲線

接觸電阻相當于增大了熱電器件的內部熱載，同時增加了功耗，使冷端的冷量減少和熱端的熱量增加。接觸熱阻則會引起熱電器件中的接觸面和接觸層上的熱損失，造成冷端負載增加，使器件的性能下降。隨著熱電臂尺寸的逐漸減小，接觸電阻和接觸熱阻的影響開始增大，由于接觸電阻相對于接觸熱阻對熱電轉換效率COP和單位面積制冷量的影響較小，此時減小接觸熱阻比減小接觸電阻對于提高制冷量更有用。因此，優化并減小熱電器件的接觸熱阻更有必要。

3 結論

本文通過建立半導體制冷器的實際數學模型,分析了接觸電阻、接觸熱阻對不同尺度半導體制冷器的單位面積制冷量及熱電轉換效率COP的影響，得出了以下結論：

1）界面接觸效應對薄膜型半導體制冷器件性能的影響遠大于常規型半導體制冷器件；

2）以單位面積制冷量更大為目標時，半導體制冷器的熱電臂應越短；以熱電轉換效率COP更大為目標時，半導體制冷器的熱電臂應越長；在制造半導體制冷器時，需根據實際需求選擇合適的熱電臂長度；

3）當冷端溫度不固定，隨著冷熱端溫差減小，各尺寸熱電制冷器單位面積制冷量會不斷增大；當冷端溫度固定時，隨著熱電臂尺寸變短，單位面積制冷量會增大；

4）接觸熱阻對半導體制冷器性能的影響比接觸電阻大很多；因此在提高半導體制冷器的性能時，需要特別考慮減少接觸熱阻。

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