高中數(shù)學(xué)選擇題解題方法與技巧

■河南省平頂山市第一中學(xué) 高春嬌

高考數(shù)學(xué)選擇題屬于保分題目,只有“保住基本分,才能得最高分”,如果選擇題可以快速、準(zhǔn)確地解答,就能為攻克后面的解答題贏得充足的時間。

一、直接法

直接法就是直接從題設(shè)出發(fā),利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論,通過正確的運算、推理或判斷,直接得出結(jié)論,再與選擇支對照,從而得出結(jié)果。

例1已知等差數(shù)列{an}的前9項和為27,a10=8,則a100=( )。

A.100 B.99 C.98 D.97

二、圖解法(數(shù)形結(jié)合)

圖解法就是建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),充分利用函數(shù)圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,以形助數(shù),從而使問題得以解決,既簡潔又迅速。

例3設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a＜1,若存在唯一的整數(shù)x0,使得f(x0)＜0,則a的取值范圍是( )。

圖1

解析：設(shè)g(x)=ex(2x-1),y=axa,畫出兩個函數(shù)的圖像如圖1所示。由題知存在唯一的整數(shù)x0,使得g(x0)在直線y=ax-a的下方。因為g′(x)=ex(2x+1),所以當(dāng)x＜-時,g′(x)＜0,當(dāng)x＞時,g′(x)＞0,所以當(dāng)x=-時,[g(x)]max=-。當(dāng)x=0時,g(0)=-1,g(1)=3e＞0,直線y=ax-a恒過點(1,0),且斜率為a,故-a＞g(0)=-1,且g(-1)=-3e-1≥-a-a,解得≤a＜1,故選D。

三、特例法

從題干出發(fā),通過選取特殊情況代入,將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形位置進行判斷。特殊情況主要有特殊值、特殊點、特殊位置、特殊函數(shù)、特殊方程、特殊數(shù)列等。

1.特殊值。

例4若a＞b＞0,且ab=1,則下列不等式成立的是( )。

2.特殊位置。

例5過拋物線y=ax2(a＞0)的焦點F作一直線交拋物線于P,Q兩點,若線段PF與FQ的長分別是p,q,則( )。

3.特殊函數(shù)。

例6已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=x f(x)。若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為( )。

A.a＜b＜c B.c＜b＜a

C.b＜a＜c D.b＜c＜a

解析：取特殊函數(shù)f(x)=x,則g(x)=x2為偶函數(shù),且在(0,+∞ )上單調(diào)遞增,由于20.8＜2=log24＜log25.1＜log28=3,故選C。

4.特殊模型。

例7某四棱錐的三視圖如圖2所示,則該四棱錐的最長棱的長度為( )。

解析：把三視圖還原到特殊模型正方體中,如圖3中的四棱錐A-BCFE,從圖中易知四棱錐中最長的棱長為AF=23。故選B。

圖2

四、驗證法

驗證法也稱檢驗法、代入法,就是直接將選擇支中給出的答案或其特殊值,代入題干逐一去驗證是否滿足題設(shè)條件,從而選出正確結(jié)論。有時與排除法、圖解法等結(jié)合使用,可以大大提高解題速度。

例8方程x+l gx=3的解x0的取值范圍是( )。

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,+∞)

解析：選擇支逐項代入驗證:若x∈(0,1),則l gx＜0,所以x+l gx＜1;若x∈(1,2),則0＜l gx＜1,所以1＜x+l gx＜3;若x∈(2,3),則0＜l gx＜1,所以2＜x+l gx＜4;若x＞3,則l gx＞0,所以3＜x+l gx。故選C。

圖3

五、排除法

排除法也稱篩選法、淘汰法,充分利用選擇題答案唯一的特點,從選擇支入手,通過分析、推算、判斷,將選擇支中與題設(shè)矛盾的干擾支逐一排除,從而獲得正確的答案。

例9函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖像如圖4所示,則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是圖5中的( )。

圖4

圖5

解析：由題知導(dǎo)函數(shù)有三個零點,不妨設(shè)為x1＜0＜x2＜x3,且每個零點的兩邊導(dǎo)數(shù)的值符號相反,因此函數(shù)f(x)在這些零點處取得極值,排除A,B。又在(-∞,x1)內(nèi),f′(x)＜0,所以f(x)在(-∞,x1)內(nèi)單調(diào)遞減,排除C。故選D。

例10函數(shù)y=2x2-e|x|在[-2,2]上的圖像大致為圖6中的( )。

圖6

解析：因為f(2)=8-e2,所以0＜f(2)＜1,排除A,B。又當(dāng)x∈[0,2]時,y=2x2-ex,所以y′=4x-ex。因為f′(0)＜0,f′(2)＞0,所以y′=4x-ex≥0在x∈[0,2]上不能恒成立,所以f(x)在x∈[0,2]上不是單調(diào)函數(shù)。故選D。

六、間接法(正難則反)

間接法實際上就是利用補集的思想,當(dāng)問題從正面難以入手或題設(shè)成立情況較多,而不成立的情形相對少時,可以從反面考慮。

例11拋物線y=x2上的所有弦都不能被直線y=k(x-3)垂直平分,則k的取值范圍是( )。

解析：設(shè)拋物線上兩點A(x1,),B(x2,)關(guān)于直線y=k(x-3)對稱,AB的中點為P(x0,y0),則

又AB的中點P(x0,y0)在直線y=k(x

由于點P在y＞x2的區(qū)域內(nèi),則,整理得(2k+1)(6k2-因此,當(dāng)k＜時,拋物線y=x2上存在兩點關(guān)于直線y=k(x-3)對稱,所以滿足題意的實數(shù)k的故選D。

七、極限法

極限方法就是將一般的情況化為特殊的情況,是特殊值法的一種延伸,通過考查問題的極端元素或問題的極限狀態(tài),避免繁雜的運算而得出結(jié)果,從而達到快速求解的目的。

例12已知四棱錐相鄰側(cè)面所成的二面角為α,側(cè)面與底面所成二面角為β,則2cosα+cos2β的值是( )。

解析：當(dāng)正四棱錐的高無限增大時,α→90°,β→90°,則2cosα+cos2β→2cos 90°+cos 180°=-1,故選C。

八、估算法

估算法就是把復(fù)雜問題化為較簡單的問題,求出答案的近似值,或把有關(guān)數(shù)值擴大或縮小,從而對運算結(jié)果確定出一個范圍或作出一個估計,進而作出正確的判斷。

例13已知x1是方程x+l gx=3的根,x2是方程x+10x=3的根,則x1+x2等于( )。

A.6 B.3 C.2 D.1

解析：因為x1是方程x+l gx=3的根,所以2＜x1＜3。因為x2是方程x+10x=3的根,所以0＜x2＜1,所以2＜x1+x2＜4。故選B。

例14如圖7,在多面體ABCDFE中,已 知 面ABCD是邊長為3的正方形,EF∥AB,EF=,EF與面ABCD的距離為2,則該多面體的體積為( )。

圖7