《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程改革

簡思綦

摘要：本文探討了《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程內(nèi)容改革，一是采用一維化方法從一維實(shí)數(shù)空間的測度論開始學(xué)習(xí)，二是采用測度的可數(shù)可加性？圯葉戈洛夫定理？圯有界收斂定理的學(xué)習(xí)路徑學(xué)習(xí)測度論，可測函數(shù)和積分論的性質(zhì)。此教學(xué)方案突出課程核心內(nèi)容，減輕了課程難度，適合數(shù)學(xué)類和相關(guān)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：一維化方法；測度論；學(xué)習(xí)路徑

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）15-0068-02

一、引言

隨著大學(xué)教育跟國際接軌，在筆者所在首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)，高年級數(shù)學(xué)課程越來越受到重視。《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》（簡稱實(shí)變課程）課程不僅是數(shù)學(xué)、統(tǒng)計類學(xué)生的必修課，也在經(jīng)濟(jì)、管理類學(xué)生中受到歡迎。隨著學(xué)生范圍的擴(kuò)大，有必要針對學(xué)生背景改革實(shí)變課程的教學(xué)內(nèi)容和方法。

二、《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程教學(xué)改革建議

實(shí)變課程的主要內(nèi)容是通過n維歐式空間（簡記為n維空間）上Lebesgue意義下測度、可測函數(shù)、積分論基本理論的學(xué)習(xí)，理解抽象測度論和n維空間結(jié)構(gòu)相互結(jié)合。n維空間上測度論是后繼課程《測度論》和《隨機(jī)過程》的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。由于測度論的抽象性，我們都是通過學(xué)習(xí)n維空間上測度論過渡到抽象測度論。n維空間上測度論包括許多抽象測度論的內(nèi)容，給出了抽象測度論具體實(shí)現(xiàn)的空間，也是對實(shí)數(shù)結(jié)構(gòu)更加深入的認(rèn)識。采用教材[1]得到啟發(fā)，筆者認(rèn)為可以在兩個大方面改善課程教學(xué)，第一個方面是在n維空間測度論學(xué)習(xí)中首先學(xué)習(xí)一維實(shí)數(shù)空間、R的測度論，從R的測度論出發(fā)再深入學(xué)習(xí)n維空間的測度論，第二個方面是在完成測度論學(xué)習(xí)后，采用抽象測度論的方法把測度、可測函數(shù)和積分論的性質(zhì)聯(lián)系在一起，具體學(xué)習(xí)路徑是：

測度的可數(shù)可加性？圯葉戈洛夫定理？圯有界收斂定理？圯Fatou引理？圯Lebesgue控制收斂定理。

我們從實(shí)變課程中測度、可測函數(shù)和積分論來討論以上兩個方面。

（一）學(xué)習(xí)n維空間測度論的新方法第一步，R實(shí)數(shù)空間。

我們知道測度論的學(xué)習(xí)一般分為兩個階段，第一階段《實(shí)變》課程學(xué)習(xí)n維空間上Lebesgue測度論，第二階段《測度論》課程學(xué)習(xí)抽象測度論。國內(nèi)數(shù)學(xué)教材比如[2]，是直接學(xué)習(xí)n維歐式空間測度理論。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)系學(xué)生已經(jīng)對n維空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有比較深入的了解，此方法不無不可。而對財經(jīng)類院校學(xué)生，對于n維空間不太熟悉，那么直接學(xué)習(xí)n維歐式空間測度理論有相當(dāng)難度。筆者翻閱了眾多教材，發(fā)現(xiàn)書[1]從n=1，即實(shí)數(shù)軸R上的測度論講起，非常方便數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對薄弱的學(xué)生直接學(xué)習(xí)實(shí)變課程。我們敘述學(xué)習(xí)R上測度論的優(yōu)點(diǎn)：

1.R上容易證明以下命題。

命題1（[1]Propostion1 P31）：R上區(qū)間的外測度是其長度。

2.R上容易證明以下命題。

命題2（[1]Propostion8 P38）：R上每個區(qū)間是可測的。

在抽象測度論方面，我們引入Caratheodory條件定義可測集。測度就是外測度在可測集上的限制?？蓽y集滿足？滓-代數(shù)性質(zhì)，且測度具有可數(shù)可加性，上、下連續(xù)性。關(guān)鍵在R上我們可以比較容易地證明每個區(qū)間都是可測的，避免n維空間上結(jié)果的技術(shù)細(xì)節(jié)，從而通過區(qū)間生成Borel可測集和Lebesgue可測集。

3.R的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡單，我們有如下命題。

命題3（[1]Propostion9 P17）：R的非空開集是可數(shù)個開區(qū)間的并集，非空閉集是可數(shù)個閉區(qū)間的并集。

R上拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是開、閉區(qū)間概念的直接推廣，直接引入了拓?fù)涓拍?。我們可以用開集、閉集逼近可測集，便于理解拓?fù)渑c測度的關(guān)系（[1]P40）。

學(xué)習(xí)n維空間測度論的新方法第二步，n維空間。

在具體學(xué)完R上測度后，我們對抽象測度論有一定理解，只需拓展以上三個命題就可以理解n維空間上Lebesgue測度論，大大減輕了學(xué)習(xí)難度。

命題1 （[1]例P62）：n維空間上矩體的外測度是其體積。

命題2 （[1]定理2.9 P74）：n維空間上每個開矩體是可測的。

命題3 n維空間上每個開集是可數(shù)個開矩體的并集。

命題1在書[2]中并沒有給出詳細(xì)證明，其具體證明細(xì)節(jié)把命題1的證明推廣到多維。命題2比命題2的證明復(fù)雜。

（二）對于R上的可測函數(shù)類，我們可以比較簡單地證明Littlewood三原則（[1]P64）。①每個可測集幾乎是有限個區(qū)間的并集（[1]Theorem12 P41）。②每個可測函數(shù)幾乎是連續(xù)的，即魯津定理（[1]P66）。③函數(shù)列點(diǎn)態(tài)收斂幾乎是一致收斂，即葉戈洛夫定理（[1]P64）。其中葉戈洛夫定理的證明用到了Lebesgue測度的連續(xù)性，即測度可數(shù)可加性的一個推論，聯(lián)系了測度和可測函數(shù)的性質(zhì)（[1]Remark P78）。

（三）對于R上的可測函數(shù)的Lebesgue積分。我們利用葉戈洛夫定理證明有界收斂定理，聯(lián)系了可測函數(shù)和積分的性質(zhì)（[1]Remark P78），進(jìn)而證明Fatou引理，單調(diào)收斂定理，Lebesgue控制收斂定理。

以上（二），（三）部分參考學(xué)習(xí)路徑，屬于抽象測度論的內(nèi)容，其結(jié)果可以平行地推廣到Rn空間中。

三、結(jié)束語

綜上所述，以上《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程關(guān)于一維化方法和測度、可測函數(shù)、積分論學(xué)習(xí)路徑的建議是適應(yīng)課程面向大眾化的改革方案，突出核心內(nèi)容，極大減輕了教學(xué)內(nèi)容的難度，便于學(xué)生學(xué)習(xí)。根據(jù)學(xué)生情況，課程還可以增加弱收斂、度量空間、拓?fù)淇臻g、Banach空間、Hilbert空間等內(nèi)容。

致謝：本文得到2017年首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)教育教學(xué)改革項目“《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》課程與先修課程《數(shù)學(xué)分析》和《高等代數(shù)》一體化教學(xué)研究”的資助，特此表示感謝！

參考文獻(xiàn)：

[1]H.Royden，P.Fitzpatrick.Real Analysi，F(xiàn)ourth Edition[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

[2]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].第2版.北京大學(xué)出版社，2008.