基于非圓齒輪的卡登圓行星機構運動學分析與仿真

羅競波 - 李美求 - 馮小剛 - 華 劍

(1. 長江大學機械結構強度與振動研究所，湖北 荊州 434023；2. 大慶油田井下作業分公司修井一大隊，黑龍江 大慶 163000)

非圓齒輪機構可以實現特殊的運動和函數運算，在某些情況下，采用非圓齒輪對機構的運動特性極為有利，有效地提高了機構的性能，改善了機構的運動條件，目前理論研究趨于成熟，已得到廣泛的應用[1]。卡登圓行星機構是一種將行星架的旋轉運動轉化為導桿往復直線運動的裝置。其具有結構簡單，可靠性高，輸出端始終做往復直線運動的特點[2]。與傳統的曲柄滑塊機構相比，由于滑動副中不存在周期性變化的接觸力，因此運動精度高，能耗低，使用時間長，在往復運動機構中具有廣闊的應用價值。可用在諸如配料機、活塞式制冷壓縮機等食品加工機械中[3]。卡登圓行星機構目前的研究集中在結構創新上[4]，本試驗通過建立卡登圓行星機構的數學模型，利用幾何分析的方法得到機構的參數約束條件，通過復數矢量法來進行運動分析，結合仿真的手段驗證分析結果，為設計提供理論基礎。同時通過將卡登圓行星機構與非圓齒輪機構相結合，分析非圓齒輪機構中不同參數對卡登圓行星機構輸出結果的影響。

1 卡登圓行星機構的數學模型

1.1 卡登圓行星機構的組成

卡登圓行星機構的零部件有行星架、行星輪、中心輪、導桿、殼體等[4]。其中導桿2與行星輪1分度圓上的任意一點O采用旋轉副連接。圖1是卡登圓行星機構的運動簡圖，將該裝置置于平面直角坐標系OHxy中。行星架H為動力輸入件，其長度為lH，繞OH點以角速度ωH逆時針方向旋轉，H與X軸所夾銳角為θH。行星輪1與中心輪3內嚙合，其中心為O1，以角速度ω1順時針方向自轉，同時環繞OH以角速度ωH逆時針方向公轉。導桿2與行星輪1分度圓上的點O通過旋轉副連接,與X軸所夾銳角為θ2。OO1的長度為l1，與H所夾銳角為θ1。

工作時，以行星架H為原動件，帶動行星輪1做行星運動，中心輪3固定，從而使行星輪1的分度圓上的點O帶動導桿2做往復直線運動。

圖1 卡登圓行星機構的運動簡圖Figure 1 Kinematic diagram of the Carden circle planetary mechanism

1.2 卡登圓行星機構的結構分析

設某一初始時刻，其連接點O的坐標為：

(1)

設行星輪1的齒數為Z1,中心輪3的齒數為Z3，由齒輪嚙合規律，行星輪1相對于行星架H的自轉角速度：

(2)

取逆時針方向為正，經過時間t后，角度變化規律：

θH→θH+ωHt，

(3)

(4)

此時連接點O′的坐標為：

(5)

(6)

連接點O始終要做經過坐標原點OH的往復直線運動，由幾何關系：

(7)

將式(5)、(6)帶入式(7)得：

(8)

即：

(9)

式中：

x=θH;

y=θ1+θH;

α=ωHt≠0;

令z=x-y=-θ1，則式(9)可表示為：

(10)

即：

(11)

等式兩邊展開：

(12)

式中：

z,lH,l1——常量；

α,β——變量。

分析左右兩邊，若要保證該機構的運動連續性，則式(12) 應滿足以下條件：

分析上述條件得：

z=π+kπ,k∈Z；

(13)

l1=lH。

(14)

即初始安裝角度θ1=-(k+1)π。θH,θ2可根據安裝需要進行取值。行星架H的中心距離長度lH與行星輪1的分度圓半徑l1等長，因此行星輪1的分度圓直徑是中心輪3的分度圓直徑的1/2。行星輪1與中心輪3采用標準齒輪加工，兩者要保證嚙合完好，因此兩齒輪模數m1=m3，兩齒輪齒數之比z1∶z3=1∶2。

1.3 卡登圓行星機構的運動分析

機構運動過程中導桿2經過坐標原點OH做往復直線運動，因此θ2為定值。在ΔOHOO1中，有幾何關系：

∠OHOO1+∠OOHO1+π-θ1=π，

(15)

θ1=2(θ2-θH)。

(16)

根據圖1，采用復數矢量法[5]作為卡登圓行星機構的運動分析法，將行星輪1等效為桿矢量。通過封閉圖形ΔOHOO1建立矢量方程：

(17)

改寫為復數形式如下：

lHeiθH+l1ei(θH+θ1)=seiθ2。

(18)

采用歐拉公式將復數方程(18)的實部與虛部分離：

lHcosθH+l1cos(θH+θ1)=scosθ2,

(19)

lHsinθh+l1sin(θH+θ1)=ssinθ2。

(20)

平方求和，整理得到：

s2=2l2×(1+cosθ1)。

(21)

其中l=l1=lH，利用倍角公式化簡得到導桿的位移表達式：

(22)

將式(21)對時間求導可得導桿的速度表達式為：

Vs=2l×ωHsin(θ2-ωHt)。

(23)

繼續對時間求導，得導桿的加速度表達式為：

(24)

2 機構的運動學仿真分析

對于如圖1所示的卡登圓行星機構，已知l1=lH=20 mm，行星輪1的齒數Z1=20，中心輪3的齒數Z3=40。行星架H的轉速ωH=0.8π rad/s，θ1的初始值θ10=0°，導桿安裝角度θ2=0°。

根據以上條件，在SolidWorks中建立卡登圓行星機構的仿真模型見圖2。

1. 行星輪 2. 導桿 3. 中心輪 4. 殼體 5. 行星架H圖2 卡登圓行星機構的仿真模型Figure 2 Simulation model of the Carden circle planetary mechanism

不考慮齒輪嚙合的碰撞沖擊載荷作用，利用SolidWorks中的motion分析模塊，得到了導桿的線性位移、線性速度、線性加速度隨時間變化的曲線，與理論的曲線分別見圖3、4。

分析圖3、4可知，導桿2理論上以周期T=2πs做正弦(余弦)往復變速直線運動，其行程為80 mm；與表1模擬分析中得到的結果與理論計算的結果非常吻合，驗證了該模型的正確性。

導桿2在與殼體4中的滑槽內做往復直線運動，提取該滑動副的兩個側接觸面之間的接觸力隨時間的變化關系曲線，見圖5。

圖3 導桿2的模擬分析結果Figure 3 Simulation analysis results of the bar 2

圖4 導桿2的理論計算結果Figure 4 Theoretical calculation results of the bar 2表1 模擬分析與理論計算的結果對比Table 1 Comparison between simulation analysis and theoretical calculation

項目位移初始值s/m位移最大值s/m位移最小值s/m模擬分析值0.040.04-0.04理論計算值0.040.04-0.04項目速度初始值V/(m·s-1)速度最大值V/(m·s-1)速度最小值V/(m·s-1)模擬分析值-3.39×10-16100.52×10-3-100.52×10-3理論計算值0100.52×10-3-100.52×10-3項目加速度初始值a/(m·s-2)加速度最大值a/(m·s-2)加速度最小值a/(m·s-2)模擬分析值-252.66×10-3252.66×10-3-252.66×10-3理論計算值-252.66×10-3252.66×10-3-252.66×10-3

圖5 滑動副中的接觸力F隨時間t的變化關系Figure 5 The change of contact force F with time t in the slip pair

分析可知在不考慮重力的情況下，導桿2與殼體4之間的接觸力始終為零；而傳統的曲柄滑塊機構中由于搖桿周期性的相對于滑塊的擺動，使滑塊擠壓在滑槽中，滑動副始終存在周期性變化的接觸力，長期摩擦磨損使曲柄滑塊機構的精度降低，增加了能耗，縮短了使用時間。因此，卡登圓行星機構相對于傳統的曲柄滑塊機構在往復直線運動中更有優勢。

3 卡登圓行星機構的具體應用

3.1 運動要求分析

導桿2的運動特性參數對卡登圓行星機構的應用場合有著很大的影響。例如，應用在滾筒式平版印刷機的自動送紙裝置、紡織機械、液壓泵、造紙機械中的壓力機有正弦機構。工作過程中要求速度的變化越小，則加工質量越好，降低速度的波動使桿件的運動盡可能平穩[6-8]。而對于牛頭刨床，為了提高工作效率，減小空行程時間，要求輸出機構具有急回特性，為了提高刨削的表面粗糙度，延長刀具的使用時間，還要輸出裝置在工作過程中保持速度盡可能的平穩[9]。農業機械中的后插式水稻分插機構，在取秧過程中要求秧針速度慢，防止撕扯秧塊傷害秧苗根部，在推秧過程要求秧針迅速完成推秧動作，提高生產效率[10]。而食品機械中通常需要較小的傳動力，較大的行程速比系數，從而完成物料的定量運送、灌裝及制品的壓制成型動作[11-12]。

通常情況下有以下方式可以改變機構的輸出特性來達到合適的運動要求：① 在輸入條件一定的情況下，通過將機構各部件的相關尺寸參數設為設計變量，建立需要的目標函數來進行結構優化設計；② 在機構各部件的尺寸參數已經確定的情況下，通過改變輸入的運動規律，也可以影響機構輸出的運動特性。

3.2 變速輸入時導桿的運動方程與分析

實際工作過程中應用卡登圓行星機構，需要考慮空間結構布置，會對機構各部件的參數優化產生制約作用。因此在結構尺寸一定的情況下，采用疊加非圓齒輪裝置使機構的動力輸入不再呈勻速規律，從而改變機構的運動特性來達到工作要求。這種方式具有簡單有效、靈活方便的特點[13]。

采用橢圓齒輪，這是一種常見的非圓齒輪。當卡登圓行星機構的輸入軸由一對橢圓齒輪來驅動時，如圖6所示。

圖6 采用橢圓齒輪驅動的機構Figure 6 The Mechanism driven by elliptical gears

橢圓齒輪的傳動比[14-15]：

(25)

式中：

e——非圓齒輪的離心率；

m——橢圓的階數；

α——輸入端的旋轉角度，rad。

(26)

(27)

其中：

(28)

代入式(22)，得導桿的位移表達式：

(29)

對時間t求導，得導桿的速度表達式：

(30)

其中：

(31)

繼續求導，得導桿的加速度表達式：

(32)

其中：

(33)

(34)

(35)

(1) 保持其它參數不變，只改變橢圓齒輪的離心率e，如圖7(a)所示，分析可知，離心率e影響了導桿2的速度峰值及出峰時間。e越大，導桿2的速度峰值越大，速度曲線平穩區間所占周期比增加；如圖8(a)所示，離心率e影響了導桿2的加速度極值。e越大，導桿2的加速度極值越大，此時導桿2有急回特性。

(2) 保持其它參數不變，只改變橢圓的變性階數m，如圖7(b)所示，在一定的范圍內適當地減小變性階數m，導桿2的運動周期變長，此時低速平穩區間延長，速度最值之間連線的斜率減小；如圖8(b)所示，導桿2的加速度波動次數增加，因此改變m可以提升機構的運動平穩性。同時，在設計橢圓齒輪中可以通過對變性階數m的微調來使輪齒均勻地分布在節曲線上，便于橢圓齒輪的加工。

圖7 導桿2的速度隨時間的變化曲線Figure 7 The curve of the speed of guide bar 2 with time

4 結論

本試驗通過建立卡登圓行星機構數學模型的同時借助SolidWorks運動仿真得到機構的運動參數，得出以下結論：

(1) 通過復數矢量法得到了卡登圓行星機構的數學模型，運用軟件模擬分析得到機構的運動參數，結果表明理論分析得到的運動曲線與模擬的結果吻合，同時，通過接觸力分析表明該機構與普通的曲柄滑塊機構相比在食品機械中的往復直線運動的應用更有優勢。

(2) 通過合理組合橢圓齒輪中橢圓的離心率、變性階數以及行星架的初始角度，可以有效調整機構的運動特性，采用橢圓齒輪的卡登圓行星機構能實現導桿的等速運動，并且具有急回特性，提高了機構在工程中的適應性。

(3) 在滿足機構輸出特性要求的前提下，通過橢圓齒輪參數的動態設計，可以全面了解基于非圓齒輪的卡登圓行星機構的運動狀態，從而提高機構的設計效率，得到期望的機構輸出特性。

圖8 導桿2的加速度隨時間的變化曲線Figure 8 The curve of the acceleration of guide bar 2 with time

(4) 實際應用該機構時，需要考慮提高行星輪和中心輪的加工精度，對齒輪副采用標準側隙進行安裝，同時定期進行潤滑，從而使機構實現精確的運動。

[1] 李福生. 非圓齒輪[M]. 北京: 機械工業出版社, 1979: 1-5.

[2] 杜白石, 楊福增. Pro/E行星齒輪機構設計與分析[M]. 北京: 電子工業出版社, 2014: 392-393.

[3] 陳賽克, 凌軒. 基于Solidworks齒輪連桿機構的運動仿真[J]. 食品與機械, 2012, 28(6): 177-179.

[4] 張榮江, 郭非. 卡登圓-扭桿彈簧無級變速器的構思[J]. 機械設計, 1991(6): 32-34.

[5] 孫桓, 陳作模, 葛文杰. 機械原理[M]. 7版. 北京: 高等教育出版社, 2006: 32-43.

[6] 胡紫陽, 楊輝, 李大柱, 等. 平流泵用非圓齒輪副的優化設計及實驗分析[J]. 中國機械工程, 2016, 27(22): 3 082-3 087.

[7] KUCZEWAKI M. Desiging elliptical gears[J]. Machine Design, 1988, 4(7): 116-118.

[8] BROWN J. Noncircular gears make the unconventional moves [J]. Power Transmission Design, 1996(3): 29-31.

[9] 張義民, 黃賢振, 張旭方, 等. 不完全概率信息牛頭刨床機構運動精度的可靠性優化設計[J]. 中國機械工程, 2008, 19(19): 2 355-2 358.

[10] 俞高紅, 張瑋煒, 孫良, 等. 偏心齒輪-非圓齒輪行星輪系在后插旋轉式分插機構中的應用[J]. 農業工程學報, 2011, 27(4): 100-105.

[11] 黃鵬飛. 平面連桿機構力學特性研究[J]. 食品與機械, 2017, 33(5): 125-127.

[12] 張國平. 基于證據理論的曲柄滑塊機構可靠性優化設計[J]. 食品與機械, 2011, 27(2): 88-90.

[13] 高雪強. 非圓齒輪傳動技術概述[J]. 機械傳動, 2003, 27(3): 5-8.

[14] 賀敬良, 吳序堂, 李建剛. 變性橢圓齒輪連桿機構的運動特性及齒輪副設計[J]. 機械工程學報, 2004, 40(1): 62-65.

[15] 王淑杰, 呂新生. 橢圓齒輪傳動的優化設計[J]. 機械傳動, 2004, 28(4): 17-18.