一類特殊矩陣特征向量的求法

王欣欣

(南通理工學院 基礎教學學院，江蘇 南通 226000)

物理、力學和工程技術中的許多問題在數學上都歸結為求矩陣的特征值與特征向量.求二階矩陣的特征向量很容易，但從不同的視角去剖析其由來，體現了數學賦予人們多維度的思維方式.本文對一類特殊的二階矩陣進行研究，根據其特殊性構造出相應的特征向量，相比傳統的方法更加簡便快捷.

1 相關定理

(1)若λ1≠λ2，由于特征向量為非零向量，故可以分以下四種情況：

A為對應于特征值λ1的一個特征向量：

① 若λ1≠a11，或a12≠0,則A對應于特征值λ1的一個特征向量為

(1)

② 若λ1≠a22，或a21≠0，則A對應于特征值λ1的一個特征向量為

(2)

A為對應于特征值λ2的一個特征向量：

③ 若λ2≠a11，或a12≠0，則A對應于特征值λ2的一個特征向量為

(3)

④ 若λ2≠a22，或a21≠0，則A對應于特征值λ2的一個特征向量為

(4)

(2)若λ1=λ2，且R(λ1E-A)=1時，由于特征向量為非零向量，故可以分為以下兩種情況：

① 若λ1=λ2≠a11，或a12≠0，則A對應于特征值λ1、λ2的一個特征向量為

(5)

② 若λ1=λ2≠a22，或a21≠0，則A對應于特征值λ1、λ2的一個特征向量為

(6)

注：如果(1)中的①、②同時滿足，則任選其一作為相應的特征向量即可，其結果是相同的.

同理可以應用于(2)中的兩種情況.

以下給出(1)中①的證明.

證明特征多項式

(7)

(8)

現驗證其正確性，即證明Aξ1=λ1ξ1.

則Aξ1=λ1ξ1成立.得證.

對于(1)中的 ②、③、④，以及(2)，證明方法相同，不再贅述.

2 例題

解A的特征多項式為

所以A的特征值為λ1=2i,λ2=-2i.

解A的特征多項式為

所以A的特征值為λ1=λ2=2.

所以kξ(k≠0)是對應于λ1=λ2=2的全部特征向量.

參考文獻：

[1] 夏學文.線性代數[M].湖南：中南大學出版社，2014：116-117.

[2] 李林曙，施光燕.線性代數[M].北京：中國人民大學出版社，2002：223-224.