淺論相關(guān)分析與回歸分析的聯(lián)系與區(qū)別

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(江蘇省鹽城中學(xué))

一、相關(guān)關(guān)系與相關(guān)分析

1.相關(guān)關(guān)系

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，回歸分析與相關(guān)分析是兩種常用的統(tǒng)計(jì)方法，可以用來解決許多生產(chǎn)實(shí)踐中的問題，雖然二者之間關(guān)系密切，但在具體原理和應(yīng)用上面有許多不同。首先從總體來說，兩者均是對(duì)具有相關(guān)性的變量或具有聯(lián)系的標(biāo)志進(jìn)行分析，可以借助函數(shù)和圖像等方法。當(dāng)一個(gè)變量固定，同時(shí)另一個(gè)變量也有固定值與其相對(duì)應(yīng)，這是一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，也叫做函數(shù)關(guān)系。而當(dāng)一個(gè)變量固定，同時(shí)與之相對(duì)應(yīng)的變量值并不固定，但是卻按照某種規(guī)律在一定范圍內(nèi)分布，這兩者之間的關(guān)系即為相關(guān)關(guān)系。這里函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系是不同的。例如，正方形面積與其邊長(zhǎng)是一種函數(shù)關(guān)系，因?yàn)檎叫蚊娣e是邊長(zhǎng)的平方，可用確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述。而相關(guān)關(guān)系通常沒有這種準(zhǔn)確的一一對(duì)應(yīng)的線性函數(shù)表達(dá)，如子女的身高與父母身高之間有關(guān)系，這其中僅考慮遺傳因素不考慮后期客觀影響等，從生物學(xué)角度來講，兩者的身高相關(guān)但不能根據(jù)父母的身高求出子女準(zhǔn)確身高。相關(guān)分析與我們的生活聯(lián)系十分密切，許多問題都可以用相關(guān)關(guān)系來描述，如一個(gè)同學(xué)看書的時(shí)間與學(xué)習(xí)成績(jī)，收入水平和受教育程度等均可以利用相關(guān)分析。

2.相關(guān)分析分類

相關(guān)分析有許多分類，按相關(guān)的因素分為單相關(guān)與復(fù)相關(guān)(多元相關(guān))、按相關(guān)形式可分為線性相關(guān)(直線相關(guān))和非線性相關(guān)(曲線相關(guān))、按相關(guān)的方向可分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)、按相關(guān)的程度可分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)。針對(duì)不同情形，按需求選取合適的相關(guān)方法可以更好的描述變量之間的關(guān)系。在評(píng)價(jià)相關(guān)性時(shí)通常引用相關(guān)系數(shù)r，一般來講，相關(guān)系數(shù)介于-1～1之間，若r為正則表明兩者正相關(guān)，反之為負(fù)相關(guān)。同時(shí)，如果相關(guān)系數(shù)越接近與1(或-1)，則表明兩者相關(guān)性越強(qiáng)；越接近與0，則表明兩者相關(guān)性越弱(r=0意味著不相關(guān))。相關(guān)分析常常用到相關(guān)圖，又可稱為散點(diǎn)圖。它在笛卡爾坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)量x表示橫坐標(biāo)，標(biāo)量y表示縱坐標(biāo)，把兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系用坐標(biāo)點(diǎn)直觀的描繪出來。

二、回歸分析原理及分類

1.回歸分析

“回歸”是英國(guó)生物學(xué)家高爾頓提出，他在研究人類遺傳問題時(shí)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)了許多數(shù)據(jù)間具有回歸效應(yīng)。回歸分析研究因變量對(duì)于一個(gè)或多個(gè)其他變量的依賴關(guān)系，并在過程中依據(jù)現(xiàn)象之間的相關(guān)形態(tài)，利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬，通過數(shù)學(xué)表達(dá)式來反映數(shù)據(jù)之間的回歸關(guān)系，并可以得到與之對(duì)應(yīng)的回歸方程，來近似地反映變量之間聯(lián)系的緊密程度，可以從數(shù)量上近似地反映變量之間變動(dòng)的一般規(guī)律，是一種常用的統(tǒng)計(jì)分析方法。建立的數(shù)學(xué)模型也就是回歸方程，實(shí)際上它將相關(guān)關(guān)系之間的不確定和不規(guī)則的數(shù)量一般化，從而更好的適用實(shí)際問題的解決。回歸分析又稱為因素分析法，屬于多元統(tǒng)計(jì)分析方法之一。從本質(zhì)上來講，它通過收集樣本數(shù)據(jù)然后利用一定的統(tǒng)計(jì)方法，來討論分析自變量與因變量之間的關(guān)系，即原因?qū)Y(jié)果影響的程度。總的來說，回歸分析可以說是統(tǒng)計(jì)學(xué)中內(nèi)容最豐富、應(yīng)用最廣泛的分支。

2.回歸分析分類及應(yīng)用

回歸分析按照涉及自變量的多少，分為一元回歸分析和多元回歸分析。其中，一元回歸分析是對(duì)一個(gè)因變量和一個(gè)自變量建立回歸方程；與之對(duì)應(yīng)，多元回歸分析是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量和一個(gè)因變量建立回歸方程。按照回歸方程的表現(xiàn)形式，分為線性回歸分析和非線性回歸分析。如果自變量和因變量之間的關(guān)系是線性相關(guān)的，建立直線方程便可以反映，這種分析稱為線性回歸分析。如果自變量和因變量之間的關(guān)系是非線性相關(guān)的，那么通過建立非線性回歸方程可以較為準(zhǔn)確的反映兩者之間關(guān)系，即非線性回歸分析。常用的回歸分析方法有線性回歸、logistic回歸、cox回歸、poission回歸、probit 回歸，等等。同時(shí)，卡方檢驗(yàn)可以用logistic回歸代替，t檢驗(yàn)以及方差分析也可以歸到回歸分析當(dāng)中。

回歸分析可以依據(jù)不同需求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析，可以利用回歸方程可以進(jìn)行回歸預(yù)測(cè)也可以計(jì)算或估算標(biāo)準(zhǔn)誤差。進(jìn)行回歸預(yù)測(cè)時(shí)當(dāng)自變量發(fā)生變化，由于回歸方程通常來說反映了變量之間的一般性關(guān)系，可以依據(jù)回歸方程估計(jì)出與自變量相對(duì)應(yīng)的因變量可能發(fā)生相應(yīng)變化的趨勢(shì)、范圍以及數(shù)值。因變量的回歸估計(jì)值不是一個(gè)必然的對(duì)應(yīng)值，但從一般性角度來講可以反映因變量可能發(fā)生的數(shù)量變化。 計(jì)算或估算標(biāo)準(zhǔn)差需要通過估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差這一指標(biāo)，來分析實(shí)際值和回歸估算值之間的差異以及聯(lián)系來反映估計(jì)值的準(zhǔn)確性，同時(shí)還可以利用估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差對(duì)因變量估計(jì)值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。

三、相關(guān)分析與回歸分析的異同

1.相關(guān)分析與回歸分析的聯(lián)系

相關(guān)分析和回歸分析均是研究變量之間的相互關(guān)系，測(cè)定他們之間聯(lián)系的緊密程度，并可以描述因變量隨自變量變化的具體形式和規(guī)律的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。它們通常基于兩個(gè)正態(tài)連續(xù)變量的假設(shè)，從研究數(shù)據(jù)內(nèi)在關(guān)系的角度來講，相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)，而回歸分析是相關(guān)分析的延伸，回歸分析是以相關(guān)分析為前提條件。我們?cè)谘芯繋捉M變量之間相互關(guān)系時(shí)，首先要計(jì)算相關(guān)系數(shù)r也就是進(jìn)行相關(guān)分析。根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小，判斷能否運(yùn)用線性相關(guān)等分析方法。比如，在研究同學(xué)們的考試成績(jī)y與學(xué)習(xí)時(shí)間x之間的關(guān)系，通常來講二者之間具有極強(qiáng)的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)r較大。但是，考試成績(jī)y與學(xué)習(xí)時(shí)間x并不具有因果性，因變量考試成績(jī)還會(huì)受到學(xué)習(xí)效率，心態(tài)，考試發(fā)揮等等因素的影響，這時(shí)便不能利用回歸分析來處理問題。所以變量相關(guān)是回歸分析的必要不充分條件，相關(guān)分析可以表現(xiàn)變量之間的數(shù)量的相關(guān)程度，而回歸分析往往需要利用這種相關(guān)程度給出他們之間的具體形式。

在進(jìn)行回歸分析時(shí)，回歸的效果可以用簡(jiǎn)單的相關(guān)系數(shù)r來衡量。相關(guān)系數(shù)的平方值 即決定系數(shù)，與消減誤差和全部誤差之間的比值相等。而決定系數(shù)可以反映因變量在變化的過程中有多少組分是由自變量引起的，具有消除誤差比例的意義。以考試成績(jī)y與學(xué)習(xí)時(shí)間x為例，那么y的變化等于x變化引起的部分加上未被解釋的變差，也就是學(xué)習(xí)效率等其他因素。回歸分析使用的數(shù)學(xué)關(guān)系的對(duì)應(yīng)系數(shù)往往也可以與相關(guān)系數(shù)互相變換。假設(shè)考試成績(jī)與學(xué)習(xí)時(shí)間回歸模型為y=kx+b，考試成績(jī)y與學(xué)習(xí)時(shí)間x之間的相關(guān)系數(shù)r與k之間的關(guān)系為k=r(Sy/Sx)，Sy是考試成績(jī)y的標(biāo)準(zhǔn)差，Sx是學(xué)習(xí)時(shí)間x的標(biāo)準(zhǔn)差。同時(shí)回歸分析得到的數(shù)學(xué)模型或方程可能適用于多種情況，在不同組數(shù)據(jù)間也可能同樣實(shí)現(xiàn)回歸擬合。如果在做出回歸分析之前，沒有對(duì)變量之間是否相關(guān)，以及變量之間的相關(guān)方向和程度做出正確判斷，會(huì)造成“虛假回歸”的現(xiàn)象。因此，在具體應(yīng)用過程中，只有把相關(guān)分析和回歸分析結(jié)合起來，才能達(dá)到研究和分析的目的。

2.相關(guān)分析與回歸分析的區(qū)別

首先，在相關(guān)分析中，變量不會(huì)劃分為自變量和因變量，它的目的是檢驗(yàn)兩個(gè)變量共同變化程度，且這兩組或者多組變量均是隨機(jī)變量，變量之間的關(guān)系是平等的。而回歸分析中需要將變量劃分為自變量和因變量，用以通過研究自變量的變化來預(yù)測(cè)因變量的結(jié)果，幾組變量中只有因變量是隨機(jī)變量，自變量在研究的過程中是確定的。也就是或在把自變量帶入回歸分析數(shù)學(xué)關(guān)系中得到的因變量的值不是唯一的，而是在一定區(qū)間內(nèi)呈隨機(jī)波動(dòng)，變量之間的關(guān)系是不平等的。由于相關(guān)分析本身所限，如果兩組或幾組變量中的一個(gè)變量不是隨機(jī)變量，那么就不能進(jìn)行相關(guān)分析。而同理對(duì)于回歸分析，因變量為隨機(jī)變量，自變量可以是普通變量也可以是隨機(jī)變量。

其次，相關(guān)相關(guān)分析通常利用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)也就是相關(guān)系數(shù)來衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)性，在這個(gè)前提下，由于變量之間的關(guān)系是平等的，這個(gè)衡量標(biāo)準(zhǔn)也是唯一確定的。但是在研究回歸分析的問題中，變量之間具有因果關(guān)系，而因變量往往受多個(gè)自變量的影響，自變量之間還可能具有一定的聯(lián)系，得到的數(shù)學(xué)關(guān)系也可能有很多個(gè)，在進(jìn)行擬合的過程中需要利用到多個(gè)回歸方程。如果兩組或幾組變量之間具有因果關(guān)系，利用相關(guān)分析時(shí)得到的結(jié)果一致，而回歸分析結(jié)果不同。

總地來說，相關(guān)分析與回歸分析都是研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)變量間關(guān)聯(lián)性的方法，兩者之間有密切的聯(lián)系，但這兩種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法存在本質(zhì)的區(qū)別。變量之間的相關(guān)性是否真實(shí)存在也是由他們內(nèi)在的聯(lián)系決定的，分析方法通過建立數(shù)學(xué)關(guān)系等方法，只能反映他們之間的關(guān)系和密切程度，但不能準(zhǔn)確判斷他們之間存在的關(guān)聯(lián)性的真實(shí)性，也不能通過回歸分析方法判斷變量之間的因果性。所以我們?cè)谑褂玫臅r(shí)候，不僅僅要依據(jù)研究目的選擇何種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，還需要定性與定量相結(jié)合，從本質(zhì)上分析問題，才能更好地利用相關(guān)分析與回歸分析等方法，更準(zhǔn)確地解決問題。

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