板結構聲振響應隨機能量流分析的試驗驗證

游 進， 侯向陽

(中國空間技術研究院 載人航天總體部， 北京 100094)

飛行器經歷的氣動、噪聲、振動及沖擊等動力學環境大部分具有寬頻特點，而飛行器結構設計普遍使用大量輕質薄壁構件以降低結構重量，使飛行器結構呈現顯著的中高頻響應特征。目前中高頻聲振響應分析一般采用基于能量的分析方法，主要包括統計能量分析(Statistical Energy Analysis, SEA)及能量流分析法(Energy Flow Analysis, EFA)。SEA是一種較為成熟的高頻響應預測方法，計算效率高，但由于理論模型的限制僅能給出子系統的平均響應，且子系統的幾何特征、載荷及阻尼的空間分布等因素對響應的影響均不能得到有效反映，使SEA在應用上存在較大局限。EFA是一種基于波動理論的能量流方法，其控制變量是局部平均的能量密度，一般采用有限元法進行數值求解，結果可描述響應在空間上的變化，且子系統的幾何特征和載荷分布的影響均能反映。EFA克服了SEA無法預測響應在子系統空間上變化的不足，應用上具備較多優勢，具有很好的發展前景。

EFA的適用范圍近年來不斷得到拓展。Kwon等[1]導出曲殼結構的彎曲振動能量流方程, Song等[2]將EFA用于有非保守連接的耦合梁結構，孔祥杰等[3]通過修正群速和阻尼項，使EFA可考慮局部阻尼的影響，Xie等[4]基于EFA預測了桿結構的高頻瞬態響應。Zhu等[5]提出了結合傳統有限元與EFA的混合方法，以解決剛-柔復合結構的中頻響應預測問題。Kong等[6]研究了EFA用于板結構的有效性，表明結構內是否形成混響場對EFA的預測精度有較大影響，需指出的是Kong等的研究針對的是單頻激勵的情況。You等[7-9]將能量流分析適用的激勵形式從周期激勵發展到隨機激勵，提出隨機能量流分析(Random Energy Analysis, REFA)，針對梁結構的研究表明，當激勵帶寬包含的結構模態數大于5時，REFA即具有很好的響應預測精度[10]。

本文通過對板結構開展試驗以驗證REFA的有效性。首先說明REFA的基本理論，之后提出REFA計算結構內損耗因子的原理，并與SEA法進行對比，通過單板試驗測得結構的內損耗因子，作為后續REFA模型的已知條件。最后對L型耦合板進行寬帶隨機激勵下的響應測試，建立REFA數值模型預測結構響應，通過將結構響應的實測值與預測值進行比較來驗證REFA的有效性。

1 板結構隨機能量流分析方程

受到橫向寬帶隨機力作用的板結構，其能量流分析方程為

(1)

E(x,ω)≈ρ〈Gv(x,ω)〉

(2)

式中：Gv為速度的單邊譜, 〈〉代表波長距離上的空間平均，ρ為板的面密度。板的平均能量響應由能量密度譜積分得到，即

(3)

板內平均功率流為

(4)

用單元對各波場的能量進行離散，可得到各波場的有限元方程。在板間連接處，各種波型發生反射、透射、波型轉換及能量傳遞，基于半無限板連接處三種波型間的能量傳遞關系[11]，可得到板連接兩端不同波場的能量密度譜與功率流譜間的關系，用連接矩陣J表達，并由此對所有波場的有限元方程進行綜合，得到

(K+∑JM)E=Πin

(5)

式中：K為總剛度矩陣，E為能量密度譜向量，Πin為輸入功率向量，M用于指定J的元素在總體矩陣中的位置。連接矩陣的表達式如下

J=(I-C)(I+C)-1cg

(6)

式中：I為單位陣;cg為以不同波場群速為對角元素的對角陣;C為連接傳遞特性矩陣。

2 內損耗因子測試

2.1 基于隨機能量流分析的測試原理

內損耗因子反映了結構耗散功率的能力，是進行結構REFA模型分析的重要已知條件，其準確性對REFA模型分析結果的準確性有重要影響。

內損耗因子可通過單板測試獲得，對圖1所示的受到單個橫向集中隨機力作用的單塊板(圖中F為集中隨機力，Ω為結構域，Γ為結構域的邊界曲線，n為邊界曲線微元的法向量)，能量流分析方程為

圖1 受到集中力作用的單板 Fig.1 Single plate excited by concentrated force

(7)

在板的結構域Ω上積分式(7)， 得到

(8)

式中： ds為結構域Ω上的面積微元?？紤]到

(9)

根據高斯公式，式(8)左邊第一項為

(10)

式中： dl為結構域邊界微元。單板邊界無功率輸出，功率流在邊界法線方向上的分量為零，式(8)變為

(11)

式(11)反映了基于REFA測試內損耗因子的原理，表明外界輸入功率完全被結構阻尼耗散。

在板上布置N個加速度測點(位置記為xi)，以板上所有測點能量密度譜的平均值作為E的近似

(12)

(13)

式中：m為板的總質量。假定η在有限頻段[ω1,ω2]內為定值，對式(13)兩邊在頻段進行積分，經運算后得到

(14)

2.2 基于統計能量分析的測試原理

單板試驗亦可基于經典的統計能量分析(SEA)計算內損耗因子。單板在頻帶[ω1,ω2]上的SEA能量方程為集總參數模型，即

ηSEAωcet=pin

(15)

式中：ωc為頻帶中心頻率;et為單板總能量; 下標表示由SEA法計算?？紤]到

(16)

(17)

以上表明，兩種方法測試內損耗因子的原理大體相同，對比式(17)和式(14)可見，測試計算時的不同點在于是否將積分內的頻率變量作為定值提至外部。

2.3 測試及結果

(18)

式中：Zm和Zp分別為加速度計和板的速度阻抗， 在1 kHz以上，用Z∞代替Zp對測試結果進行修正。

在方板上4處位置施加橫向寬帶集中力，并在板上4處位置記錄加速度響應。在20個帶寬為200 Hz的頻帶內計算內損耗因子，板的模態密度為0.1 Hz-1，各分析頻帶內包含約20階模態。對在4個激勵點加載得到內損耗因子并進行平均，結果見圖2，兩種方法的計算結果差別很小，除第一個頻段，其他頻段上內損耗因子小于0.01。

圖2 單板內損耗因子測試結果 Fig.2 Inner loss factor results from single plate test

3 耦合板響應測試及分析

3.1 試驗設置及輸入功率譜

試驗對象為L型板，由2塊尺寸為0.8 m×0.8 m×0.002 m的方形鋁板垂直連接組成，用軟橡皮繩懸掛，一塊板保持水平，試驗現場見圖3。在垂直板的兩處位置依次施加橫向寬帶集中力，兩塊板布置4個加速度計測量板的彎曲變形，具體位置見圖4。由于根據板的彎曲響應計算功率流需對位置三次求導，且有限板的實際功率流方向隨空間位置顯著變化并與一定頻率對應[12]，因而寬帶激勵下難以獲取板上功率流的準確值。能量密度作為標量則易于測量計算，因此試驗獲取板的彎曲波場能量密度并與REFA的預測值進行對比。另外，對高頻測試結果進行修正。

圖3 L型耦合板試驗現場 Fig.3 Test setup of L-shaped plate

圖4 L型耦合板的激勵及響應測點 Fig.4 Excitation and response points on L-shaped plate

位置1加載測得的力輸入功率譜如圖5中灰線所示。隨機能量流分析在20個帶寬200 Hz的窄帶上進行，各窄帶內在5個頻點計算能量密度譜，因此將輸入功率譜實測值在40 Hz寬的頻帶上進行平均作為其近似，見圖5中的黑線。

圖5 位置1加載時的輸入功率譜 Fig.5 Power input spectrum of load at point 1

3.2 試驗與預測結果對比

將耦合板各波場劃分為10×10個單元，以試驗獲取的內損耗因子及頻帶平均輸入功率譜作為輸入計算響應。位置1加載時，頻段3.6～3.8 kHz上，耦合板各波場的能量密度及功率流矢量分布見圖6。各波場能量密度分布總體均勻但存在很小梯度，面內波場能量遠小于彎曲波場，水平板彎曲波場能量密度較垂直波場低約2 dB，能量主要由垂直板的彎曲波場傳遞至水平板的彎曲波場，而轉化為兩塊板面內波場的效率很低；功率流矢量清晰地表明了能量由激勵點注入及在各波場的傳遞路徑。位置2加載時，同一頻段上彎曲波場的能量密度及功率流矢量分布見圖7，激勵位置的改變導致垂直板彎曲波場的能量流發生顯著變化，其他各波場響應情況與位置1加載類似。

圖6 能量密度及功率流分布(位置1加載, 3.6～3.8 kHz) Fig.6 Energy density and power flow distribution (loaded at point 1, 3.6～3.8 kHz)

圖7 能量密度及功率流分布(位置2加載, 3.6～3.8 kHz) Fig.7 Energy density and power flow distribution (loaded at point 2, 3.6～3.8 kHz)

位置1加載時，水平板及垂直板的彎曲波場響應實測值與預測值對比分別見圖8與圖9，位置2加載時的情況與位置1類似。結果顯示，包括最低頻在內的大部分頻段上，各測點響應的預測值與實測值間的偏差在3 dB以內，表明REFA在整個激勵帶寬內均具有很好的預測精度。由于REFA的分析結果是空間局部平均的能量密度，而在板上某點測得的響應會在此平均值附近波動，這應是導致預測值與實測值間出現偏差的原因。

圖8 水平板響應實測值與預測值對比 (實線：實測值，虛線：預測值) Fig.8 Comparison between measurements (solid line) and predictions (dashed line) for horizontal plate

圖9 垂直板響應實測值與預測值對比 (實線：實測值，虛線：預測值) Fig.9 Comparison between measurements (solid line) and predictions (dashed line) for vertical plate

4 結 論

本文通過對單板及L型耦合板開展隨機激勵下的響應測試，對REFA的有效性進行驗證。導出了基于REFA方法的單板內損耗因子計算式，表明其不需通過REFA的有限元方程進行計算，其原理與經典SEA法大體相同，但計算式有一定差別，單板實測結果表明兩種方法得到的內損耗因子基本相同。L型耦合板試驗實測了集中力的輸入功率譜，與內損耗因子測試值一起代入L型耦合板的REFA有限元模型，得到耦合板彎曲波及兩種面內波場的能量密度及功率流分布預測值，彎曲響應頻譜的實測值與預測值吻合較好，表明REFA在試驗整個頻段上均具有很好的預測精度。

[ 1 ] KWON H W, HONG S Y, PARK D H, et al. Vibrational energy flow models for out-of-plane waves in finite thin shell [J]. Journal of Mechanical Science and Technology, 2012, 26(3): 689-701.

[ 2 ] SONG JH, HONG S Y. Development of non-conservative joints in beam networks for vibration energy flow analysis [J]. Shock and Vibration, 2007, 14(1): 15-28.

[ 3 ] 孔祥杰,陳花玲, 祝丹暉, 等. 附加自由阻尼梁高頻響應的能量有限元方法模型[J]. 振動與沖擊, 2015, 34(17): 94-99.

KONG Xiangjie, CHEN Hualing, ZHU Danhui, et al. Energy finite element analysis for high-frequency vibration of beams with free-layer damping treatment [J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(17): 94-99.

[ 4 ] XIE M, CHEN H, WU J H. Transient energy density distribution of a rod under high-frequency excitation [J]. Journal of Sound and Vibration, 2011, 330(12): 2701-2706.

[ 5 ] ZHU D H, CHEN H L, KONG X J, et al. A hybrid finite element-energy finite element method for mid-frequency vibrations of built-up structures under multi-distributed loadings [J]. Journal of Sound and Vibration, 2014, 333(22): 5723-5745.

[ 6 ] KONG X J, CHEN H L, ZHU D H, et al. Study on the validity region of energy finite element analysis [J]. Journal of Sound and Vibration, 2014,333(9): 2601-2616.

[ 7 ] YOU J, MENG G, LI H G. Random energy flow analysis of coupled beam structures and its correlation with SEA [J]. Archive of Applied Mechanics, 2010, 81(1): 37-50.

[ 8 ] 游進, 李鴻光, 孟光. 耦合板結構隨機能量有限元分析[J].振動與沖擊,2009, 28(11): 43-46.

YOU Jin, LI Hongguang, MENG Guang. Random energy finite element analysis of coupled plate structures [J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(11): 43-46.

[ 9 ] 游進，孟光，李鴻光. 聲振系統中高頻能量流分析法研究進展[J].振動與沖擊, 2012, 31(11): 62-69.

YOU Jin, MENG Guang, LI Hongguang. Review of mid-to-high frequency energy flow analysis method for vibro-acoustic systems [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(11): 62-69.

[10] YOU J, LI H G, MENG G. Validity investigation of random energy flow analysis for beam structures [J]. Shock and Vibration, 2011, 18(1/2): 269-280.

[11] 江民圣, 牛軍川, 鄭建華, 等. L型耦合板結構能量傳遞系數特性的研究[J].振動與沖擊, 2015, 34(17): 131-136.

JIANG Minsheng, NIU Junchuan, ZHENG Jianhua, et al. Energy transfer coefficients’features of L-shaped coupled plates [J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(17): 131-136.

[12] BERNHARD R J, BOUTHIER O M. Simple models of the energetics of transversely vibrating plates [J]. Journal of Sound and Vibration, 1995, 182(1): 149-164.