高職高專建筑工程技術類專業關于測量誤差的教學內容設計

鄭曉珍

摘 要：任何一種測量結果的測量值與客觀存在的真值之間總會或多或少地存在一定的差值，這種差值稱為該測量值的測量誤差（又稱為測量值的真誤差），簡稱“誤差”。誤差存在于一切測量之中，一個優秀的測量工作者，應該是在一定的要求下，以最低的代價來取得最佳的結果，要做到既保證必要的測量精度又合理地節省人力與物力。

關鍵詞：測量誤差；測量精度

一、測量誤差的概念

任何一種測量結果的測量值與客觀存在的真值之間總會或多或少地存在一定的差值，這種差值稱為該測量值的測量誤差（又稱為測量值的真誤差），簡稱“誤差”。

我們可以這樣定義誤差：設某量的真值為x，對其進行n次觀測，得到n個觀測值：L1，L2，L3，…，Ln，則第i個觀測值的真誤差為：[Δi=Li-Xi=1，2，3，…，n。]

誤差存在于一切測量之中，一個優秀的測量工作者，應該是在一定的要求下，以最低的代價來取得最佳的結果，要做到既保證必要的測量精度又合理地節省人力與物力。

二、測量誤差產生的原因

測量工作是在一定條件下進行的，外界環境、觀測者的技術水平和儀器本身構造的不完善等原因，都可能導致測量誤差的產生。通常把測量儀器、觀測者的技術水平和外界環境三個方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件不理想和不斷變化，是產生測量誤差的根本原因。通常把觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；觀測條件不同的各次觀測，稱為不等精度觀測。具體來說，測量誤差主要來自以下四個方面：①外界條件。主要指觀測環境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風力以及大氣折光等因素的不斷變化，導致測量結果中帶有誤差；②儀器條件。儀器在加工和裝配等工藝過程中，不能保證儀器的結構能滿足各種幾何關系，這樣的儀器必然會給測量帶來誤差；③方法。理論公式的近似限制或測量方法的不完善；④觀測者的自身條件。由于觀測者感官鑒別能力所限以及技術熟練程度不同，也會在儀器對中、整平和瞄準等方面產生誤差。研究測量誤差的目的，是為了盡可能減少測量誤差，提高測量的精確度。

三、測量誤差的表示方法

誤差常用的表示方法有兩種：絕對誤差（真誤差、中誤差等）和相對誤差。

1.真誤差。真誤差Δ的定義為測量值L與真值X之差，即Δ=L-X。

采用真誤差來表示測量誤差往往不能很確切地表明測量質量地好壞。例如，用鋼卷尺量200m和40m兩段距離，它們的真誤差都是±2cm，但不能認為兩者的精度是相同的，顯然前者的相對精度比后者要高。

2.中誤差。中誤差又稱標準差，或稱均方差、方根差。在相同的觀測條件下，對真值為X的一個未知量L進行了n次觀測，觀測值分別為L1，L2，L3，…，Ln，每個觀測值相應的真誤差（觀測值與真值之差。）分別為：Δ1，Δ2，Δ3，Δn，則以各個真誤差之平方和的平均數的平方根作為精度評定的標準稱為觀測值的中誤差，簡稱為“中誤差”，用符號m表示，即[m=±Δ21+Δ22+Δ23+…+Δ2nn]。 （公式一）

一組觀測值的測量誤差愈大，中誤差也就愈大，其精度就愈低；反之，一組觀測值的測量誤差愈小，中誤差也就愈小，其精度就愈高。

練習1：甲、乙兩個小組，各自在相同的觀測條件下，對某三角形內角和分別進行了8次觀測，求得每次三角形內角和的真誤差分別為：

甲組：-3″，+3″，-1″，-3″，+4″，+2″，-1″，-4″；

乙組：+1″，-5″，-1″，+6″，-4″，0″，+3″，-1″。

求兩組觀測值的中誤差，并分析兩組觀測值的精度。

解：由中誤差公式一可得：

[m甲=±-32+32+-12+-32+42+22+-12+-428][=±2.9″]，

[m乙=±12+-52+-12+62+-42+02+32+-128][=±3.3″]。

由此可知，甲組觀測精度高于乙組。同時通過乙組觀測誤差的分布情況可看出其誤差值的波動幅度較大，因而也可以判斷出乙組的觀測值的穩定性較差，則精度較低。

3.相對誤差。對于衡量精度來說，在很多情況下，僅僅知道觀測中的絕對誤差大小還不能完全表達觀測精度的好壞，為此必須再引入相對誤差。

相對誤差δ的定義為絕對誤差的絕對值與真值x的比值，用百分數表示，即：[δ=∣Δ∣X×100%]。

[9.65=3.10644≈3.11]（保留3位有效數字）。

實際測量過程中，相對誤差一般用于長度、面積、體積、流量等物理量測量中。由于角度誤差的大小主要是觀測兩個方向引起的，并不依賴角度大小的變化，因此角度測量不采用相對誤差。

練習2：觀測兩段距離，分別為1000m±2cm和500±2cm，問這兩段距離的真誤差是否相等？它們的相對精度是否相同？

解：這兩段距離的真誤差相等，均為±2cm。它們的相對誤差分別為：[δ1=∣±0.02∣1000×100%=0.02%]，[δ2=∣±0.02∣500×100%=0.04%]，則[δ1﹤δ2]，所以前一段距離的觀測精度要高于后一段距離。

真值是一個變量本身所具有的真實值，它是一個理想的概念，一般是無法得到的，是不能被準確測量的，計算時一般用觀測值的算術平均值（即最或然值）來代替真值。

觀測值L與觀測值的算術平均值[x]之差，稱為觀測值的改正數，一般用V表示，則[V1=L1-XV2=L2-XV3=L3-X…Vn=Ln-X]式中Vi為第i次觀測值的改正數，可代替真誤差，Li為第i次觀測的觀測值（i=1，2，3，…，n）。

利用觀測值的改正數代替真誤差，計算觀測值的中誤差公式為：

[m=±V21+V22+V23+…+V2nn-1]。 （公式二）

計算算術平均值中誤差公式為：

[mx=±V21+V22+V23+…+V2nn（n-1）]。 （公式三）

由公式二和公式三可知，算術平均值（最或然值）中誤差是觀測值中誤差的[1n]倍，這說明最或然值的精度比觀測值的精度要高。所以多次觀測取其平均值，是減少偶然誤差影響、提高成果精度的有效方法。

此時計算相對誤差公式為：[δ=∣mx∣X×100%]。 （公式四）